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第二章 一元函数微分学
导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，
是考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.而中值定理是一元函数微
分学的理论核心，它反映了导数更深刻的性质，是用导数与微分研究函数性质的理论基础，也是研究生考试
的考核重点.
【考点一】两个概念
【题型】判断函数在一点的可导性，可以利用导数的定义，通常情况下也就是看是否能由条件凑成导
数定义中极限式子的等价形式．判断分段函数在分段点处的可导性，通常是利用单侧(左右)导数的定
义．而判断函数的增量、导数与微分的关系时，通常是根据它们的几何意义，利用数形结合的方法进行分
析．
1.导数的定义
.
【注】可导函数必连续；可导的充分必要条件：.
2.微分的定义
，其中是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，即
.
【注】一元函数可导与可微是等价的.
【例1】设函数在处连续，下列命题错误的是（ ）
（A）若存在，则 （B）若存在，则
（C）若，则 （D）若存在，则
0
00000
0
00
0
() () ( ) () ( ) ()
()lim lim lim lim
xxx x
f x fx fx x fx fx fxy
fx
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x
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()
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x
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x
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0
() ( )
lim
x
f xfx
x
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? ?
(0) 0f? ?
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【例2】设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是( )
(A)存在 (B)存在
(C)存在 (D)存在
【例3】设，则在可导的充要条件为( )
（A）存在 （B）存在
（C）存在 （D）存在
【例4】（1）已知，，则____________.
（2）设，，则___________.
? ?f x
x a?
? ?f x
x a?
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1
lim
h
hfa fa
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h
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0
lim
h
f afah
h?
? ?
? ?00f ? ()f x 0x?
2
2
0
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h
f h
h
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1
lim (1 )
h
h
f e
h?
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2
0
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lim sin
h
f hh
h
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0
1
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h
f hfh
h?
?
(0) 0f ? (0) 1f? ?
2
0
(1 cos )
lim
[arcsin ]
x
f x
x
?
?
?
(0) 0f ? (0) 0f? ?
()
0
lim
fx
x
x
?
?
?
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【例5】设函数()f x在区间(1,1)?内有定义，且
0
lim ( ) 0
x
fx
?
?，则（ ）
A．当
0
()
lim 0
x
fx
x
?
?时，()f x在0x?处可导
B．当
2
0
()
lim 0
x
fx
x
?
?时，()f x在0x?处可导
C．当()f x在0x?处可导时，
0
()
lim 0
x
fx
x
?
?
D．当()f x在0x?处可导时，
2
0
()
lim 0
x
fx
x
?
?
【一般结论】设()f x是以(0)TT?为周期的连续函数，则有：
0
0
()
1
lim ( )
x
T
x
ftdt
f tdt
xT
???
?
?
?
【练习】设函数，求
0
() cos
x
Sx tdt?
?
()
lim
x
Sx
x
???
23 / 146
【例6】设() ()f xgxxa??，则在可导的充要条件是lim ( ) 0
xa
gx
?
?．
【练习】函数
23
() ( 2)f xxx xx??? ?不可导点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点二】导数与微分的计算
1.基本求导公式与导数的四则运算法则
2.复合函数的求导法则：设处可导，在对应的处可导，则复合函数
在处可导，且，即.
3.反函数的求导法则：若在某区间内单调、可导，且，则其反函数在对
应的区间内也可导，且.
4.求隐函数的导数的程序：设是由方程所确定的可导函数，则
① 将看作自变量，看作是的函数，的函数是的复合函数；
② 在方程的两边同时对求导，可得到一个含有的方程，从中解出；
③ 也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式得到，这里是由方程
确定的函数.
5.变上限积分函数求导：.
()f x x a?
()ux?? ()yfu? ()ux??
[()]yf x?? x { [ ( )]} ( ) ( )f xfux? ?????
dy dy du
dx du dx
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()x y?? () 0y?? ? ()yfx?
1
()
()
fx
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x y x y x
x y? y?
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x
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2
1
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22 11
()
( () ) ( ()) () ( ()) ()
x
x
f tdt f x x f x x
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?
