高中数学超强高效二级结论10结论十：焦点三角形的面积公式(1)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△
PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan ，其中θ＝∠F1PF2.(2)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左
、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2.【例10】 如图，F1，F2是椭圆C1：＋
y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B. C. D.解析 设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F
2的面积为btan 45°＝，即b＝b＝1.所以a＝c－b＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝.答案 D针对训练举一反三1．设
是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为离心率为，又焦点
三角形面积，又解得，故，故选：A.2．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ）.A．B．C．D．【答案】A【解析】由
于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.3．设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角
为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有得故.故渐近线的斜率.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别
为与.故双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：C4.已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线
段的三等分点，则的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】设双曲线右焦点为，取中点，连接 设，由双曲线定义知：，
，且，，又，为中点，又为中点，且，，解得：，，，，又双曲线焦点三角形面积，，双曲线渐近线方程为。5．在直角坐标系xOy中，F1(-
c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的
坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A．y＝±xB．y＝xC．y＝xD．y＝±x【答案】D【详
解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方
程为：．6．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________
．【答案】【详解】由，可知a＝2，b＝，所以c＝，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1
|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义得|PF1|＋|
PF2|＝2a＝4，②由①②联立可得|PF1|＝.所以.7．设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为____
_.【答案】0【解析】如图，由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以. |
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