第7章 时间数列 时间数列概念作用和种类 时间数列的水平指标 时间数列的速度指标 时间数列趋势分析预测 7.1 时间数列概念作用和种类 7
.1.1?时间数列的概念和作用 1.时间数列的概念 (time-series)将某一统计指标的数值按时间的先后顺序排列起来所形成的
数列，又称为动态数列 两个基本要素现象所属时间指标数值在时间数列中，指标数值也称发展水平 2．时间数列的作用 描述事物在过去时间的
状态分析事物发展变化的方向、速度和趋势，研究其变化的规律性 可以为某些社会经济现象进行未来预测可以将不同地区或国家进行对比分析 7
.1.2 时间数列的种类 时间数列总量指标时间数列 相对指标时间数列 平均指标时间数列 时期数列 时点数列 最基本可加性数值与时间
长短有关连续累计不可加数值与时点间隔无关间断登记由相对指标数值和平均指标数值按时间先后顺序排列的数列数列指标是反映现象在一段时期发
展过程的总量数列指标是反映现象在某一时点状况上的水平时期数列时点数列相对数列7.1.3 时间数列的编制原则 时间上可比总体范围可比
计算口径可比经济内容可比7.2 ?时间数列的水平指标 7.2.1发展水平与平均发展水平 1．发展水平 (Time- series
data) 时间数列中具体时间条件下的指标数值 也叫时间数列水平 一般用 表示 可以是总量指标，相对指标或平均指标 根据其
所处位置不同有最初水平 ，最末水平 ，中间水平… 根据其作用不同有报告期水平 ，基期水平 常用文字（发展、增
长、降低…）“为” “到”表示2．平均发展水平（序时平均数或动态平均数 ） 将动态数列不同时间上的发展水平加以平均而得到的平均数
可以反映社会经济现象在一段时间内发展变化的一般水平，并对其做出概括的说明 可以消除社会经济现象在短期内波动的影响，观察现象的发展趋
势 可以对某一段时间内某一事物发展达到的一般水平进行不同单位、不同地区之间的比较 序时平均数与一般平均数的区别与联系 序时 平均数
平均数一般 从动态上说明某一事物在不同时间上发展的一般水平 从静态上说明同一事物总体不同单位在同一时间上的一般水平 平均的是事物在
不同时间上的数量差异 平均的是总体各单位某一数量标志在同一时间上的数量差异 根据时间数列计算 根据变量数列计算 都是将各个变量值差
异抽象化平均数静态平均数动态平均数（序时平均数）计算平均数位置平均数算术平均数调和平均数简单和加权几何平均数平均发展水平的计算方法
时间数列的种类不同，计算其序时平均数的方法也不同。序时平均数可以根据总量指标时间数列来计算，也可以根据相对指标时间数列或平均指标
时间数列来计算。根据总量指标时间数列来计算是最基本的方法⑴根据总量指标时间数列计算平均发展水平 ①由时期数列计算平均发展水平 计算
公式【实例7．1】 某公司2004年四个季度销售额资料如下，计算该公司各季度的平均销售额。 时 期销售额第一季度450第二季度
400第三季度480第四季度500②由时点数列计算平均发展水平 ⅰ.根据连续时点数列计算间隔相等 间隔不等 已知每天数据，视为连续
时点数列【实例7．2】某公司业务一科9月上旬每日出勤人数分别为：14，15，14，13，15，14，14，13，15，13。计算9
月上旬平均每日出勤人数。 （人）【实例7．3】某企业2005年6月成品库存资料记录如下所示 时间库存量1日10010日24015日
40025日30026日20028日200（台）ⅱ.根据间断时点数列计算资料通过间隔一定时期登记取得间隔相等 间隔不等 【实例7．
4】某制造企业2006年第一季度职工人数资料如下时间职工人数1月1日1502月1日1603月1日1564月1日162第一季度平均职
工人数【实例7．5】某公司2005年度职工人数资料如下 时间职工人数1月1日4005月1日4208月1日42611月31日4321
2月31日4402005年度该公司年平均职工人数总量指标时间数列计算公式小结（2）根据相对指标或平均指标时间数列 计算平均
发展水平 计算相对数或平均数的序时平均数 , 首先分别计算分子a和分母 b两个总量指标时间数列的序时平均数（ 和 ），
然后加以对比而成。基本计算公式为 a数列和b数列既可以是时期数列也可以是时点数列,不同的情况使用的具体方法也有所不同。第一种情况
a数列和b数列都是时期数列【实例7．6】某商业企业2006年头三月销售额计划完成情况如下时 间实际完成销售额a计划完成销售额
b销售额计划完成程度（%）c1月份125.6115.0109.22月份136.7128.0106.83月份197.8176.011
2.4第一季度销售额计划完成程度第二种情况 a数列和b数列都是时点数列例如间隔相等的间断时点数列【实例7．7】某投资咨询公司的职工
