第4章 动态电路的过渡过程 4.1 过渡过程及换路定律 4.2 一阶RC电路的过渡过程 4.3 一阶
RL电路的过渡过程 4.4 一阶电路的全响应及三要素法本章内容提要重点：（1）动态电路的组成及变化特点；（2）换路定律的内容
及应用；（3）RC、RL电路的零输入响应及零状态响应；（4）一阶电路的全响应及三要素法；（5）时间常数的计算及其物理意义。难点：（
1）动态电路的经典分析法——解微分方程法；（2）过渡过程初始值的计算；（3）储能元件充放电规律。5.1 过渡过程及换路定律5.1
.1 过渡过程 当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压或电流（响应）也是恒定的或按周期性
规律变化，即电路中响应与激励的变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。但是，在实际电路中，经常遇到电路由一个稳
定状态向另一个稳定状态的变化，尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个时间过程，称为过渡过程。
含有储能元件（也叫动态元件）L或C的电路称为动态电路。 电路产生过渡过程的原因无外乎有外因和内因，电路的接通或断开，电路
参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。这些能引起电路过渡过程的电路变化统称为“换路”。除了外因，电路中还必须含有储能元件电感或电
容，这是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程，实质是储能元件的充、放电过程。 电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和
影响都十分重要。有的电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中，过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压
或过电流，若不采取一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。 5.1.2
换路定律1. 换路定律 为便于分析，通常认为换路是在瞬间完成，记为t = 0，并且用t = 0 - 表示换路前的终了
时刻，用t = 0+ 表示换路后的初始时刻。由于电容内部的能量与其电压有关（ ），电感的能量与其电流有关（
），而能量是不能跃变的，也就是说，电容上的电压uC不能跃变，电感中的电流iL也不能跃变（假设电容电流iC和
电感电压uL为有限值），这个基本原则对换路前后的电路亦适用。因此可以得到
uC（0+）= uC（0 -） iL（0+）= iL（
0 -） 式（4-1）称为换路定律。
(4-1) 换路定律说明，在换路前后，电容电压uC和电感电流iL不能发生跃变，即满足 t = 0+ 时刻值等
于t = 0- 时刻值，其值具有连续性。需要注意的是，换路定律只揭示了换路前后电容电压uC和电感电流iL不能发生突变的规律，对于电
路中其它的电压、电流包括电容电流iC和电感电压uL，在换路瞬间都是可以突变的。2. 电路中其他变量初始值的计算 对于动态
电路中除uC和iL以外的其他变量的初始值可按以下步骤确定： （1）先求换路前瞬间即t = 0 - 时刻的uC（0 -）或i
L（0 -）（这一步要用t = 0- 时刻的等效电路进行求解，此时电路尚处于稳态，电容开路，电感短路）； （2）根据换路定
律确定uC（0+）或iL（0+）； （3）以uC（0+）或iL（0+）为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律和直流电路的分析方
法确定电路中其他电压、电流的初始值（这一步要用t =0+ 时刻的等效电路进行求解，此时，电容等效为电压值为uC（0+）的电压源，电
感等效为电流值为iL（0+）的电流源）。 【例4-1】 图4-1（a）所示为直流电源激励下的含有电容元件的动态电路，已
知US = 100 V，R1= R2 =100 Ω，R3 = 50 Ω，开关S打在1位时，电路处于稳态。t = 0时，S由1位打向
2位进行换路，求此瞬间uC（0+）、i（0+）、uR2（0+）和uR3（0+）各为多少？ 解： 选定各电压、电流参考方向
如图所示。S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时 uC（0 -）=
US =100 Vt = 0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有 uC（0+）= uC
