高中三角函数公式大全[图]
1三角函数的定义1.1三角形中的定义
图1在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
?正弦函数
?余弦函数
?正切函数
?余切函数
?正割函数
?余割函数
1.2直角坐标系中的定义
图2在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
?正弦函数
?余弦函数
r
?正切函数
?余切函数
?正割函数
余割函数
2转化关系2.1倒数关系
2.2平方关系
2和角公式
3倍角公式、半角公式
3.1倍角公式
3.2半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式
证明过程
首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）
因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）
同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）
这就是积化和差公式：
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
4.2和差化积公式
部分证明过程：
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα
cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-
cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
诱导公式
?
?
?
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
?
?
?
?
?
?
?
?
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
两角和与差的三角函数
?
?
?
?
?
?
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函数和差化积公式
?
?
?
?
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式
?
?
?
sin(a)sin(b)=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
?
?
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
?
?
?
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
?
?
?
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
asin(a)+bcos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，?
tan(c)=b/a]
? asin(a)-bcos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，
tan(c)=a/b]
? 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
? 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
?
?
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
?
?
?
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
（ 1） （ a+b）2 =a2+2ab+b2 (2)(a-b)2=a2-2ab+b2 (3)(a+b)(a-b)=a2
-b2
(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (5)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
2、指数公式：
1
n
m nP?P0 ma(1)a =1 （ a≠ 0） （ 2） a = （ a≠ 0） （ 3） a = a
am
nm n m?n m n m?n m n mn（ 4） a a =a （ 5） a ÷ a = a =a （ 6） （ a ） =a
aa
nn 2n n n（ 7） （ ab） =a b （ 8） （ b ） = b （ 9） （ a ） =a
（ 10） a2 =|a|
3、指数与对数关系：
（ 1）若 a =N，则 b ? loga N （ 2）若 10 =N，则 b=lgN
（ 3）若 eb=N，则 b=㏑ N
4、对数公式：
（ 1） log
a
ab ?b, ㏑ e =b （ 2） alogaN ? N ， e
（ 3） loga N ?
（ 6） ln
b ln N
n
b b
=N
ln N （ 4） a
b ?eblna （ 5） lnMN ?lnM ? ln N lna
n 1M ? lnM ?ln N （ 7） lnM n ?nlnM （ 8）㏑ M = lnM
N n
5、三角恒等式：
（ 1） （ Sinα）2 +（ Cosα）2 =1 （ 2） 1+（ tanα）2 =(secα )2
sin? cos?（ 3） 1+(cotα )2=(cscα )2 （ 4） ? tan? （ 5） ? cot?
cos? sin?
1 1 1（ 6） cot? ? （ 7） csc? ? （ 8） sec? ?
tan? cos? cos?
6、特殊角三角函数值：
? α 0 ? ? ? 3?
2?
?6 4 3 2
2
sina 0 1
2
2
2
3
2
1 0 --1 0
cosa 1 3
2
3
3
2
2
1
1
2
3
3
3
0 --1 0 1
tana 0 ∞ 0 --∞ 0
cota ∞ 3
1 0 --∞ 0 ∞
7.倍角公式：
（ 1） sin 2? ? 2sin? cos? （ 2） tan 2? ? 2tan?
21? tan ?
（ 3） cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1?1? 2sin 2 ?
8.半角公式（降幂公式） ：
1? cosa 1? cosa
? 2 ? 22 2（ 1） （ sin ） = （ 2） （ cos ） =
2 2
1? cosa sin a
?（ 3） tan = sin a =1? cosa
2
9、三角函数与反三角函数关系：
（ 1）若 x=siny，则 y=arcsinx （ 2）若 x=cosy，则 y=arccosx
（ 3）若 x=tany，则 y=arctanx （ 4）若 x=coty，则 y=arccotx
10、函数定义域求法：
1
（ 1）分式中的分母不能为 0， （ a α≠ 0）
（ 2）负数不能开偶次方， （ a α≥ 0）
（ 3）对数中的真数必须大于 0， （ log
a
N N>0）
（ 4）反三角函数中 arcsinx， arccosx的 x满足： （ --1≤ x≤ 1）
（ 5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（ 1） 直线形式：点斜式： y ? y
0
? k?x ? x
0
?
