第3章 MATLAB在高等数学中的应用

第3章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析3.2 多项式运算 3.3 数据的分析与统计 3.4 函数分析与数
值积分 3.1 矩阵分析 1．矢量范数和矩阵范数 矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为：
当p＝2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和∞。这在MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。格式：n
＝norm(A)功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A))。格式：n＝norm(A，p)功能：norm函数可计
算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得到不同的范数 2．矩阵求逆及行列式值 ⑴矩阵求逆函数inv及行列式值函数de
t逆矩阵的定义：对于任意阶 n×n 方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：AV=I。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)
。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。格式：V=inv(A)功能：返回方阵A的
逆矩阵V。格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。 ⑵伪逆矩阵函数pinv伪逆矩阵的MATLAB定义：从数学意
义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。在MATLAB中，为了求线性方程组的需要，把inv(A′A)A′的运算定义为
伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆在一定程度上代表着矩阵的逆。格式：C=pinv(A)功
能：计算非方阵A的伪逆矩阵。3．线性代数方程求解 写成矩阵形式可表示为：AX＝B 或 XA＝B。其中系数矩阵A的阶数为m×n
。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。 (1)求解方程AX=B 格式：X=A\B 条件：矩阵A与矩阵B的
行数必须相等。 (2)求解方程XA=B 格式： X=B/A 条件：矩阵A与矩阵B的列数必须相等。一般线性
方程组的4．矩阵的分解 (1)三角(LU)分解函数lu 所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=L
U），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩阵
分解的两个矩阵分别可表示为： 格式一：[L,U]=lu(A) 功能：返回一个上三角矩阵U和一
个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵的乘积)，满足A=LU。格式二：[L,U,P]=lu(A)功能：返回上三角矩阵U，真正
下三角矩阵L，及一个置换矩阵P(用来表示排列规则的矩阵)，满足LU=PA；如果P为单位矩阵，满足A=LU。(2)正交(QR)
分解函数 将矩阵A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩阵A的正交分解。格式一：[Q, R]=qr(A)功能：产生与A同维的上
三角矩阵R和一个实正交矩阵或复归一化矩阵Q，满足：A=QR，Q’Q=I。格式二：[Q,R,E]=qr(A)功能：产生一个置换矩
阵E，一个上三角矩阵R(其对角线元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足AE=QR；5．奇异值分解 矩阵A的奇异值和相应
的一对奇异矢量u、v满足：同样利用奇异值构成对角阵，相应的奇异矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，则有：其中AT表示转置矩阵。由于U
和V正交，因此可得奇异值分解：格式一：[U,S,V]=svd(x)功能：返回3个矩阵，使得X=USV’。其中S为与X相同维数的
矩阵，且其对角元素为非负递减。格式二：S=svd(A)功能：返回奇异值组成的向量。6．矩阵的特征值分析 矩阵A的特征值 和特征
矢量 ，满足：以特征值构成对角阵 ，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，则有：如果V为非奇异，则上式就变成了特征值分解：格式一
：d=eig(A)功能：返回方阵A的全部特征值所构成的向量。格式二：[V,D]=eig(A)功能：返回矩阵V和D。其中对角阵D的对
角元素为A的特征值，V的列向量是相应的特征向量，使得AV=VD。7．矩阵的幂次运算: A^p 在MATLAB中，
矩阵的幂次运算是指以下两种情况： 1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作； 2、底数是标量，矩阵为指数的
运算操作。 两种情况都要求矩阵是方阵，否则，将显示出错信息。(1) 矩阵的正整数幂 如果A是一个方阵，p是一
个正整数，那么幂次表示A自己乘p次。(2) 矩阵的负数幂 如果A是一个非奇异方阵，p是一个正整数，那么A^(－p)表示in
v(A)自己乘p次。 (3) 矩阵的分数幂如果A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4) 矩阵的元素幂、按矩
阵元素的幂 利用运算符“A.^p”实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。 8．矩阵结构形式的提取与变换 (1) 矩阵左右翻转函数
fliplr( )格式：X=fliplr(A)(2) 矩阵上下翻转函数flipud格式：X=flipud(A)(3) 矩阵阶数重组
函数reshape格式一：X=reshape(A,n,m)功能：将矩阵A中的所有元素按列的秩序重组成n×m阶矩阵X，当A中没有m×
n个元素时会显示出错信息。格式二 ：X=reshape(A,m,n,p,...) 或 X=reshape(A,[m,n,p,.
