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第四章 多元微分学
多元微分学主要考点为：1、偏导数与全微分的计算；2、多元函数极值与最值的求解。偏导数与全微分
主要考查复合函数与隐函数；极值与最值主要涉及一般极值、条件极值与闭区域上的最值。本章是微积分的
重点章节，考生在复习时要注意解题细节和逻辑条理性。
【考点一】二元函数的极限
定义：设在的空心邻域有定义，若对任意，存在，使得当
时，有，则称为函数当
时的极限，记为．
【注】1)二元函数的极限只有当动点以任意方式趋于时的极限都为时才存
在．
2)若可找到两条不同路径沿其趋近于时的极限不相等，则二元函数的极限不存
在．特别，当时选择，若极限与有关，则二元函数的极限不存在．
3)即使沿着函数的极限存在且相等也不能说明二元函数的极限是存在的．
计算 可借助一元函数求极限的方法求二元函数的极限：
常用方法有：①等价无穷小替换
②极限四则运算
③两个重要极限
④ 夹逼定理
⑤化一元函数极限(极坐标变换)
【例1】.
【例2】证明：不存在.
(,)zfxy?
00
(,)x y 0? ? 0? ?
22
00
0( )( )xx yy ?????? (,)fxy A ?? ? A ),( yxf ),(),(
00
yxyx ?
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(,)x y (,)f xy A
(,)x y
00
(,)x y (,)f xy
00
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ykx?
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0
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x
x
y
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0
0
lim
x
y
x y
x y
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【练习】，证明：不存在．
【例3】设，则__________.
【考点二】连续性、偏导数存在性和可微性的关系
1.偏导数：；
.
2.全微分：若，其中，
则称在可微，称为微分.
在可微，则偏导数存在，且，则
.
在连续，则在可微.
3.连续性、偏导数存在性和可微性的关系
可微偏导数存在，但偏导数存在可微.
可微连续，但连续可微，连续偏导数存在.
若一阶偏导数连续，则函数可微.
3
62
,( , ) (0,0)
(,)
0, ( , ) (0,0)
xy
xy
fxy xy
xy
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y
y y
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x
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y
f xy y fxy
fxy
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(,)(,) ()zfx xy yfxy AxByo?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
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(,)xy
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00 00
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xy
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xy
f xy f xy??
00
(,)x y
(,)zfxy?
00
(,)x y
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【例1】如果函数在处连续,那么下列命题正确的是( )
(A) 若极限存在，则在处可微
(B) 若极限存在，则在处可微
(C) 若在处可微，则极限存在
(D) 若在处可微，则极限存在
【例2】设函数可微，由方程确定，则
__________.
【例3】设.
（1）在点处是否连续？
（2）在点处是否可微？
(,)f xy (0,0)
0
0
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lim
x
y
f xy
x y
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(,)f xy (0,0)
22
0
0
(,)
lim
x
y
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x y
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(,)f xy (0,0)
(,)f xy (0,0)
0
0
(,)
lim
x
y
f xy
x y
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(,)f xy (0,0)
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0
0
(,)
lim
x
y
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x y
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(0,1)
|dz ?
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22
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xy xy
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xy
xy
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(,)f xy (0,0)
(,)f xy (0,0)
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【考点三】复合函数求导法则
若和在点处偏导数存在，函数在对应点具有连续偏导
数，则复合函数在点处偏导数存在，且
，.
【例1】设，其中具有二阶连续偏导数，求.
【例2】设函数具有连续一阶偏导数，又，又
，求.
(,)uuxy? (,)vvxy? (,)x y (,)zfuv? (,)uv
[(,),(,)]zfuxyvxy? (,)x y
z f u f v
x ux vx
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????
?????
zfufv
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(, ,)ufxyx yx?? f
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x y
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(,)f xy
12
(1,1) 1, (1,1) , (1,1)f fafb? ?? ??
() {,[, (,)]}x fxfxfxx? ? (1), (1)? ??
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【例3】设具有二阶连续偏导数，且通过变换，可把方程
简化为，求常数.
【考点四】隐函数的求导公式
1.设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，
，则方程在点的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有
连续偏导数的函数，它满足条件，并有.
2.由方程组确定的隐函数的导数（了解）
设方程组确定了隐函数和，上式两边分别对求偏导，注意
到和是及的函数，有，
当时，从上式中可解出和.同理，原方程两端对求偏导，可求.
(,)zzuv?
2ux y
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(,,)0Fx y z ?
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(,,)0
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(,,) 0Fxyz?
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(,,)x yz
(,)zfxy?
000
(,)zfxy? ,
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xu v
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x
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y ,
uv
yy
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【例1】设具有一阶连续偏导数，又确定隐函数，求.
【例2】设函数，方程确定为的函数，其中可微，
连续，且，求.
【例3】设二元函数是由方程所确定，求二阶偏导数.
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x
Fyz
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x y
xzyz???
()zfu? () ()
x
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u ,x y
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(), ()P tu?? () 1u?? ?
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x y
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xy
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2
2
(0,0)
z
x
?
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【考点五】多元函数的一般极值
1.极值的定义：对任意都有，称为极大值点；反之为极
小值.
2.极值的必要条件：若在一阶偏导数存在，且为极值点，则
.
3.极值的充分条件：设函数在驻点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，令
，则
（1）时，是极值点，且当时为极大值点，当时为极小值点；
（2）时，不是极值点；
（3）时，无法判断.
【例1】设函数的全微分为，则点( )
(A) 不是的连续点 (B) 不是的极值点
(C) 是的极大值点 (D) 是的极小值点
【例2】求函数的极值.
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(,) ( , )x yUxy?
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00
(,) ( , )f x yfx y?
00
(,)xy
(,)f xy
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fxy fxy? ?? ?
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(,)xy
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(,) , (,) , (,)
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4ln 10lnzx xyy x y???? ?
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【例3】求函数的极值.
【例4】已知函数由方程确定，求的极值.
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x y
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()ln2(1)0xyz z xy? ?????
(,)zzxy?
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【考点六】条件极值、拉格朗日乘数法
求函数，在约束条件下的极值问题.
求解条件极值的一般方法有两种：一是利用所给的约束条件把条件极值问题转化为无条件极值问题；
一是拉格朗日乘数法.
1.作辅助函数（称为拉格朗日函数）
，
其中为待定常数（称为拉格朗日乘数）；
2.求解方程组
，
的可能极值点；
3.判定在可能极值点处是否取得极值.（对于实际应用问题，由实际确定，一般免去了这一步骤）.
【例1】求函数在约束条件下的最大值和最小值.
(,),(,)z fxy xy D?? (,) 0xy? ?
(,) (,) (,)Fxy fxy xy??? ?
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0
0
(,) 0
Ff
xx x
Ff
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10xyz? ??
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【考点七】连续函数在有界闭区域上的最值
设函数在有界闭区域上连续，在内可微分且只有有限个驻点，求在上的最大
值与最小值，其方法为：
1.求出在内的全体驻点和至少一个偏导数不存在的点，并求出在这些点处的函数
值；
2.求出在的边界上的最大值和最小值（一般用条件极值求法）；
3.将在各驻点和偏导数不存在点处的函数值与在的边界上的最大值和最小值相比
较，最大者为在上的最大值，最小者为在上的最小值.
【例1】求在区域上的最值.
(,)f xy D D (,)f xy D
(,)f xy D (,)f xy
(,)f xy D
(,)f xy (,)f xy D
(,)f xy D (,)f xy D
22
12 2zx xy y?? ?
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425xy? ?
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