?? ??? ????
?
24 / 146
6.对数求导法：将函数先化成隐函数再用隐函数求导法求导：
① 幂指函数，两端取对数得，则
；
② 函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商的形式，则函数两端先取对数，然后在等式的两
端再对求导.
7.由参数方程所确定的函数的导数：由参数方程确定的函数，若和都
可导，且，则.
【例1】设函数由方程确定，求____________.
【例2】若，则_____________.
【例3】设函数，，则__________．
()
()
vx
yux? ln ()ln()yvx ux?
()
()
() [()ln() () ]
()
vx
ux
yux vxuxvx
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x
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x x
fx
xx
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?
?
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?
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xe
dy
dx
?
?
25 / 146
【例4】设可导函数由方程确定，则______.
【例5】设连续，且，求.
【例6】设
)(xyy ?
由方程
2
1
sin ( )
4
yx
x tdt
?
?
?
?
所确定，则?
?0
2
2
x
dx
yd
___________.
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2
2
00
sin
xy x
t
edt x tdt
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dy
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,2sin
,2
,2lim
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0
x
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xF
x
xf
x
0
0
x
x
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?
? ?0F
?
26 / 146
【考点三】导数与微分的几何意义
1.导数的几何意义
过曲线上的点的切线方程为；
过曲线上的点的法线方程为.
【注】两条曲线相切，则：
① 两条曲线有公共的交点，即切点；
② 两条曲线在公共切点处的导数相等，即切线的斜率相等.
2.微分的几何意义
函数在一点的微分实际上是函数在切线上点的纵坐标的相应增量.
【例1】已知与在点处的切线相同，写出此切线的方程，并求极限
.
【例2】若曲线和在点处相切，其中是常数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
()yfx?
00
(,)x y
000
()( )y yfxxx?? ??
()yfx?
00
(,)x y
00
0
1
()
()
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fx
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?
0
()dy f x dx??
()yfx?
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0
x
t
y edt
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2
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nf
n
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2
yx axb???
3
21yxy?? ? (1, 1)? ,ab
0, 2ab??? 1, 3ab??? 3, 1ab??? 1, 1ab?? ??
27 / 146
【考点四】高阶导数
1.定义法：用高阶导数的定义来求函数在某点处的高阶导数.
函数的阶导数为，也记作或.
2.公式法：莱布尼兹公式：设具有阶导数，则
；.
3.间接法：对于有理分式函数，可以先化成部分分式之和再利用常见高阶导数公式对每个部分分式求
高阶导数；对于三角函数有理式，可以通过和差化积等三角公式化为的形式，然后再求高阶
导数.
4.反函数的二阶导数：.
5.参数方程的二阶导数：由参数方程确定的函数，在式子有意义的前提下：
.
【例1】是的反函数，可导，且，，求.
【例2】设，，求______________.
()yfx? n
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nn
yy
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()
n
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n
n
dy
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() ( ) ()
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[() ()] () ()
nn n
ux vx u x v x???
sin ,coslx lx
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3
()
[()]
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f y
fx
f y
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?
()
()
x t
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23
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[]
() () ()
t
dy t t t t t
ttdx t
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?? ?
?????
????
?? ?
()x y?? ()yfx? ()f x
2
1
()
x x
fx e
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? ? (0) 3f ? (3)???
t
x e
?
?
2
0
ln(1 )
t
y udu??
?
2
2
0t
dy
dx
?
?
28 / 146
【例3】函数在处的阶导数___________.
【例4】设函数，且，则___________.
【考点五】中值相关问题
【题型一】，使得．
方法：构造辅助函数，再用罗尔定理．的构造方法如下：
（1）积分法
① 将换成得；
② 恒等变形，便于积分；
③ 积分，分离变量得．
（2）公式法：若欲证等式可变形为，则应取辅助函数为
．
（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出
辅助函数：
【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端
点值相等）．
【题型二】证明存在一点使得关于，，，或的等式成
ln(1 2 )yx?? 0x? n
()
(0)
n
y ?
2
( ) arctan
1
x
fx x
ax
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(0) 1f??? ? a?
