《數理精藴》之鈍角及任意三角形測高測遠法上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提
要：本文主要介紹“圜儀”之測量法。清代之量角儀器有三種：一為“全圜儀”，二為“半圜儀”，三為“象限儀”，本文統稱之為圜儀。測量得度
數後，然後以三角函數計算所測物體之高、遠或深。本文主要提及圜儀之“任意三角形測法”，即所形成之三角形為任意三角形。關鍵詞： 圜儀
距分第 1 節 《數理精藴》之“圜儀”測量法簡介本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷十八?面部八》﹝簡稱為《數理精藴》﹞，其
分題為：測量。測量則分為勾股測量及三角測量。清初數學界亦盛行“三角度數測量”法，然後以三角函數計算之，所用之儀器為“圜儀”。清代之
“圜儀”有三種：一為“全圜儀”；二為“半圜儀”；三為“象限儀”，統稱為“圜儀”。以上之三種儀測量時人目均在圓心。“圜儀”以九十度為
一象限，一象限內有“定表”和“遊表”，定表即平行地面有刻度之半徑表，遊表指有度數刻在圓周上之表，合稱為“兩表”。此兩表形成兩視線，
兩視線成一夾角，此夾角即為所測物體之角。得物體之角度後再查三角函數表，即可計算物體之高、遠或谷之深。以下為“圜儀測高”圖。DE乃物
體之高，D為直角，DO乃人與物體之距離，O為圜儀之圓心，亦為觀測之點。OB為半徑亦為定表，ACB及其他圓周部分是為遊表。若將上圖之
圜儀平置，即圓形平面與地面平行，則可測ED之距離，其測量法與計算法與測高相同。E遊表視線二A物體高CO夾角D圜儀視線一B定表“矩度
”之定義可參閱筆者另文名為〈清代《數理精藴》之矩度與表杆測高法﹝修正﹞〉，該文詳細介紹“矩度”之形狀及用法。筆者尚有文名為〈《數理
精藴》之矩度測遠及“重矩”測高法〉、〈《御製數理精藴》之非直角“重矩”測距離法〉及〈清代《數理精藴》之表杆及“圜儀”測量法〉，本文
乃以上諸文之延續。第 2 節 “圜儀”鈍角三角形測高法舉例【第六題】設如人在山上，欲測山之高，但知山前有二樹與山參直，二樹相距十
八丈。問：山之高得幾何？本題尚有其他已知條件，宜參看“法”。其圖見下文。本題屬初等三角學。法：於山頂安儀器定準墜線，以定表向空中取
一平線，先以遊表看逺樹，得遊表距垂線四十九度；次以遊表看近樹，得遊表距垂線三十八度。乃以所得兩數相減，餘十一度，為對所知之角，其正
弦一萬九千零八十一為一率，以看逺樹所得之四十九度，與九十度相減餘四十一度為對所求之角，其正弦六萬五千六百零六為二率，二樹相距十八丈
為三率，求得四率六十一丈八尺九寸，為近樹距山頂之斜距。次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角，其正弦即半徑十萬為一率，以看近樹所得
之三十八度與九十度相減餘五十二度為對所求之角，其正弦七萬八千八百零一為二率，近樹距山頂之斜距六十一丈八尺九寸為所知之邊為三率，求得
四率四十八丈七尺七寸，即所測之山之高也。以下為本題之解說：“參直”指丁為山底部之中央點，乙與甲為兩樹，則丁乙甲三點成一直線。人在山
頂丙C，以圜儀觀測山下兩樹B和A，得∠DCB = 38o，又得∠DCA = 49o，又已知BA = 18 丈，求山高CD。以圜儀測
得俯角 ∠HCA = 38o，∠HCB = 49o。丙C空中平線HF己戊EyG庚丁Dx乙B近樹甲A遠樹作己庚戊即FGE線等於並平行
BA﹝自B畫平行線BF平行CA，再畫FGC平行BA﹞。已知 ∠DCA = 49o，∠DCB = 38o，∠BCA = 49o –
38o = 11o，BA = 18 丈。∠DAC = 90o – 49o = 41o，∠DBC = 90o – 38o = 52o
。《數理精藴》之比例四率算法，指一率：二率 = 三率：四率，而第四率為丙乙，“比例四率”即：一率：sin 11o = 19081，
二率：sin 41o = 65606，三率：18，四率：丙乙。依比例四率得：sin 11o：sin 41o = 18：丙乙sin
11o丙乙 = sin 41o × 18丙乙 = × 18 = 18 × = 61.89。再求山高丙丁之四率：一率：10000
0，二率：sin 52o = 78801，三率：61.89，四率：丙丁。依比例四率得：100000：sin 52o = 61.89
：丙丁100000丙丁 = sin 52o × 61.89丙丁 = × 61.89 = 61.89 × = 48.77。以下為
現代算法：在三角形ABC中，依正弦定理 (Sine Formula) 可得： = CB = = = 18 × = 61.89﹝
丈﹞即61丈8尺9寸。CD = CB sin∠DBC = 61.89 sin 52o = 61.89 × 0.7880 = 48.