..])功能：从A中形成多维阵列(m×n×p×...)。(4) 矩阵整体反时针旋转函数rot90( )格式一：X=rot90(A)
功能：将矩阵按反时针旋转90o。格式二：X=rot90(A, k)功能：将矩阵按反时针旋转k90o，其中k应为整数。(5) 对角
矩阵和矩阵的对角化函数diag( )格式一：X=diag(A,k)功能：当A为n元向量时，可得n+abs(k)阶的方阵X，其A的元
素处于第k条对角线上；k=0表示主对角线，k>0表示在主对角线之上，k<0表示在主对角线之下。当A为矩阵时，X=diag(A,k)
得到列向量X，它取自于X的第k个对角线上的元素。格式二：X=diag(A)功能：当A为n元向量时，等同于k=0时的X=diag(A
,k)，即产生A的元素处于主对角线的对角方阵。当A为矩阵时，X=diag(A)相当于k=0。(6) 取矩阵的左下三角部分函数tri
l( )格式一：X=tril(A,k)功能：得到矩阵A的第k条对角线及其以下的元素；当k=0时表示主对角线，k>0表示主对角线之上
，k<0表示主对角线以下。格式二：X=tril(A)功能：得到矩阵A的下三角阵。(7) 取矩阵的右上三角部分函数triu( )格式
一：X=triu(A,k)功能：得到矩阵A的第k条对角线及其以上的元素；当k=0时表示主对角线，k>0表示主对角线之上，k<0表示
主对角线以下。格式二：X=triu(A)功能：得到矩阵A的右上三角阵。(8) 利用“：”将矩阵元素按列取出排成一列方法：X=A(:
)’3.2 多项式运算3.2.1 多项式表示及其四则运算1．MATLAB的多项式表示 对多项式：可表示成行向量：p=[1,
0,–2, 5]。 用其系数的行向量p=[an, an-1, …,a1, a0]来表示。注意：如果 x的某次幂的系数为零，这个零必
须列入系数向量中。例如一个一元3次多项式： 2．多项式的加减运算格式：A=B+C3．多项式相乘运算格式：w=conv(u,v)功
能：返回u和v两向量的卷积，也就是u和v代表的两多项式的乘积。4．多项式相除格式：[q , r]=deconv(u , v)功能：
给出商多项式q和余数多项式r ，u为被除多项式 1．多项式求导函数polyder格式一：k=polyder(p)功能：返回多项式p
的一阶导数。格式二：k=polyder(u,v)功 能：返回多项式u与v乘积的导数。格式三：[q,d]=polyer(u,v)功
能：返回多项式商u/v的导数, 返回的格式为：q为分子, d为分母。2．多项式的根求解多项式的根，即p(x)=0的解。格式：r
=roots(p)功能：返回多项式p(x)的根。注意，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。3.2.2 多项式求导、
求根和求值3．多项式求值函数polyval( )利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。格式：y=polyval(p,x
)功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用polyvalm函
数求值。格式：Y=polyvalm(p,X)功能：返回矩阵多项式p在X处的值。4．部分分式展开函数residue( )格式一：[r
,p,k]=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展开成：其中r代表余数数组，p代表极点数组，ks代表部分分式展开的常
数项。当分母多项式的阶次数高于分子多项式的阶次数时ks=0格式二：[b, a]=residue(r, p, k)功能：格式一的逆作
用。3.3.3 多项式拟合与多项式插值1．多项式拟合函数polyfit( )格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的
数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中p是求出的多项式系数，
n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。2．多项式插值插值和拟合的不同点在于：①插值函数通常是分段的，人们关心的不是函数
的表达式，而是插值出的数据点；②插值函数应通过给定的数据点。(1)一维插值函数interpl( )格式：yi＝interpl (x
, y, xi, ''method'')功能：为给定的数据对(x,y)以及x坐标上的插值范围向量xi，用指定所使用的插值方法metho
d实现插值。yi是插值后的对应数据点集的y坐标。插值的方法method有以下6种可供选择： nearest(最邻近插值法)、lin
ear(线性插值)、 spline(三次样条插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。
