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第二章 导数与微分
一、导数
1.定义
设函数 ()yfx? 在点
0
x 的某个邻域内有定义 ,当自变量 x在
0
x 处取得增量 x? (点
0
x x?? 仍在该邻域
内 )时 ,相应地函数取得增量
00
()()yfx x fx? ???? 如果 y? 与 x? 之比当 0x? ? 时的极限存在 ,则称函数
??xfy ? 在点
0
x 处可导 ,并称这个极限为函数 ? ?xfy ? 在点
0
x 处的导数 ,记为
0
()f x? ,即
? ? ? ?
x
xfxxf
x
y
xf
xx ?
???
?
?
?
??
????
00
00
0
limlim)( ,
也可记作
00
|, |
xx xx
dy
y
dx
??
?
或
0
()
|
xx
df x
dx
?
.
2.单侧导数
如果 ??xfy ? 在点
0
x 及其左侧邻域内有定义 ,当
? ? ? ?
x
xfxxf
x ?
???
?
??
00
0
lim 存在时 ,则称该极限值为 ? ?f x
在点
0
x 处的左导数 ,记为
0
()f x
?
?
.当
? ? ? ?
00
0
lim
x
f xxfx
x
?
??
?? ?
?
存在时 ,则称该极限值为 ??f x 在点
0
x 处的
右导数 ,记为
0
()f x
?
?
.
3.可导的充要条件
0
()f x? 存在 ?左右导数存在且
''''
00
() ()f xfx
??
? .
4.区间可导与导函数的概念
如果 ()yfx? 在 (,)ab的每一点都可导 ,称 ()yfx? 在 (,)ab内可导 ,其中 ()f x? 为导函数 .如果
()yfx? 在 (,)ab内可导且在 a点右可导 ,在 b点左可导 ,则称 ()yfx? 在 [,]ab可导 ,其中 ()f x? 为导函数 .
5.导数的几何意义
函数 ()yfx? 在
0
x x? 可导时 ,曲线在点
00
(,()x fx 切线的斜率为
0
()f x? .这时由直线的点斜式方程易
得 ,曲线 ()yfx? 过
00
(,()x fx 点的切线方程为：
000
() ()( )yfx fxxx?? ??.
法线方程为：
000
0
1
() ( )(()0)
()
yfx xx fx
fx
???? ? ?
?
或
00
(()0)xxfx?? ? .
注： 函数在一点导数不存在时 ,切线可能是存在的 .
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6.可导与连续的关系
函数可导 ?函数必连续 .
注： (1) 导数的实质：是
0
0
未定型的极限 .
(2) 单侧导数的理解和记忆可以类比左右极限的定义 .
(3) 导数的一般等价定义 (或其它的变化形式 )
00
0
()0
[()]()
''( ) lim
[()]
x
f xxfx
fx
xxx
?
?
?
??
???
?
???
00
() 0
[()]()
lim
[()]
h
f xhfx
xhx
?
?
?
?
? ?
?
??
.
(4) 举反例记忆连续不一定可导 ,简单证明可导必连续可以更深刻的理解两者之间的关系 .
【例 2.1】 已知 ()yfx? 在 0x ? 可导 ,则
0
1
lim [ ( ) ( )]
2
x
fx f x
x
?
? ?? .
【例 2.2】 证明：若函数 ()yfx? 在 a连续 ,且 () 0fa? ,而函数
2
[()]f x 在 a可导 ,则函数 ()f x 在 a也可导 .
【例 2.3】 讨论函数 ??f xx? 在 0x ? 处的可导性 .
【例 2.4】 设 ??00,f ? 则 ()f x 在 0x ? 可导的充要条件为 ( )
??A
? ?
2
2
0
1
lim
h
f h
h
?
存在 . ??B
? ?
0
1
lim 1
h
h
f e
h?
? 存在 .
??C ??
2
0
1
lim sin
h
f hh
h
?
? 存在 . ??D ?? ??
0
1
lim 2
h
f hfh
h?