(,)ab??? [,(), ()] 0Gf f? ??? ?
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? x [, (), ()] 0Gxf x f x? ?
(, ())Fxfx C?
() ()() 0fx pxfx? ? ?
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2
() () ()f xxfxfx
?
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??
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[ ( )] [ ( ) ( )]
x x
efx f x fxe???? [ ( )] [ ( ) ( )]
x x
efx fx fxe
? ?
????
? a b ()f a ()f b
? ? ? ?
? ?
??,,,,
n
ff f? ?? ?? ?
29 / 146
立，常用证法：
（1）利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理直接进行证明．
（2）通过移项，使等式一端化为零，转化为“证明存在一点使得”的问题.
【例1】函数在上有任意阶导数，且，设，试证在内存
在一个，使得() 0F ???? ?．
【例2】设函数在上具有二阶导数，且，，试证明：至少存在一
点，使得.
【例3】设函数在区间上连续，在可导，(0) 0f ?，(1) 1f ?，
1
0
() 2fxdx?
?
，
证明：至少存在一点使得．
?
? ???? ?,, 0Gf f?? ?
? ?
()f x [1,2] ? ? 02 ?f ? ? ? ???xfxxF
3
1?? (1,2)
?
()f x (,)?? ??
0
()
lim 0
x
fx
x
?
? (1) 0f ?
(0,1)?? () 0f ??? ?
()f x [0,1] (0,1)
(0,1)?? () 0f ?? ?
30 / 146
【例4】设函数在区间上连续，在可导，且(0) (1) 0ff? ?，
1
0
(1) ( ) 0ffxdx??
?
，
证明：至少存在一点使得() ()f f? ??? ?．
【例5】设函数在区间上二阶可导，且，试证至少存在一个，使得
.
()f x [0,1] (0,1)
(0,1)??
()f x [1,2] (1) (2)f f? (1,2)??
??
??6
1
f
f
?
?
?
?
?? ?
?
31 / 146
【例6】设函数在上连续，在内可导，
（1）存在，使；
（2）存在，使(这里为任意实数)．
【例7】设函数在上连续，在内可导，且满足，证明
至少存在一点，使得.
()f x [0,1] (0,1) ?? ??
1
010, 1
2
ff f
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? ??
??
??
1
(,1)
2
?? ()f ? ??
(0, )? ?? () [() ]1ff? ???? ????
()f x [0,1] (0,1)
1
1
0
(1) ( )
x
k
f kxefxdx
?
?
?
(1)k ?
(0,1)??
1
() (1 )()f f? ??
?
? ??
32 / 146
【例8】设函数在上连续，在内可微且，但当时，，求
证：对任意自然数，在内存在，使.
【例9】设在上连续，在内可导，，试证：存在，使
.
【例10】设在[0, ]
2
?
上一阶连续可导，在(0, )
2
?
内二阶可导，(0) 0f ?，(1) 3f ?，()1
2
f
?
?
证明：存在(0, )
2
?
??，使得() ()tan 0ff? ??
?????
()f x [0,1] (0,1) (0) 0f ? (0,1)x? () 0fx?
n (0,1) ?
() (1 )
() (1 )
nf f
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? ?
? ?
? ? ?
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()f x [,]ab (,)ab 0 ab? ? (,)ab??
22
2
() () ()
()
3
fb fa f
aabb
ba
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?
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?
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33 / 146
【练习】设()f x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1) 1, (0) 0ff? ?
证明：至少存在一点(0,1)??，使得
1
() ()f fe
?
??
?
???
【例11】设(),()f xgx在[,]ab上二阶可导，且满足() () () 0fa fb ga? ??
证明：至少存在一点(,)ab??，使得()()2()() ()()0fg fg fg? ?????
?????? ??
34 / 146
【例12】设函数在上连续，在内可导，且，，证明：存在
，且，使得.
【例13】设函数
2
1
()
x
t
f xedt?
?
.
（1）证明：存在(1,2)??，使得
2
() (2 )f e
?
????；
（2）证明：存在(1,2)??，使得
2
(2) ln2f e
?
