高中数学超强高效二级结论7 与等差数列相关的结论已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn.(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{
an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.(2)若等差数列{an}的项数为偶数2m，
公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(3)若等差
数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶
＝am，＝.【例7】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )A.3
B.4 C.5 D.6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝____
____.解析 (1)∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列也为等差数列.∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.经检验，m＝5
符合题意.(2)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，显然可得a
m≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.答案 (1)C (2)10针对训练举一反三1．等差数列的前项和为
25，前项和为100，则它的前项和为（ ）A．125B．200C．225D．275【答案】C【解析】由题可知，，，由成等差数
列，即成等差数列，，解得，故选：C2．已知数列满足，且前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用等差中项法可判断出
数列是等差数列，由已知条件计算得出的值，再利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.【详解】对任意的，，即，所以数列为等差
数列，，，由等差数列的求和公式可得.3．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（ ）A．4041B．403
9C．2021D．2020【答案】B【分析】由于等差数列的前项和存在最大值，则首项，公差；又可得；再根据等差数列的性质和前项和公式
即可求出结果．【详解】∵等差数列存在最大值且， ∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴， ∵，所以∴，.所以满足的最大正整数的值为
.4．已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）A．B．C．10D．20【答案】B【分析】可证数列为等差数列，
公差为．根据，即可得出．【详解】由题得，所以，所以数列为等差数列，公差为．，，解得．5．等差数列的公差，前项和为，若对于任意，都有
，则（ ）A．B．C．D．是递增数列【答案】A【分析】由题意可知，是数列的最大值，可得出且，进而得出，，利用等差数列的求和公
式结合等差数列的基本性质可得出结果.【详解】对于任意，都有，则是数列的最大值，则且，所以，，则，A选项正确；，则，B选项错误；，，
且，则，所以，数列单调递减，则，所以，，C选项错误，D选项错误.6．已知数列对任意的有，若,则_______.【答案】【解析】令,
则可知，∴为等差数列，首项和公差均为2.∴，∴。7．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.【
答案】7【分析】根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.【详解】方法一：设数列的公差为
，则由题意得，解得则.又，∴当时，取得最大值.方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，∴，解得，则，令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，. |
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