（0 -）=100 V此时电容相当于100 V的电压源，作t = 0+ 时的等效电路如图4-1（b）所示。由KVL得
uC（0+）- uR3（0+）+ uR2（0+）= 0 uC（0+）
- [-R3 i（0+）] + R2 i（0+）= 0 i（0+）=
uR2（0+）= R2 i（0+）= 100× -66.7 V
uR 3（0+）= - R3 i（0+）= - 50× 33.3 V 【补充例题】 下
图（a）所示为直流电源激励下的含有电感元件的动态电路，已知US =20 V，R1 = 10 Ω，R2 = 30 Ω，R3 = 20
Ω，开关S打开时，电路处于稳态。t = 0时S闭合，进行换路，求S闭合瞬间各电压、电流的初始值。 解： 选定各电压、
电流参考方向如图（a）所示。 S打开时，电路处于稳态，此时电感相当于短路，有
iL（0 -）= 0.5 At = 0时，S闭合，根据换路定律，有
i L（0+）= i L（0 -）= 0.5 A S闭合时，电感相
当于一个电流源，作t =0+ 时的等效电路如图（b）所示。可求得 i 1（0+）=
iL（0 -）= 0.5 A i 2（0+）= iL（0+）×
0.2 A i 3（0+）= iL（0+）- i 2（0+）= 0.5
- 0.2 = 0.3 A由KVL得 i 1（0+）R1 + uL（0
+）+ i 2（0+）R2 = US 所以 uL（0+）= US
– i 2（0+）R2 – i 1（0+）R1 = 20 – 0.2×3
0 - 0.5×10 = 9 V4.2 一阶RC电路的过渡过程4.2.1 RC电路的零输入响应 当电路中
仅含有一个电容和一个电阻或一个电感和一个电阻时，称为最简RC电路或RL电路。如果不是最简，则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维南
定理或诺顿定理进行等效，从而变换为最简RC电路或RL电路。 图4-2（a）所示电路中，原先开关S打在1位，直流电源US给
电容充电，充电完毕，电路达到稳态时，电容相当于开路。t = 0时，S由1位打向2位进行换路，此时电容与电源断开，与电阻R构成闭合回
路，如图4-2（b）所示，电容通过电阻进行放电，放电完毕，电路进入新的稳态。显然，S由1位打向2位后，RC串联回路的输入为零，电路
中的电压uR、电流iR是仅仅依靠电容放电产生的，这便是一阶RC电路的零输入响应。1. 电压电流变化规律 电压、电流参考方
向如图4-2（b）所示。换路后，根据KVL可得 uR
- uC = 0 根据图4-2（b）中电压、电流参考方向，可写出电阻、电容VCR，分别为
uR = R i R 将以上三式联立，可求出换路后（即t≥0时）电容
电压uC变化规律的微分方程 RC + uC = 0
（t≥0） （4-2） 由于电阻和电容的参数
均为常数，所以式（4-2）是一个常系数一阶线性齐次微分方程，分离变量得等号两边取不定积分，有所以 两边再取以e为底的对数，得到
其中A为待定的积分常数，可根据初始条件uC（0+）的值确定。在换路瞬间，由于uC（0+）= uC（0 -）= U0，故有A
= U0。所以，微分方程的解为（t ≥0） （4-3） 式（4-3）即为换路后电容电
压uC随时间变化的解析式。从解析式可以看出，换路后，电容电压uC从初始值U0开始，按照指数规律递减，直到最终uC→0，电路达到新的
稳态。 uC的变化曲线如图4-3所示。很明显，曲线反映出的uC的变化规律与解析式完全一致，而且曲线更为直观。
以uC为依据，可求出换路后uR、iC（iR）的变化规律为uR（t）= （t ≥0）i
C（t）= iR（t）= - （t ≥0）
可见，换路后，电路中的电压、电流都是按照相同的指数规律进行变化。 2. 时间常数
式（4-3）中，令τ= RC，τ称为RC电路的时间常数。当R的单位为欧[姆]（Ω），C的单位为法[拉]（F）时，τ的单
位为秒（s）。 [τ]=[R][C] =Ω·F =
（秒） 于是，式（4-3）写为
（t≥0） （4-4） 式（4-4）即为一阶R
C电路零输入响应时电容电压uC变化规律的通式。 时间常数τ是表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。τ越大，过渡过程进行得
越慢；反之，τ越小，过渡过程进行得越快。由表达式τ= RC可以看出，RC电路的时间常数τ，仅由电路的参数R和C决定，R是指换路后电
容两端的等效电阻。当R越大时，电路中放电电流越小，放电时间就越长，过渡过程进行得就越慢；当C越大时，电容储存的电场能量越多，放电时