（2）二维插值函数格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插值。已知的元素值由3个向量来
描述：x、y和z。函数返回值为一矩阵zi，其元素的值由x、y和z确定的二元函数插值得到。method可为：‘linear’(默认值
)、‘cubic’ 、‘nearest’ 、‘v4’ 。格式：zi=interp2(x, y, z, xi, yi, ''metho
d'')功能：单调节点插值。已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。其中，x、y是已知数据组并且大小相同，z是相对应的已知点上的函
数值；xi、yi是用于插值的矢量； zi是根据相应的插值方法并且与(xi, yi)对应的插值结果。插值方法method：‘line
ar’(默认值)、‘cubic’ 、‘nearest’ 、’spline’ 。(3) 高维插值和交互式样条插值·高维插值函数：三维
插值及三维以上的插值称为高维插值。用于实现高维插值的函数有：interp3(三维插值函数)、interpn(n维插值函数)、ndg
rid(n维数据网格)。其调用格式与interp2函数很类似，这里就不再重述了，具体调用格式读者可利用help来得。·交互式样条插
值函数在MATLAB 6.0及以上版本中，样条工具箱新增加了交互式插值样条函数splinetool。该函数以对话框的形式为用户提供
了插值过程。格式一：splinetool功能：用于生成各种样条曲线，这里几乎包括所有生成样条曲线方法。在它的初始菜单中提供了各种数
据，用户可以选择一种生成的样条曲线。格式二：splinetool(x,y)功能：用户输入数组x、y，并在用户图形界面下生成样条曲线
。 3.3 数据分析与统计3.3.1 数据基本操作1．求最大值函数max格式一：xM＝max(x)功能：如果x是向量，返回x中最
大值元素；如果x是矩阵，则将矩阵每列作为处理向量，返回一个行向量，其元素为矩阵每列中的最大元素；如果x为多维数组，则沿第一个非单元
素维进行处理，求得各向量的最大值。格式二：xM=max(x, y)功能：返回一个与x和y一样大小的数组，其元素取x或y中最大的一个
。格式三：xM=max(x，[]，dim)功能：返回数组(矩阵)x由标量dim所指定的维数(或行)中的最大值。格式四：[xM，I]
＝max(…)功能：返回最大值同时，返回一个下标向量。如果输入数据x为复数，max函数返回复数最大模：max(abs(x))。2．
求最小值函数min min函数的调用格式与max函数的调用格式相同，只是功能与max函数相反，所得结果为最小值。如果输入数据x为复
数，min函数返回复数最小模：min(abs(x))3．求平均值函数mean格式：M＝mean(x)功能：如果x为向量，则返回向量
x的平均值；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量处理，返回一个平均值行向量；如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，返回一个
平均值数组。4. 求中间值函数median 格式：M=median(x)功能：如果x为向量，则返回向量x的中间值；如果x为矩阵，则
将矩阵每列当作为处理向量，返回一个中间值行向量； 如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，返回一个中间值数组。5．求元素和
函数sum格式：s=sum(x)功能：如果x为向量，则返回向量x的元素和；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量处理，返回一个元素分别
为各列和的行向量；如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行计算，返回一个元素和数组。6．求标准偏差函数std与方差函数var对于
向量有两种标准差定义方法：其中 为样本的元素个数。格式一：s=std(x)功能：x为向量，则返回用s1计算的标准偏差s。如果x是服
从正态分布的随机样本，则s2为其方差的最佳无偏估计；如果x为矩阵，则返回矩阵每列标准差的行向量；如果x为多维数组，则沿x第一个非单
元素维计算元素的标准偏差。格式二：s=std(x, flag)功能：如果flag=0，与s=std(x)一样 ；如果 flag =
1，则返回用s2计算的标准差。7．排序函数sort格式一：A=sort(x)功能：沿数组的不同维，以升序排列元素。元素可以为实数、
复数和字符串。如果x是一个复数，其元素按其模的大小进行排列，如果模相等，则按其在区间[-pi, pi]上的相角进行排序。格式二：[
A ,index]=sort(x)功能：同时返回一个下标数组index。8．元素乘积函数prod格式一：A=prod(x)功能：如