?? ?
? ?
存在 .
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二、导数的计算
1.基本求导公式
2.求导运算法则
(1) 四则运算求导法则
1)
??
() () () ()f xgx fxgx
?
?????.
2)
??
()() ()() () ()f xgx f xgx f xg x
?
????.
3)
2
() ()() () ()
() ()
f xfxgxfxgx
gx g x
?
???? ?
?
??
??
.
(2) 复合函数求导法则
设函数 ? ?ugx? 在点 x处可导 ,而函数 ()yfu? 在点 ? ?ugx? 可导 ,则复合函数 ? ?()yfgx? 在点 x
处可导 ,且
??()
dy
f ugx
dx
????或
dy dy du
dx du dx
??(链式法则 ).
注： 1) 复合函数求导的基本步骤是：分解 —— 求导 —— 相乘 —— 回代 .
2) 表示符号不要混淆 ? ? ? ?
()
{ ()} () ()|
ugx
fgx f gx fu
?
?? ??? ；
''(0)f ?
''
[(0)]f
【例 2.5】
2
2
sin
1
x
y
x
?
?
,求
dy
dx
.
(3) 初等函数求导法则
初等函数求导 =基本求导公式 +四则运算求导法则 +复合函数求导法则 .
(4) 幂指函数求导
对于一般形式的幂指函数
()
() (() 0)
gx
yfx fx??,在式子有意义前提下求导方法有 :
法一：先在两边取对数 ,得： ln lnyg f?? ,上式两边对 x求导 ,得：
1
ln
y
gfg f
yf
?
? ?? ????
于是
11
ln ln
g
yyg fg f fg fg f
ff
????
?? ? ? ??????? ????
????
????
.
法二：一般幂指函数也可以表示为：
() ()ln ()
()
gx gx f x
yfx e??,这样便可直接求得
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ln
11
ln ln
gf g
ye g fg f f g fg f
ff
????
?? ?? ???????????
????
????
.
(5) 分段函数
求分段函数在分段点处的导数常用的方法是利用定义求左、右导数 .
【例 2.6】 讨论 a取何值时
1
sin , 0
()
0, 0
a
xx
fx
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
是可导的 .
(6) 变上限积分函数求导
当 ()f x 连续时函数 () ()
x
a
F xftdt?
?
可导 ,其导函数 () ()Fx fx? ? .
(7) 反函数求导
直接函数 ()yfx? 可导 ,在反函数存在的前提下 ,其反函数
1
()x fy
?
? 的导数为：
''
11
()
dx
x
dy
dyfx
dx
???
?
.
上述结论可以简单的说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数 .
(8) 隐函数求导
设 ()yyx? 是由方程 (,) 0Fxy? 所确定的可导函数 ,注意方程里边的 x是自变量 , y 是 x的函数 ,所以对
方程两边同时对 x求导时 ,可得到一个含有 y?的方程 ,从中解出 y?就是由隐函数确定的函数的导数 .
【例 2.7】 求由方程 0
y
exye???所确定的隐含数的导数
dy
dx
.
(9) 由参数方程定义的函数
设 y 与 x的函数关系是由参数方程
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
确定的 ,在式子有意义的前提下 ,
()
()
dy
dy t
dt
dx
dx t
dt
?
?
?
??
?
.
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三、高阶导数
1.高阶导数的定义
把可导 (导数 )的定义应用在导函数上就得到二阶可导 (导数 )的定义 ,依此类推就得到高阶可导 (导数 )的
定义 .
高阶导数的表示为：
(4) (4) () ()
(), (), (), ()
nn
yfxy fxy fx y fx?? ?? ??? ????? ? ?? .
2.反函数的二阶导数
1
3
()
()
(()
fy
fx
fy
?
??
??
????
??
?
3.参数方程的二阶导数
设 y 与 x的函数关系是由参数方程
()
()
x t
yt
?
?
?
?
?
?
?