间也就越长。现以电容电压uC为例说明时间常数τ的物理意义。 在式（4-4）中，分别取t =τ、2τ、3τ……不同的时间，
求出对应的uC值如表5.1所列。 从表4-1可以看出： （1）当t =τ时，uC = 0.368 U0，这表
明时间常数τ是电容电压uC从换路瞬间开始衰减到初始值的36.8%时所需要的时间，参见图4-3所示的uC的变化曲线。 （2）
从理论上讲，t = ∞时，uC 才衰减到 0，过渡过程才结束，但当t =（3～5）τ时，uC已衰减到初始值的5%以下，因此实际工程
当中一般认为从换路开始经过3τ～5τ的时间，过渡过程便基本结束了。∣ 【补充例题】 下图所示电路中，已知US =20 V
，R1 = 4 kΩ，C =1 μF，R2 = 2 kΩ，R3 = 6 kΩ，C =1 μF，开关S闭合时电路处于稳态。t = 0
时S打开，求电容电压uC和电路电流i的变化规律即解析式。 解： 选定电压、电流参考方向右图所示。S闭合时电路处于稳态，电
容相当于开路，此时 uC（0 -）=
V t = 0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有
uC（0+）= uC（0 -）= 12 V 电路时间常数 τ=（R2 + R3）C =
（2+6）×103×10 -6 = 8×10-3 s电容电压电路电流 -1.5×10-3e-125 t A
= -1.5 e-125 t mA 例5.3 有一个C = 40 μF的电容器从高压电路上断开，断开时电容器的电压U0
= 6 kV，电容器经本身漏电阻放电，漏电阻R = 50 MΩ，试求电容器电压下降到400 V时所需的时间。 解： 电
容器放电时的时间常数 τ= RC = 50×106×40×10–6 = 2 000 s 【例4-
2】 有一个C = 40 μF的电容器从高压电路上断开，断开时电容器的电压U0 = 6 kV，电容器经本身漏电阻放电，漏电阻R
= 50 MΩ，试求电容器电压下降到400 V时所需的时间。 解： 电容器放电时的时间常数
τ= RC = 50×106×40×10–6 = 2 000 s 现有代入已知数据得 所
以 t = 2 000ln15 = 5 416 s≈1.5 h 由以上两例的分析可以看出，
在电子设备中，RC电路的时间常数τ很小，放电时过程经历不过几十毫秒甚至几个微秒。但在电力系统中，高压电力电容器放电时间比较长，可达
几十分钟，如例5.4中电容器放电经过1.5 h后，两端仍有400 V的电压。因此检修具有大电容的高压设备时，一定要让电容充分放电以
保证安全。4.2.2 RC电路的零状态响应 零状态响应是指电路在零初始状态下（动态元件的初始储能为零）仅由外施激励所产
生的响应。 图4-4所示电路中，电容原来未充电，uC（0 -）= 0，即电容为零初始状态。t = 0时开关闭合，RC串联
电路与电源连接，电源通过电阻对电容充电，直到最终充电完毕，电路达到新的稳态。这便是一阶RC电路的零状态响应。零状态响应的实质是储能
元件的充电过程。1. 电压、电流变化规律 以电容电压为变量，列出换路后图4-4所示电路的微分方程
RC + uC = US （t ≥0）
（4-5）式（4-5）是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。利用高等数学中关于该类方程 的通解
不难求出: 式中的常数A由初始条件确定。在换路瞬间，
由于uC（0+）= uC（0-）= 0，故有A = -US 。所以，式（4-5）的解为（t ≥ 0）
（5-6） 式（4-6）中的US是换路后电路达到新稳态时uC的值，即uC（∞）= US，于是式（4-6）可写为
（t ≥0） （4-7
） 式（4-7）即为一阶RC电路零状态响应时电容电压uC变化规律的通式。u
C的变化曲线如图4-5所示。从曲线可以看出，换路后电容电压从初始值0开始，按照指数规律递增到新的稳态值US。2. 时间常数
与放电一样，电路的时间常数为τ= RC。电源电压US一定，电容C越大，储存的电场能量越多，充电时间长。电阻R越大，充电电流越小
，电容极板上电荷增加慢，充电时间长，过渡过程进行得慢。 将充电时电容电压在不同时刻的数值列于表5.2中，可以看出，经过一
个τ的时间，uC已上升到稳态值的63.2%，t = 5τ时，uC已上升到稳态值的99.3%，t =（3～5）τ时，充电过程基本结束
。 【补充例题】 图4-4所示电路中，已知US =200 V，R1 = 100 Ω，C = 2 μF，开关S闭合前电
容没有储能。t = 0时S闭合。求：（1）电路的时间常数和最大充电电流；（2）uC 、i、uR的变化规律即解析式，画出它们随时间的