果x为向量，则计算其所有元素的乘积；如果x为矩阵，则每列作为向量处理，回一个每列元素积的行向量；如果x为多维数组，则沿第一个非单元
素维进行处理，返回元素积数组。格式二：A=prod(x,dim) 功能：沿dim指定维，返回元素积。9．列元素累乘积函数cum
prod( )格式一：A=cumprod(x)功能：沿数组不同维，返回累乘积，返回值A与x大小一样，与元素全乘积不同，它只将x中相
应元素与其之前的所有元素相乘。当x是向量，返回x的元素累计积向量；如果x为矩阵，返回一个与x大小相同的每列累乘积的矩阵；如果x为多
维数组则沿第一个非单元素维计算累乘积。格式二：A=cumprod(x, dim)功 能：返回沿dim指足的维的元素的累乘积。10
．累计和cumsum函数格式一：A=cumsum(x)功 能：沿数组不同维，返回累乘和。当x是向量，返回x的元素累计和；如果x为
短阵，返回一个与x大小相同按列累计和的矩阵；如果x为多维数组则沿第一个非单元素维计算累计和。格式二：A=cumsum(x,dim)
功 能：沿dim指定的维计算元素的累计和。3.3.2 协方差与相关系数1．求协方差函数cov( )协方差函数定义为：其中E表示数
学期望； 格式一：C=cov(x)功能：如果x为向量，则返回向量元素的方差；如果x为矩阵，每列产生一个方差向量，cov(x) 是一
个协方差矩阵，diag(cov(x))为每列的方差向量，sqrt(diag(cov(x)))是一个标准差向量。格式二：C=cov(
x, y)功能：返回x、y的协方差。x、y为长度相同的列向量。也可用C=cov([x,y])。格式二：S=corrcoef(x,y
)功能：返回列向量x和y的相关系数，也可用 S=corrcoef([x y])。2．求相关系数函数corrcoef( )格式一：S
=corrcoef(x)功能：根据输入矩阵x，返回一个相关系数矩阵，相关系数S的矩阵与协方差矩阵 C=cov(x)有关，由下式确定
：3.3.3 有限差分1．求元素之差函数diff( ) 格式一：A=diff(x)功能：计算x中相邻元素之间的差值或近似导数。如果
x为向量，则返回一个比x少一个元素的向量，其元素值为[x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，…，x(n)-x(n-1)]；如果x
为矩阵，则返回一个列间差值的矩阵：[x(2:n,:) - x(1:n-1,:)]。格式二：A=diff(x, n)功能：使用dif
f函数递归 n 次，计算第n阶差值。例如，diff(x,2) = diff(diff(x))。格式三：A=diff(x, n, d
im)功能：沿dim指定的维数计算第n阶差值。如果n大于或等于dim维的长度，则返回空数组。2．求数值梯度函数gradient(
) 两变量函数F(x, y)的梯度定义为 对N个变量函数 F(x,y,z, … ) 其梯度为 梯度可看作指向F增加方向的向量集。
格式一：Fx=gradient(F)功能：F为一向量，返回F的一维数值梯度，Fx与 一致，表示x方向的差分。 格式二：[Fx, F
y]=gradient(F)功能：F为一矩阵，返回二维数值梯度的x和y分量。 Fx与 表示x(列)方向的差分 Fy与 一致，表示y
(行)方向的差分。每个方向点间距离设为1。3.4 函数分析与数值积分3.4.1 函数在MATLAB中的表示与函数的绘图1．函数的表
示与计算2．函数的绘制(1) 单变量函数绘画命令fplot fplot( )函数的功能能确保在输出的图形中表示出所有的奇异
点。格式一：fplot(‘fun’, [xmin, xmax])功能：变量在[xmin, xmax]范围，绘制指定函数’fun’的
图形。格式二：fplot(‘fun’, [xmin, xmax], tol)功能：在[xmin, xmax]范围，以给定的精度to
l<1，绘制指定函数’fun’的图形，tol的缺省值为2e-3。(2) 简易的函数绘图命令ezplot( )格式一：ezplot(
f, [a,b])功能：当f=f(x)时，绘制函数f=f(x)在a < x < b范围函数曲线，并且所绘图上还自动进行标注；当只输
入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默认的自变量范围为当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默认的自变量范围为、格式二
：ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax]) 功能：在xmin < x < xmax、ymin < y <
ymax范围绘制f(x,y) = 0的曲线。格式三：ezplot(x,y, [tmin,tmax])功能：在tmin < t <