???
()f x [0,1] (0,1) (0) 0f ?
1
(1)
2
f ?
,(0,1)? ?? ? ?? () ()ff? ????????
35 / 146
【例14】证明：若在上连续，在内二阶连续可导，则至少存在一点，使
得.
【例15】设()f x在[,]ab上二阶可导，且满足() () 0fa fb? ?? ?
证明：至少存在一点(,)ab??，使得
2
4
() () ()
()
f fb fa
ba
??? ??
?
()f x [,]ab (,)ab (,)ab??
2
()
() 2( ) () ()
24
ab ba
fb f fa f ?
??
?????
36 / 146
【练习1】若函数()x?具有二阶导数，且满足(2) (1)? ??，
3
2
(2) ( )x dx???
?
，
证明：至少存在一点
(1,3)??
，使得() 0? ??? ? .
【练习2】已知函数()f x在
[0,1]
上具有二阶导数，且(0) 0f ?，(1) 1f ?，
1
0
() 1f xdx?
?
，证明：（1）
存在
(0,1)??
，使得() 0f ?? ?；
（2）存在
(0,1)??
，使得() 2f ??? ?? .
37 / 146
【考点六】根的个数
【题型一】零点的存在性、曲线交点或方程根的存在性，通常利用零点定理(或介值定理)
即若在上连续，且，则至少存在一点，使得．
【题型二】证明存在一点，使得．
方法一：验证
(1)
()
n
f x
?
在上满足罗尔定理的条件，由该定理即可得到证明．
方法二：若在上连续，在内阶可导，且在区间上存在()，
满足，则由罗尔定理知，存在，使得
同理，存在，使得，
反复使用罗尔定理，最终可证得存在一点，使得．
方法三：验证为的极值点，用费马定理即得结论.
【题型三】讨论函数在给定区间上的零点个数时，要先把这个区间划分为若干个单调区间，再利用零
点定理确定每个单调区间上零点的存在性，进一步确定函数在整个区间上的零点个数．
【例1】设函数在区间上连续，且，证明：在内有且只
有一个实根.
【例2】试确定方程在内根的个数，并指出每个根所在的范围.
()f x [,]ab ()() 0fafb? (,)ab?? () 0f ? ?
?
??
? ? ? ???? ,2,10 nf
n
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[,]ab
()f x [,]ab (,)ab n [,]ab
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c 0,1,2, ,in? ?
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1
,
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k
f kn??? ? ???
(,)ab??
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n
f
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()f x [0,2] ( ) 2fx? ?? 23
0
??
?
x
dttfx (0,2)
??
3
3ln
x
kx ??? ? ???,3
38 / 146
【例3】设在[0, )??上连续可导，且() 0fx k? ??，(0) 0f ?
证明：在(0, )??内有且仅有一个零点
【例4】试确定方程的根的个数，并指出每个根所在的范围.
??xf
??xf
2
(0)
x
eaxa? ?
39 / 146
【考点七】不等式证明
【题型】
证明不等式的常用方法有：
（1）若要证明的不等式中有函数值之差出现时，常用拉格朗日中值定理证明．
（2）若要证明的不等式中有函数值之差的比值出现，常用柯西中值定理证明．
（3）利用单调性证明不等式的思路：
要证明在区间上，可设，若在区间上单调递增
（或单调递减），且（或），则结论得证．
（4）利用极值和最值证明不等式：
根据函数的极值和最值的定义可知．如果函数在一个区间上仅在某一点取得最大值(或最小值)，那么
函数在这个区间上的任何一点的函数值都小于(或大于)这点的函数值．同理，如果这点是函数在一个小邻
域内的极大值点(或极小值点)，那么函数在这个小邻域内的任何一点的函数值都不大于(或不小于)这点的函
数值．
（5）利用曲线凸凹性证明不等式：
如果函数是凹函数（或凸函数），则对任意不同的两点，恒有
(或).
（6）利用泰勒公式证明不等式．
（7）常值不等式的证明可以通过作辅助函数，转化为函数不等式的证明．
【例题分析】
【例1】设，证明．
[,]ab ?? ??f xgx? ? ? ? ? ? ?xgxfxF ?? ()Fx [,]ab
() 0Fb? () 0Fa?