变化曲线；（3）S闭合1 ms后，uC 、i、uR的值；（4）S闭合多长时间后，电容电压上升到120 V。 解： 选定u
C 、i、uR参考方向如图6.6所示。 （1）电路时间常数 τ= RC = 100×2×10-6 = 2
×10-4 s = 0.2 ms S闭合前uC（0 -）= 0，t = 0时S闭合，uC（0+）= uC（0 -）= 0
，电容相当于短路，最大充电电流是在S闭合瞬间产生，则 （2）接通电源后，电容电压由零开始增加，为零状态响应，电容电压的稳态
值 uC（∞）= US = 200 V所以
= 200（1- ）= 200（1
- ）V （3）t = 1 ms时uC （1 ms）= 200（1-
198.6 Vi（1 ms）= 2= 0.014 A， uR
（1 ms）= 200= 1.4 V （4） 120 = 200 所以
0.183 msS闭合0.183 ms后电容电压uC
从零上升到120 V。4.3 一阶RL电路的过渡过程4.3.1 RL电路的零输入响应 图4-6所示电路中
，开关S打在1位时，电路已达到稳态，电感中电流等于电流源电流I0，电感中储存能量 。t = 0时开关
由1位打向2位进行换路，电流源被短路，电感与电阻R构成串联回路，电感通过电阻R释放其中的磁场能量，直到全部释放完毕，电路达到新的稳
态。显然，换路后电路发生的过渡过程属于RL电路的零输入响应。 以电感电流iL为变量，列出换路后电路的微分方程（t≥0）
（4-8） 解方程得到 （t≥0） （4-9） 上式即为一阶RL串联电路
零输入响应时电感电流iL变化规律的通式。其中τ= L/R称为RL电路的时间常数，单位是秒（s）。iL的变化曲线如图4-7所示。
有了电感电流iL（t）的解析式，可以进一步求出电感电压uL的解析式为 【例4-3】 图4-8为实际的电感线
圈和电阻R1串联与直流电源接通的电路。已知电感线圈的电阻R = 2Ω，L = 1 H，R1 = 6Ω，电源电压US = 24 V。
线圈两端接一内阻RV = 5 kΩ、量程为50 V的直流电压表，开关K闭合时，电路处于稳态。t = 0时S打开，求：（1）S打开
后电感电流iL的初始值和电路的时间常数；（2）i L和uV的解析式即变化规律；（3）开关打开瞬间电压表两端电压。 解：
选取电压、电流参考方向如图4-8所示。 （1）开关S闭合时，电路处于稳态，电感相当于短路，由于R＜＜RV ，所以i L（0+
）= iL（0-）= 电路的时间常数 τ= ≈ 2×
10-4 s = 0.2 ms （2）S打开后，输入为零，电感电流i L的零输入响应解析式为 （3）
S刚打开（即 t = 0+）时，电压表两端电压为 |u V（
0+）|=15 Kv 开关S打开瞬间，电感线圈两端即电压表两端出现了15 kV的高电压，这就是我们通常所说的过电压。电压
表内阻越大，电压表两端电压越大。此时，若不采取保护措施，电压表将立即损坏。通常可采取以下几种保护措施：（1）在开关打开瞬间，先将电
压表拆除；（2）如图4-9所示在电压表两端并接一只二极管，利用二极管的单向导电性进行保护；（3）工厂车间使用大电感的场合，由于开关
打开瞬间，电感要释放大量的能量，因此常常出现电弧，这时要采用专门的灭弧罩进行灭弧。 具有大电感的电路在突然断开时产生过电
压，用物理概念来解释是电感电流在换路瞬间要保持原来数值不变，此电流通过大电阻（如电压表内阻）就产生过电压。另从能量角度来看，电感储
存的磁场能量在开关断开瞬间要全部释放出来，必然产生很高的电压。 4.3.2 RL电路的零状态响应 图4-9（a）所示电
路中，开关转换前，电感电流为零，即iL（0 -）= 0，电感为零初始状态。开关由a打向b后，电流源与电感接通，如图4-9（b）所示
，电感内部开始储能，直至储能完毕，电路进入新的稳态，电感相当于短路。显然，换路后电路发生的过渡过程是RL电路的零状态响应。
以电感电流iL为变量，可以列出换路后图4-9（b）所示电路的微分方程（t ≥ 0） （4-
10） 解方程得到（t ≥0） （4-11） 式（4-11）便是RL电路零状态响应时电感电流iL变化规律的通式。
以此为依据，可进一步求出电路中其它电压、电流的变化规律即解析式。 4.4 一阶电路的全响应及三要素法4.4.1 一阶
电路的全响应 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应，称为全响应。以图4-10为例，开关接在1位已久，uC（0 -）=
U0 ，电容为非零初始状态。t = 0时开关打向2位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的激励，因此t≥0时电路发生的
