高等数学求极限的 14 种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
x?x0
lim f (x) ? A，
（ i）若 A?0 ，则有 ? ? 0，使得当 0 ?| x? x0 |?? 时， f (x) ? 0 ；
（ ii）若有 ? ? 0, 使得当 0 ?| x? x0 |?? 时， f (x) ? 0,则 A ? 0 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为 x ? ? 时函数的极限和 x ? x0 的极限。要特别注意判定极
限是否存在在：
收敛于 a的充要条件 是它的所有子数列均收敛于 a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于 a 的 （ i）数列 ?x
n
?
充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a”
（ ii） f (x) ? A? f (x) ? ? A
x??
(iii)
lim
x???
x?x
0
?
lim
x???
?
lim
x?x
0
lim f (x) ? A? lim ? lim ? A
x?x
0
(iv)单调有界准则
（ v）两边夹挤准则（夹逼定理 /夹逼原理）
（ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ） 。 极 限 lim f (x)
x?x0
存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：
?? ? 0,?? ? 0,使得当 x
1
、 x
2
?U?o (x
0
)时，恒有 | f (x
1
)? f (x
2
) |??
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除 时候使用。例题略。 ．．
2.洛必达（L’ho spital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是 X 趋近，而不是 N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋
近情况下的极限，数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次 ,必须是函数的导数要存在，假
如告诉 f（ x） 、 g（ x） ,没告诉是否可导， 不可直接用洛必达法则。 另外， 必须是 “ 0 比 0” 或 “无穷大比无穷大” ,
并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况：
0 ?”“ ”时候直接用
0 ?
(ii)“ 0??”“ ??? ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
（ i）“
?项之后，就能变成 (i)中的形式了。即 f (x)g(x) ? f (x) 或 f (x)g(x) ? g(x) ； g(x) f (x)
f (x)?g(x) ?1 1 1
g(x) f (x) f (x)g(x)
1 1
(iii)“ 0 ”“ 1 ”“ ? ”对于幂指函数 ,方法主要是取指数还取对数的方法，即
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ 0??”型未定式。
1
0 ? 0 f (x)g(x) ? e g(x)ln f (x) ，
3.泰勒公式 (含有 e 的时候，含有正余弦的加减的时候） x
x2 xn e?x??? ? x
n?1 ； e ?1? x? 2! n! (n?1)!x
x3 x5 x2m?1 cos?x
2m?3msin x ? x? ? ??? (?1) ? (?1)m?1 x 3! 5! (2m?1)! (2m?3)!
2mx2 x4 cos?x
2m?2m
x? ??? (?1) ? (?1)
m?1 x cos=1? 2! 4! (2m)! (2m? 2)!
nx2 x3 xn?1
n?1
x
nln（ 1+x） =x- ? ???(?1) ?(?1)2 3 n (n?1)(1?
?x)n?1
(1+x)u=1?ux? u(u ?1) 2x ???Cunxn ?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除 :设 an,bm均不为零 ，
P（ x） =a
n
xn ?a
n?1
xn?1 ???a
1
x?a
0
,Q(x) ? b
m
xm ?b
m?1
xm?1 ???b
1
x ?b
0
?a
n?b ,(m ? n)
n P(x) P(x0)P(x) ?? (i) （ ii）若 Q(x
0) ? 0 ，则 ?lim Q(x) ? ?0,(n ? m) Q(x) Q(x )
0x?x0??,(n ? m)x??
??
?
lim
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的
函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理： 主要是应用于数列极限， 常应用放缩和扩大不等式的技巧。 以下面几个题目为例： （ 1） 设 a ?b ? c ? 0，
x
n
? n an ?bn ?cn ，求 lim x
n
n??
解：由于 a ? xn ? an 3,以及 lima ? a,lim(a
n?? n??
n 3) ? a，由夹逼定理可知 lim x
n
? a
n??
? ? （ 2）求 lim
?
1 ? 1 ??? 1
?2 (n?1)2 (2n)2 ?
n?? ?n
解：由 0 ? 1 ?
2n
1 1 1 1 1 1??? ?
2
?
2
???
2
? ，以及
2 2 n(n?1) (2n) n n n
10 ? ? 0可知，原式 =0lim lim
n?? n?? n
(3)求 lim ?
n??
? 1 ?1 1 ? ? ???