tmax范围绘制x = x(t)和y = y(t)的曲线。范围缺省是变量t的范围为0 < t < 2pi。当f = f(x,y)
时，则绘制a < x < b 、 a < y < b范围内f(x,y) = 0的函数曲线；3.4.2函数的极点、零点分析 1．极值
分析函数(1) 单变量函数求极小值函数fminbnd( )格式：x=fminbnd (‘fun’,x1,x2)功能：返回函数fun
(x)在区间[x1, x2]内的局部极小值。(2) 多变量函数求极小值函数fminsearch( )fminsearch函数与fm
inbnd函数类似，但是它面向多变量函数。格式：x=fminsearch(‘fun’,x0)功能：返回x0附近，函数fun的局部极
小化向量x。x0可以是标量、向量或矩阵。2．单变量函数的零点分析格式：x=fzero(‘funname’,x0)功能：在x0附近，
寻找函数funname的零点。funnamce为一个函数名的字符串，函数为单变量实值函数。Funnamce可以为函数句柄，也可以是
inline对象。函数返回值的附近函数变号。如果x为两元素向量 , 则认为x0为区间，f(x0(1))的符号与f(x0(2))的符
号相反，否则返回NaN。如果找到Inf、NaN，或复数值，则停止在查找区间内的搜索。3.4.3函数的数值积分与微分1．函数的数值积
分(1) 低阶数值积分函数quad格式一：q=quad(‘fun’,a,b)功能：采用自适应的Simpson积分方法，返回函数‘f
un’ 在上限 a 和下限 b之间的数值积分。当给定一个输入值向量，‘fun’ 必须返回一个输出向量。函数‘fun’可以是函数名、
函数句柄或字符串。格式二：q=quad(‘fud’,a,b,tol)功能：按指定绝对误差tol返回数值积分值, tol 缺省值为
1e-6。(2) 高阶数值积分函数quadl (3) 梯形面积法的积分函数trapz( )格式一：T=trapz(Y)功能：以单位
间隔，采用计算若干梯形面积的和来计算某函数的近似积分。如果Y为向量，计算Y的积分；如果Y是矩阵，得一个每列积分的行向量；如果Y为多
维数组，则沿第一个非单元素维计算。格式二：T=trapz(X,Y)功能：用梯形积分法，依据X计算Y的积分。如果X为矢量，则Y必须是
同大小的矢量；如果X是一列向量，并且数组Y第一非单元素维长度为length(X)，则在该维中计算。(4) 双重积分函数dblqua
dMATLAB提供了一个求双重积分的函数dblquad，其基本调用格式为：格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,y
min,ymax,tol)功能：按指定精度tol，对指定函数 f(x, y)在[xmin, xmax]范围和[ymin, ymax
]范围进行双重积分。精度tol缺省时默认精度为1e-6。 (5) 不定积分的计算 对于函数不定积分的计算，可以采用定积分函
数来求不定积分的数值解。方法是：固定积分下限，用for循环，把积分上限逐步增加即可实现。2．函数的数值微分(1)通过计算数组中元素
间的差分函数diff来粗略计算微分函数。 (2)对数据拟合后再利用polyder函数微分 为了实现对数值较准确的微分，最好先
用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。 3.4.4 常微分方程的数值求解1．初始值的常微分方程求解格式：[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0)功能：返回由文件‘odefun’所定义的具有初始条件为y0、时间t变化范围为[t0, tfinal] 的微分方程y‘ = f(t,y)的解，其中tspan = [t0,tfinal]。向量T中的每一列对应着矩阵Y的每一列。 任何高阶常微分方程都可以变换成一阶微分方程，即表示成右函数形式，这是利用龙格-库塔法求解微分方程的前提。 2．边界条件的常微分方程求解对于如下的微分方程： 用于边界条件的常微分方程求解问题: 函数bvp4c格式：sol = bvp4c(‘odefun’,bcfun,solinit)其中‘odefun’为常微分方程函数，bcfun为边界条件函数，solinit为求解的初始值。输出sol是一个结构，它有4个属性。·sil.x　bvp4v选择的网格节点·sil.y 网格点sil.x处y(x)的近似值·sil.yp　网格点sil.x处y’(x)的近似值·sil.parameters　未知参数的值。如果存在未知参数，则求解函数会自动求得。MATLAB提供了dpepe函数来求解该问题的数值解。其基本调用格式为：sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)其中有t00，则必须a>0，求满足初始条件 u(x, t0)=u0(x)边界条件如下的解：3．偏微分方程的求解 考虑如下的偏微分方程：