人数资料如下 月 份投资咨询业务人数全部职工人数投资咨询业务人员占全部 职工人数（%）6月末64580580.17月末6
7082683.78月末69583083.79月末71085483.1第三季度投资咨询业务人员占全部职工人数的比重第三种情况 a数
列和b数列一个是时期数列一个是时点数列【实例7．8】某超市第四季度商品销售额与月末库存额资料如下月 份商品销售额 a月末库
存额 b商品流转次数（次）c9月7535—10月8045211月15055312月240654第四季度平均每月商品流转次数7.2.
2 增长量与平均增长量 1．增长量 又称增减量，说明现象在观察期内增减的绝对数量增长量＝报告期水平－基期水平基期不同，有逐期增长量
累计增长量二者关系 累计增长量等于相应各个逐期增长量之和 年距增长量在实际工作中，为消除季节变动的影响，还经常计算年距增长量指标
，它是本期水平与上年同期水平之差年距增长量＝本期水平－去年同期水平【例】某地2006年第一季度对外贸易进出口总额为
360亿美元，2005年第一季度为300亿美元年距增长量＝360－300＝60亿美元2．平均增长量 指逐期增长量的简单算
术平均数 说明现象在一段时期内平均每期增长的量7.3 时间数列的速度指标 7.3.1 发展速度与增长速度 1.发展速度(rate
of expansion) 反映客观现象发展变化快慢程度的相对指标 发展速度＝报告期水平／基期水平基期不同，有定期发展速度环比发
展速度 二者关系：定基发展速度等于环比发展速度连乘积2．增长速度(rate of growth) 又称增减速度 ，说明现象增长变
化的相对程度基期不同定基增长速度 环比增长速度 二者关系：总增减速度不等于相应环比增速之和（积）同比增长速度同期（年距）增长量与去
年同期发展水平相对比的相对数【例】某地2006年第一季度对外贸易进出口总额为 360亿美元，2005年第一季
度为300亿美元同比（年距）增长速度＝60/300＝120％－1＝20％增长1%的绝对值反映增长速度的实际效果 ，表明速度每增长1
％，发展水平指标在绝对数上增长了多少 计算该指标 可解决水平指标和速度指标在分析现象发展中可能会出现的矛盾和不全面的问题7.3.2
平均发展速度与平均增长速度 1．平均速度指标的概念和作用 平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度指标 平均速度是各个时期环比速
度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度平均增长速度＝平均发展速度－1概括说明现象发展变化进行经济预测的方法编制
计划依据便于对比2．平均发展速度的计算方法 （1）水平法 （几何平均法）以 xi 表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系
，计算平均发展速度应该采用几何平均法：ｎ＝环比发展速度的个数＝数列发展水平项数－１同种方法资料不同则有三种计算形式水平法计算平均发
展速度具有两个特点 这种方法侧重于考察最末一期的发展水平 这种方法不能准确反映中间水平的起伏状况 如果关心现象在最后一期应达到的水
平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。如产量、工资等 （2）累积法（方程法 ） 基本思想各期实际水平的总和为用各期的环比发展速
度xi去推算各期水平再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足方程的正根=平均发展速度累积法计算平均发展速度的特点侧重于考察全
期总水平，计算结果取决于整个计算期各期水平的累计总和，故称为“累积法”如果关心整个考察期内的总量时，采用累积法计算平均发展速度比较
合适。如基建投资、占用土地等 3．平均增长速度的计算方法 平均增长速度等于平均发展速度减去100% 在实际工作中，平均增长速度不能
根据各期的增长速度或总增长速度来计算，而是通过先计算平均发展速度，再依据两者之间关系进行换算。 【例】某公司产品单位成本在前五年环
比增减速度资料如下年份环比增长速度%2000 2001 2002 2003 2004 2005— -1.0 -
1.5 -2.0 -1.8 -0.5平均增长速度=98.64%-1=-1.36%应用平均速度应注意的问题总平均速度与各环比速
度、分段平均速度结合当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度，而适宜直接用绝对数进行分析将速度与水平二者结合——常常用到增
