隐函数 9y
3
-4x
2
=4 的主要性质
主要内容：
本文介绍隐函数 9y
3
-4x
2
=4的定义域、 值域、 奇偶性等性质，
并通过导数知识，求解函数 9y
3
-4x
2
=4 的驻点和拐点，判断函数
的单调性和凸凹性，并解析函数的 单调区间和凸凹区间。
函数的定义域：
根据函数特征，变形函数表达式 9y
3
=4+4x
2
，可知自变量 x
可取全体实数，即函数的定义域为：(-∞，+∞)。
函数的值域：
∵9y
3
=4+4x
2
，
∴9y
3
≥4，即 y≥(
4
9
)
1
3。
即函数的值域为：[(
4
9
)
1
3,+∞)。
函数的奇偶性：
9y
3
=4+4x
2
,可知两个互为相反数的自变量 x
1
和x
2
， 都有同一
个 y 值与之对应， 符合偶函数的定义 f(-x)=f(x),即函数为偶函
数，其图像关于 y 轴对称。
函数单调性：
用导数知识求解函数的一阶导数，进而得函数的拐点，判
断函数的单调性并求解函数的单调区间。
对隐函数 9y
3
-4x
2
=4 两边同时对 x 求导，得：
27y
2
dy
dx
=8x,即：
dy
dx
=
8x
27y
2
,令
dy
dx
=0,则 x=0，有：
(1)当 x＞0 时，
dy
dx
>0,此时函数为增函数， 函数的增区间为：
[0,+∞);
(2)当 x＜0 时，
dy
dx
＜0,此时函数为减函数，函数的减区间
为： （-∞,0]。
函数凸凹性：
∵
dy
dx
=
8x
27y
2
,
∴
d
2
y
dx
2
=
8
27
y
2
-x2y
dy
dx
y
4
,
=
8
729
27y
3
-28x
2
y
5
=-
8
729
4x
2
-12
y
5
.
令
d
2
y
dx
2
=0，则 x
2
=3,即 x=± 3 .
（1）当x∈(-∞,- 3 ],[ 3 ,+∞)时，
d
2
y
dx
2
≤0，函数图
像为凸函数；
（2） 当x∈(- 3 , 3 )时，
d
2
y
dx
2
＞0， 函数图像为凹函数。
函数五点图：
x -2.73 -1.73 -0.86 0 0.86 1.73 2.73
4+9x
2
33.8 15.9 6.95 4 6.95 15.9 33.8
y 1.55 1.20 0.91 0.76 0.91 1.20 1.55
函数示意图：
9y
3
-4x
2
=4
y
(-2.73,1.55) （ 2.73, 1.55）
(-1.73,1.20) (1.73,1.20)
(-0.86,0.91) (0.86,0.91)
（ 0,0.76）
o x
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