斜截式： y=kx+b
x ? x
1y ? y1 ?
y ? y
1
x
2
? x
1 两点式： 2
（ 2）直线关系： l
1
: y ? k
1
x ? b
1
l
2
: y ? k
2
x ? b
2
平行：若 l
1
// l
2
，则 k
1
? k
2
垂直：若 l
1
? l
2
，则 k
1
? k
2
? ?1
常用公式表（二）
1、求导法则： （ 1） （ u+v） =u +v （ 2） （ u-v） =u -v
?? u ? u?v ? uv?
（ 3） （ cu） =cu （ 4） （ uv） =uv +u v （ 5） ? ? ? 2v v
? ?
/ / / / /
/ / / / / /
2、基本求导公式：
（ 1） （ c） =0 （ 2） （ x ） =ax/ a / a?1 （ 3） （ a ） =a lnax / x
1 1
x / x / /a xln a（ 4） （ e ） =e （ 5） （㏒ x） = （ 6） （ lnx） = x
（ 7） （ sinx） =cosx （ 8） （ cosx） =-sinx/ /
1
/ (cos x)2 2（ 9） （ tanx） = =（ secx）
1
2/ 2(sin x)（ 10） （ cotx） =- =-（ cscx）
(11)(secx) =secxtanx (12)(cscx) =-cscxcotx/ /
1
/
1
2 2/1? x 1? x(13)(arcsinx) = (14)(arccosx) =-
1
/ 2 1?1? x(15)(arctanx) = (16)?arccot x? ? ?
1? x2
3、微分
（ 1）函数的微分： dy=y dx
（ 2）近似计算： |Δ x|很小时， f?x0 ? ?x?=f（ x 0 ） +f /
/
（ x 0 ） ?x
4、基本积分公式
（ 1）
?
kdx=kx+c （ 2） ? xadx ? 1 a?1x ? C a ?1
1dx ? ln x ? c
x
? a
x ? C （ 3） x （ 4） ? a dx ? ln a
（ 5）
x xe dx ? e ? c?
（ 6） ?sin xdx ? ?cos x ? C
（ 7） ?cos xdx ? sin x ? C （ 8） ?sec2 xdx ? ?
2
1 dx ? tan x ? C
2cos x
1csc xdx ? ?
2
dx ? ?cot x ? c? sin x
（ 9）
（ 10）
? 1
1? x2
b
dx ? arcsin x ? c 1 dx ? arctan x ? c?
2 （ 11） 1? x
5、定积分公式：
（ 1）
?
a
f (x)dx ? ? f (t)dt
a
a
b
（ 2）
b
?a
a
f (x)dx ? 0
c
b
（ 3） ? f ?x?dx ? ?? f ?x?dx （ 4）
?
b
a b
a
f (x)dx ? ? f (x)dx ? ? f (x)dx
a c
（ 5）若 f（ x）是 [-a,a]的连续奇函数，则
?a
?a
f (x)dx ? 0
（ 6）若 f（ x）是 [-a,a]的连续偶函数，则 :
?
? a f (x)dx
? 2?
0
f (x)dx
6、积分定理：
?
x? ?（ 1）
?? f ?t?dt? ? f ?x?? a ?
a a
?
b?x?? ??2?
??a?x? f ?t?dt? ? f ?b?x??b??x?? f ?a?x??a??x?? ?
（ 3） 若 F（ x） 是 f（ x） 的一个原函数， 则
7.积分表
? b
a
f (x)dx ? F(x) b
a
? F(b) ? F(a)
?1??sec xdx ? lnsec x ? tan x ? C ?2??csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C
?3??
?5??
1 x1 1 x ? ?4 dx ? arcsin ? C dx ? arctan ? C ?
2 2 2 2 aa aa ? x a ? x
1 1 x ? adx ? ln ? C
2a x ? ax2 ? a2
8．积分方法
?1?f ?x?? ax ? b ；设： ax ? b ? t
?2?f ?x?? a2 ? x2 ；设： x ? asint
f ?x?? x2 ? a2 ；设： x ? asect
f ?x?? a2 ? x2 ；设： x ? a tant
?3?分部积分法： ?udv ? uv ? ?vdu
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