长1%的绝对值来补充说明增长速度7.4 时间数列趋势分析预测 时间数列的构成要素长期趋势 (Secular Trend )季节变动
(Seasonal Fluctuation )循环变动 (Cyclical Variation)不规则变动 (Irregula
r Variations )长期趋势(Secular Trend )现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间数列的基
本因素作用形成是时间数列中最基本的构成要素可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势 或分为：线性趋势和非线性趋势季节变动 (S
easonal Fluctuation )现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动通常表现为
现象在一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化，有旺季和淡季之分是一种周期性的变化周期长度小于一年形成原因——有自然因素
，也有人为因素循环变动 (Cyclical Variation)现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰与波谷相交
替的波动不同于长期趋势T表现为单一方向的持续变动，C表现为波浪式的涨落交替的变动不同于季节周期周期长度不同模型识别的难易程度不同形
成原因不同不规则变动 (Irregular Variations )现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的
随机变动战争、自然灾害或其它社会因素等意外事件引起的突然变动。影响作用无法相互抵消，影响幅度很大。我们研究随机波动而不含突然异常变
动的情况7.4.1 长期趋势分析预测 1．长期趋势测定与预测的意义 把握现象的趋势变化 为进行统计预测提供必要条件 消除原有动态数
列中长期趋势的影响，更好地显示和测定季节变动 2.间隔扩大法 （时距扩大法） 测定直线趋势的一种简单的方法 当原始时间数列中各指标
数值上下波动，使现象变化规律表现不明显时，可通过扩大数列的时间间隔，对原资料加以整理，以反映现象发展的趋势 遵循原则 同一数列前后
时间间隔应当一致，以便于比较 时间间隔的长短，应根据具体现象的性质和特点而定 3．移动平均法(moving average Met
hod) 选择一定的平均项数（常用 N 表示），采用逐项递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值这些移动平均值消除或削弱了原数列
中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势例题见教材P177应用移动平均法分析长期趋势时，应注意的问题移动平均
对数列具有平滑修匀作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；当N为奇数，只需一次
移动平均； 当N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而只反映T，应以周期长度
作为移动间隔的长度。若是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。N越
大，缺项越多移动平均法可以呈现出现象的长期趋势，但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时，才可用移动平均值作为最近一期的预测值
股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）为了预测方便，将移动平均值放在所平均时间的最末一期。4．最小平方法 (Least s
quare method) 最小平方法既可用于配合直线，也可用于配合曲线，它是分析长期趋势的十分普遍和理想的方法。 长期趋势的类型
很多，有直线型，也有曲线型(1)直线方程 如果现象的发展，其逐期增长量大体上相等，则可考虑配合直线趋势。 代表时间序列的趋势
值；t 代表时间标号，常常取1、2、3、…n；a 为趋势线在Y 轴上的截距；b 是趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观察
值的平均变动数量；其中, a 、b 为待估计的直线趋势方程的参数a和b一旦确定，直线就被唯一确定 究竟用那条直线来代表两个变量之间