? 2 ?2 2n ? 2 n ?n ?? n ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n? ???1? ? ??? ? ? ???
n n n n? 2n2 ?1 n2 ?n n2 ?n n2 ?n n2 ?n n2 ?n
2
解 ： 由 , 以 及
1
n
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1）。例如：
n?? n??
lim1?lim n
n ? n2
?lim
n??
1
1?
?1得，原式 =1
求 lim ?1? 2x ?3x
n??
2 ??? nxn?1 (| x |?1) 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?
8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
= 1? ? ? ??? 1 ?lim ??
1?2 ? 2?3 ??? n(n?1)??
lim? n
? 2 2 3? ?n??
? 1 1 1 ? ? 1 1 1 1
n??
? ?? lim?1? 1 ?1? ?
(n ?1)?
n??
? (n ?1)??
9.利用 xx与 xn?1 极限相同求极限。例如：
（ 1）已知 a
1
? 2,a
n?1
? 2? 1 ，且已知 lima
n
存在，求该极限值。
a
n n??
解 :设 lima
n
=A，（显然 A?0）则 A ? 2? 1 ，即 A2?2A?1? 0，解得结果并舍去负值得 A=1+ 2
n?? A
（ 2）利用 单调有界的性质 。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。 例如 ．． ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
设 x
1
? 2,x
2
? 2? 2,?,x
n
? 2? x
n?1
,求 lim x
n
n??
解：（ i）显然 x1 ? x2 ? 2（ ii）假设 x
k?1
? x
k
? 2,则 2? xk?1 ? 2? xk ? 2? 2 ，即 xk ? xk?1 ? 2。所以，
?x
n
?是单调递增数列，且有上界，收敛。设 lim ? A，（显然 A? 0) 则 A ?
n??
2? A ，即 A2 ? A?2 ? 0 。
解方程并舍去负值得 A=2.即 lim x
n
? 2
n??
10.两个重要极限的应用。
（ i） sin x ?1 常用语含三角函数的“ 0 ” 型未定式 lim
x 0x?0
1(ii)lim ?1? x?
x ? e ，在“ 1 ”型未定式中常用
?
x?0
11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的， n 快于 n！ ,n！快
于指数型函数 b (b 为常数 )，指数函数快于幂函数 ,幂函数快于对数函数。当 x 趋近无穷的时候，它们比值的
极限就可一眼看出。
12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限
n
n
lim
x?0
arccosx? ?2
。解：设 t ? arccosx ?? ,则 x ? 0时， t ? 0,且 x ? cos(t ? ? ) ? ?sint 。 2 2sin2x
arccosx ?
2x
?
2 ?lim
x?0
原式 = 2xlim
x?0 sin2x
arccosx ?
2x
?
2 ?lim
t?0
t 1? ?
?2sint 2
1
11 1 1 ?13． 利 用 定 积 分 求 数 列 极 限 。 例 如 ： 求 极 限 lim ? ? n ， 所 以
? ???? ? 。 由 于 in?in ? 2 n ? n?
n?? ? n ?1 1? n
3
? ??
2 11 1 ? 1 1
? 1? 1
? ?? ??? ? ??? ? ln2? ?lim lim ?1 n
? n 1 xn ? 2 n ? n? n?? ?n?? ? n ?1 1? 1?? ?
n n ??
14.利用导数的定义求“ 0 ”型未定式极限。一般都是 x? 0 时候，分子上是“ f (a ? x)? f (a)”的形式，看见了这
0
''种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你 f（ a） ? m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上
就是暗示一定要用导数定义）
例 :设
f (a) ? 0, f (a)'' ? ? 1 ? ?f a ? ? ?? ? n? ? ?
存在，求 lim ? f ?a ? ?
n ? ? ?? ?
? ?
n f (a) ?
1f (a? )? f (a)
n
1f (a? )? f (a)
n n
f (a)
n
?
?
解：原式 =lim?1?
n?? ??
?
?1 ?? 1? ?f ?a ? ?? f ?a?
? f (a ? ) ? f (a)? ?n?? n
? ?lim?1? ?f (a) f (a)
? n?? ? ?
? ? ??
f ''(a)
f (a)
=lim e
n??
1f (a? )? f (a)
1n
1 f (a)
n ? e
4
|
|