77﹝丈﹞即48丈7尺7寸。以下為《數理精藴》原文：以下為《御製數理精藴表》之正弦sin 11o = 1908090，上文用190
81。正弦sin 41o = 6560590，上文用65606。又法：以先看逺樹所得四十九度之正切十一萬五千零三十七，與後看近樹所
得三十八度之正切七萬八千一百二十九相減，餘三萬六千九百零八為一率，半徑十萬為二率，二樹相距之十八丈為三率，求得四率四十八丈七尺七寸
，即山之高也。如圖戊己為甲丙丁角之正切，庚己為乙丙丁角之正切，戊庚即兩正切之較，丙己為半徑，故戊庚與丙己之比同於甲乙與丙丁之比，而
為相當比例四率也。《數理精藴》之比例四率算法，指：一率：tan 49o – tan 38o = 115037 – 78129 =
36908，二率：100000，三率：18，四率：山高丙丁CD。依比例四率得：tan 49o – tan 38o：100000 =
18：CD(tan 49o – tan 38o)CD = 100000 × 18 = 1800000CD = = 48.77﹝
丈﹞即四十八丈七尺七寸。丙Cy丁Dx乙B近樹甲A遠樹若 CD = y，DB = x。以下為代數証明法：在Δ丁乙丙中 tan 38o
= ------------------- (1)在Δ丁甲丙中 tan 49o = --------------- (2)式
(2) – (1) 得 tan 49o – tan 38o = – tan 49o – tan 38o = y = = =
48.77﹝丈﹞即四十八丈七尺七寸。答：山高四十八丈七尺七寸。以下為《御製數理精藴表》之正切tan 38o = 7812856，
上文用78129。正切tan 49o = 11503684，上文用115037。第 3 節 “圜儀”任意三角形測遠法舉例【第七題
】設如一石，欲知其逺，不取直角，於左右兩處横量五十丈測之。問：兩處各距石幾何？本題尚有其他已知條件，宜參看“法”。其圖見下文。法：
先平安儀器於左，以定表看右儀器之中心，遊表看石，得兩表相距七十度次平安儀器於右，以定表看左儀器之中心，遊表看石得兩表相距六十度。乃
以兩角度相併，得一百三十度，與一百八十度相減，餘五十度為對所知之角，其正弦七萬六千六百零四為一率，求右邊則以左邊儀器所得七十度為對
所求之角，其正弦九萬三千九百六十九為二率，左右相距五十丈為所知之邊為三率，求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺。解：以下為《數理
精藴》之原圖：若求左邊距石之逺，則以右邊儀器所得六十度為對所求之角，其正弦八萬六千六百零三為二率，左右相距五十丈為所知之邊為三率，
求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也。如圖甲為石，乙丙為左右相距五十丈，乙角為左邊所測七十度，丙角為右邊所測六十度。兩角相併，
與一百八十度相減得甲角五十度，共為甲乙丙銳角三角形，蓋知乙丙二角及乙丙邊，而求甲乙邊及甲丙邊也。以下為本題之解說：甲為石，乙與丙為
兩觀測點，兩點相距50丈。在乙點以“圜儀”測得角甲乙丙為70o，角甲丙乙為60o，容易算出角乙甲丙為50o，求兩觀測點距石之遠，即
求甲丙及甲乙之長。《數理精藴》之原圖有輔助線甲丁及其他輔助線，此等輔助線以証明其所採用之比例四率法，但可以以現代之正弦定理 (Si
ne Formula) 証明而不須加輔助線。但如用“另法”，則須加輔助線，見後文。《數理精藴》之比例四率求甲丙算法，指：一率：si
n 50o = 76604，二率：sin 70o = 93969，三率：50，四率：甲丙。依比例四率得：sin 50o：sin 7
0o = 50：甲丙sin 50o 甲丙 = 50 × sin 70o甲丙 = = = 61.33﹝丈﹞即 61丈3尺3寸。《
數理精藴》之比例四率求甲乙算法，指：一率：sin 50o = 76604，二率：sin 60o = 86603，三率：50，四率：
甲乙。依比例四率得：sin 50o：sin 60o = 50：甲乙sin 50o 甲乙 = 50 × sin 60o甲乙 = =
= 56.53﹝丈﹞即 56丈5尺3寸。以下為現代算法：在三角形甲乙丙中求甲丙，依正弦定理 (Sine Formula) 可得