的关系? 希望这条直线离各离散点最近 对于时间t ，它对应的实际数值y同这条直线上的理论值yc 的离差平方和为最小值。 最小值 求
极值偏导为0【实例】某地区2000—2005年家用洗衣机产量资料如下所示。求出直线趋势方程，并预测2006年家用洗衣机产量。 年份
200020012002200320042005合计产量687175798488465逐期增长量 0
3 4 4 5 4 —年份序号t
0 1 2 3 4 5 15 0 1 4
9 16 25 55 0 71 150 237 336 440 123463.7
71.3875.4679.5483.6287.7465解：在资料中 =6将这些数据资料代入方程，得： ＝67.3 ＝4.08 为
了计算方便,取时间数列的中间时期为原点则 ?t=0，公式可化简为这种计算称为简捷法运算 当时间项数为偶数时，时间项依次排列为：…，
一5，一3，一1，1，3，5，…，这样，原点o实际上是在数列正中相邻两个时间的中点，保证了时间项间隔相等。 当时间项数为奇数时，
可假设t的中间项为0，这时时间项依次排列为：…，一3，一2，一1，0，l，2，3，…；(2)抛物线方程 如果现象的发展，其逐期增长
量的增长量(即各期的二级增长量)大体相同，则可考虑曲线趋势——配合抛物线方程。 根据最小平方法的要求,同样用求偏导数的方法，通过假
设t，使∑t=0，∑t3=0， 将上述标准联立方程组求解，就可得到 之值，再将这三个参数代入抛物线方程，即为所求的抛物
线方程模型。 (三)指数曲线方程 如果现象的发展，其环比发展速度或环比增长速度大体相同，则可考虑曲线趋势——配合指数曲线方程。 先
对方程式两边各取对数 同样设法使∑t＝0 将方程组求解，即可求出A，B之值。由于A，B为对数值，需要查反对数表求得 ， 值。 7
.4.2季节变动分析预测 影响现象发展水平的四因素长期趋势 Trend 循环变动 Cyclicality不规则变
IrregularitySeasonality季节变动啤酒销售超市周日至周六营业额城市交通每天上下班高峰时段 旅游提出问题1
有时是“旺季”，有时是“淡季”，“旺”“淡”程度如何？2 怎样利用“旺、淡”规律，对未来进行 预测
？ 季节变动的概念现象受季节的影响而发生的变动Seasonal effects are patterns of data b
ehavior that occur in periods of time of less than one year.一年内
4个季度或12个月变动 一个月内 上、中、下旬周期性变动一个星期内 周初到周末周期性变动季节变动的特点 短期的shor
t-term周期性的seasonal 有规律的变动 regularity 季节变动的测定的常用方法：1.按月（季）
平均法（简单平均法）2.趋势剔除法(长期趋势剔除法） 1.按月（季）平均法 亦称按季平均法。若是月资料就是按月平均；若是季资料则是
按季平均。 计算的一般步骤为1．列表。将各年同月(季)的数值列在同一栏内； 2．将各年同月(季)数值加总，并求出月(季)平均数；
3．将所有月(季)数值加总，求出总的月(季)平均数； 4．求季节比率(或季节指数)，其计算公式为 例如某公司2002-2004年产
品的月销售情况（见表）月平均总平均季节比率 可以看出该公司产品销量，明显带有季节性： 旺季:三、四（春季）、七八、九、
十（夏秋季）月份； 淡季:一、二、十一、十二月份季节变动图2.移动平均趋势剔除法 按移动平均法来剔除长期趋势的影响，再计算季节变
动的方法。 计算步骤（以月资料为例） 1.据各年的月（季）资料 Y计算12项（4项）移动平均 T 2.计算修匀比率：3.将按月排列,求同月（季）的平均值：再与总平 均 ：比，即得季节比率长期趋势剔除法（举例按步骤）注：计算修匀比率Y/T,求同月平均，比总平均得季节比率%利用季节变动比率进行预测注意利用季节比率进行预测时的基数 必须指出，某些现象的季节变动并非是永恒的规律，随着科技的进步和人们生活习惯的改变，某些社会现象的季节变动会被削弱甚至完全消失。例如，鸡在冬天通常不下蛋，但在现代化的养鸡场，用电灯代替阳光延长白昼，室内设有空调，饲料又有专门的配方，讲究营养，鸡在冬天照样下蛋。 在实际中，季节变动的分析已被推广，凡在短期内，现象有周期性的规律变动，都可称为季节变动，也可用这类方法去测定。如一周内，哪天公园的游客最多， 超市的销售额在星期几最高； 一天内，哪些时间(小 时)交通最拥挤，什么时 段商场客流量最大等。 |
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