()f x
21
,xx
?? ??
12
12
1
22
xx
f fx fx
?
??
????
????
??
?? ??
12
12
1
22
xx
f fx fx
?
??
??? ?
??? ?
??
12 ??
??? ebae ? ?baabeabba
224
3lnln ???
40 / 146
【例2】设01ab???，证明不等式：arctan arctan
2
ba
ba
ab
?
??．
【例3】试证：当时，．
【例4】，比较大小：与
【例5】设()f x在实数轴上有界，且连续可微，并满足() () 1 ( )fx f x x?? ???????
证明：() 1 ( )fx x???????
1?x
??
x
x
x
?
?
?
1
12
ln
??? x0
2
sin
x
?
x
41 / 146
【例6】证明：当时，.
【例7】证明：当时，，其中为正整数.
【考点八】极值与最值
【题型一】求函数极值的步骤如下：
（1）先求，然后再求出区间内的所有驻点(使的点)和不存在的点．
（2）利用极值的定义、第一充分条件和第二充分条件，判断该点是否为极值点，并判断极值点的类
型．
（3）求出这些极值点的函数值即极值．
【题型二】求函数在区间上的最大值和最小值的方法：
（1）求出在区间内的所有驻点和不可导点．
（2）计算出上述各点的函数值，并计算出区间端点的函数值．
（3）比较上述函数值的大小，其中最大的是在区间上的最大值，最小的是在区
间上的最小值．
【例题分析】
0x?
11
ln(1 )
(1 )
x
x x
??
?
0x? ln
n
ne x x? n
??xf
??f x
?
? ? 0fx
? ?
? ?f x
?
??xf [,]ab
??xf (,)ab
k
xx ,,
1
?
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【例1】设函数在内连续，求导函数的图形如图所示，则( )
（A）函数有2个极值点，曲线有2个拐点.
（B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点.
（C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点.
（D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点.
【例2】设，则（ ）
A．是极值点，但不是拐点
B．不是极值点，但是拐点
C．不是极值点，但是拐点
D．是极值点，但不是拐点
【例3】设有二阶连续导数且，，则（ ）成立.
（A）不是的极值，不是曲线的拐点
（B）是的极小值
（C）是曲线的拐点
（D）是的极大值
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【例4】设是平面内过点的一条抛物线，且在点的切线斜率为，求使得由曲线
与直线以及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小的抛物线的方
程.
【例5】求的极值点和拐点.
【考点九】凹凸性与拐点
【题型一】判断曲线在区间上凹凸性的方法：
（1）根据定义判断：若对区间上任意不同的两点，恒有
(或)，
则称在上是凸(或凹)的．
（2）利用的符号判定，若在一个区间上恒有(或)，则曲线在
区间上是凹(或凸)的.
【题型二】判断拐点的方法(拐点必须是连续点)：
（1）第一充分条件：若在两端异号，则为拐点．
（2）第二充分条件：若，则为拐点．
【题型三】确定曲线的凸凹区间与拐点的步骤为：
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（1）确定函数的连续区间．
（2）计算二阶导数，求使的点和不存在的连续点．
（3）上述各点由小到大将定义域分成若干子区间，讨论每个子区间内二阶导数的符号，以确定每个
小区间上曲线的凹凸性，并求出拐点．
【例题分析】
【例1】已知函数．
（1）求的增减区间与极值；
（2）求的凹凸区间与拐点．
【例2】求曲线
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的拐点.
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x
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【考点十】渐近线
【题型一】水平渐近线：
若(或)，则是曲线的一条水平渐近线.
【题型二】垂直渐近线：
若(或)，则为曲线的一条垂直渐近线.
【题型三】斜渐近线：
若，(或，)，则
是曲线的一条斜渐近线．
【注】在坐标轴的同一侧，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在．
【例题分析】
【例1】曲线的斜渐近线方程为__________.
【例2】曲线的渐近线的条数为（ ）
A． B． C． D．
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