过渡过程是全响应。同样利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压uC全响应的变化通式为式（4-12）还可写为 可见，全响应
是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳态响应与暂态响应的叠加。 （t≥0) （4-12） （t≥0）
（4-13） 4.4.2 一阶电路的三要素法 通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看出，换路后，电路中的电压、电流
都是从一个初始值f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f（∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。f（0+）、f（∞）和τ称
为一阶电路的三要素。有了三要素，根据式（4-13）可求出换路后电路中任一电压、电流的解析式f（t）。f（t）的一般表达式为
f（t）= f（∞）+[ f（0+）- f（∞）] （t≥0） （4-14）
由式（4-14）可以确定电路中电压或电流从换路后的初始值变化到某一个数值所需要的时间为 【补充例题】 下图所示
电路中，已知US =12 V，R1 = 3 kΩ，R2 = 6 kΩ，R3 = 2 kΩ，C = 5μF，开关S打开已久，t =
0时，S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的变化规律即解析式。 解： 先求电压、电流的三要素。
（1）求初始值 uC（0+）= uC（0 -）=
0 (4-15) （2）求稳态值（3）求时间常数τ（4）根据三要素法通式写出解析式 上题也可以只求出电容电压uC的三
要素，然后利用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据，求出其它电压、电流的解析式。请看下面例题。 【例
4-4】 图4-11示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t = 0时开关由1位接至2位，求t ≥0时（即换路后）i L 、i
2、i 3和电感电压uL的解析式。解： 先用三要素法计算电感电流iL（t）。 （1）求电感电流的初始值iL（0+）
IL（0+）= iL（0 -）=
mA （2）求电感电流的稳态值iL（∞）开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时
，电感电流为零，即 iL（∞）= 0 （3）求时间
常数τ 根据三要素法，可写出电感电流的解析式为 i L（t）= 0 +（10×10- 3 – 0）
=10 mA 以iL（t）为依据，根据KCL、KVL和VCR（元件自身的
电压电流关系）求出其他电压、电流的解析式： 【例4-5】 图4-12（a）所示电路中，电感电流iL（0 -）= 0，t = 0时开关S1闭合，经过0.1 s，再闭合开关S2，同时断开S1。试求电感电流iL（t），并画波形图。 解： 本题属于包含开关序列的直流一阶电路的分析。对于这一类电路，可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法求解电路的响应。 （1）在0≤t≤0.1 s时间范围内响应的计算在S1闭合前，已知iL（0 -）= 0。S1闭合后，电感电流不能跃变，iL（0+）= iL（0 -）= 0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可用三要素法求解： 根据三要素公式（4-14）得到 iL（t）= 0.5（1 - ）A （0.1 s ≥ t ≥ 0） （2）在t≥0.1 s时间范围内响应的计算 仍然用三要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流 在t = 0.1 s时，闭合开关S2，同时断开开关S1，由于电感电流不能跃变，所以有 iL（0.1+）= iL（0.1-）= 0.316 A。此后的电感电流属于零输入响应，iL（∞）= 0。在此时间范围内电路的时间常数为根据三要素公式（6.15）得到 （t ≥0.1 s） 电感电流iL（t）的波形曲线如图4-12（b）所示。在t = 0时，它从零开始，以时间常数τ1 = 0.1 s确定的指数规律增加到最大值0.316 A后，就以时间常数τ2 = 0.0667 s确定的指数规律衰减到零。 |
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