： = 甲丙 = = = 61.33﹝丈﹞即 61丈3尺3寸。次求甲乙，亦依正弦定理可得： = 甲乙 = = = 56.5
3﹝丈﹞即 56丈5尺3寸。以下為《御製數理精藴表》之正弦sin 60o = 餘弦 cos 30o = 8660254，上文用86
603。正弦sin 50o = 餘弦cos 40o = 7660444，上文用76604。又法：以左邊儀器所得七十度之餘切三萬六千
三百九十七與右邊儀器所得六十度之餘切五萬七千七百三十五相併，得九萬四千一百三十二為一率，右邊儀器所得六十度之餘割十一萬五千四百三十
為二率，左右相距五十丈為三率，求得四率六十一丈三尺三寸，為右邊距石之逺。若求左邉距石之逺，則以左邊儀器所得七十度之餘割十萬六千四百
一十八為二率，左右相距五十丈為三率，求得四率五十六丈五尺三寸，為左邊距石之逺也。以下為《數理精藴》原文：以下為另法之圖：甲h70o
60o乙a丁b丙自甲畫一垂線甲丁垂直乙丙，設其長為h，又設乙丁為a，丁丙為b。從圖可知 b = h cot 60o，a = h c
ot 70o。因為 a + b = 50，所以：h cot 70o + h cot 60o = 50h (cot 70o + co
t 60o) = 50h = 。又從圖可知甲丙 = h csc 60o﹝以上式之h代入﹞= = = 61.33﹝丈﹞即 61丈3尺
3寸。同理甲乙 = h csc 70o= = 56.53﹝丈﹞即 56丈5尺3寸。此節《數理精藴》之比例四率求甲丙算法，指：一率：
cot 70o + cot 60o = 36397 + 57735 = 94132，二率：csc 60o = 115470，三率：
50，四率：甲丙。依比例四率得：cot 70o + csc 60o：csc 60o = 50：甲丙94132 甲丙 = 50 ×
csc 60o 甲丙 = = = 61.33﹝丈﹞即 61丈3尺3寸。《數理精藴》之比例四率求甲乙算法，指：一率：cot 70
o + cot 60o = 36397 + 57735 = 94132，二率：csc 70o = 106418，三率：50，四率：
甲丙。依比例四率得：cot 70o + csc 60o：csc 70o = 50：甲乙94132 甲乙 = 50 × csc 70
o 甲乙 = = = 56.53﹝丈﹞即 56丈5尺3寸。如圖：甲為石，乙丙為左右相距五十丈。乙角為左邊所測七十度，丙角為右邊
所測六十度。試自甲至乙丙線上作甲丁垂線，分為甲丁乙、甲丁丙兩直角形，戊己為丙角之餘切，即丁甲丙角之正切與壬癸等，己丙為丙角之餘割，
即丁甲丙角之正割與甲癸等，庚辛為乙角之餘切，即丁甲乙角之正切與壬子等，庚乙為乙角之餘割，即丁甲乙角之正割與甲子等，而癸子即兩餘切之
和，甲壬癸與甲丁丙為同式形，甲壬子與甲丁乙為同式形，故甲子癸與甲乙丙亦為同式形，是以癸子與甲癸之比同於丙乙與甲丙之比，又癸子與甲子
之比同於丙乙與甲乙之比，皆為相當比例四率也。以下為上圖之解說：今設丙戊 = 乙辛 = 1，取戊丙及辛乙垂直乙丙，又取甲壬 = 1，
又畫子壬癸、庚辛及戊己平行乙丙，即可得Δ甲癸壬與Δ丙己戊全等，Δ甲子壬與Δ乙庚辛全等，又Δ甲子癸與Δ甲乙丙相似。從圖可知：戊己 =
cot 60o，庚辛 = cot 70o，戊己 = 壬癸，庚辛 = 子壬，子癸 = 子壬 + 壬癸 = cot 70o + co
t 60o，又丙己 = 甲癸 = csc 60o，乙庚 = 甲子 = csc 70o。先求甲丙，根據相似三角形可知：甲癸：子癸 = 甲丙：乙丙csc 60o：cot 70o + cot 60o = 甲丙：50甲丙(cot 70o + cot 60o) = 50 × csc 60o甲丙 = = = 61.33﹝丈﹞即 61丈3尺3寸。以類似比例法求甲乙：甲子：子癸 = 甲乙：乙丙csc 70o：cot 70o + cot 60o = 甲乙：50甲乙(cot 70o + cot 60o) = 50 × csc 70o甲乙 = = = 56.53﹝丈﹞即 56丈5尺3寸。以下為《御製數理精藴表》之餘切cot 60o = 正切 tan 30o = 5773503，上文用57735。餘切cot 70o = 正切 tan 20o = 3639702，上文用36397。(1) |
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