确定的 ,在式子有意义前提下：
2
23
() 1 () () () ()
() () ()
t
d y tttt
ttdx t
?????
?? ?
?
? ??? ????? ?
???
??
?? ?
??
.
4.求解高阶导数的通用表达式
(1) 归纳法
第一步 先求出一阶、二阶、三阶等导数
第二步 从中归纳出 n阶导数的表达式
第三步 用数学归纳法证明归纳出的表达式是正确的
(2) 公式法
1)
() () ()
[]
nnn
uv u v???
2) Leibniz公式
() ()(0) 1 ( 1)(1) 2 ( 2)(2)
()
nn n n
nn
uv u v C u v C u v
??
?? ? ?
()()knk k
n
Cu v
?
? ???
1 (1) ( 1)nn
n
Cuv
??
?
(0) ( )n
uv?
()()
0
n
knk k
n
k
Cu v
?
?
?
?
,
其中
uu ?
)0(
,
vv ?
)0(
.
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5.常用高阶导数的通用表达式
(1) 设
m
yx? ,则
()
(1)( 1)
nmn
ymm mnx
?
?? ??? ；
设
n
yx? ,则
()
!
n
yn? (n是正整数 ).
(2) 设
x
ya? ,则
()
(ln )
nx n
yaa? ；
设
ax
ye? ,则
()nnax
yae? .
(3) 设 ln(1 )yx??,则
() 1
(1)!
(1)
(1 )
nn
n
n
y
x
?
?
??
?
；
设 ln( )yaxb??,则
() 1
(1)!
(1)
()
n
nn
n
an
y
ax b
?
?
??
?
.
(4) 设 sinyx? ,则
()
sin( )
2
n
n
yx
?
??；
设 sin( )yaxb??,则
()
sin( )
2
nn
n
ya axb
?
???.
(5) 设 cosyx? ,则
()
cos( )
2
n
n
yx
?
??；
设 cos( )yaxb??,则
()
cos( )
2
nn
n
ya axb
?
???.
(6) 设
1
y
ax b
?
?
,则
()
1
!
(1)
()
n
nn
n
an
y
ax b
?
??
?
.
四、微分
1.定义
设函数 ()yfx? 在某区间内有定义 ,
0
x 及
0
??x x 在这区间内 ,如果函数的增量
00
()()yfx x fx?????可
表示为 ()?????yAxox,其中 A是不依赖于 ?x的常数 ,那么称函数 ()yfx? 在点
0
x 是可微的 ,而 ?A x叫
做函数 ()yfx? 点
0
x 相应于自变量 ?x的微分 ,记作 dy ,即 dy A x? ? .
28 / 187
2.微分的几何意义
如右图所示：
微分实际上是函数在切线上点的纵坐标的相应增量 .
3.微分与导数的关系
可微 ?可导
4.基本微分公式与微分法则
(1) ? ?() () () ()dfx gx dfx dgx???.
(2) ? ?()() () () () ()dfxgx gxdfx fxdgx??.
(3)
2
() () () () ()
(() 0)
() ()
f x gxdf x f xdgx
dg
gx g x
?? ?
??
??
??
.
5.一阶微分的形式不变性
设函数 ? ?ugx? 在点 x处可导 ,而函数 ()yfu? 在点 ? ?ugx? 可导 ,则复合函数 ? ?()yfgx? 的微分
为
??(( )) () () ()dy fgx dxfugxdxfudu
??? ???? ?
.
【例 2.8】 利用一阶微分形式的不变性求由方程 0
y
exye? ??确定的隐函数的导数
dy
dx
.
29 / 187
典型例题
【例 2.9】 设 ()g x 在
0
x x? 的某邻域内有定义 ,
0
() ()f xxxgx?? ,则 ()f x 在
0
x x? 处可导的充要条件是
( )
??
A
0
lim ( )
xx
g x
?
存在 . ??B ()g x 在
0
x x? 处连续 .
??C ()g x 在
0
x x? 处可导 . ??D
0
lim ( )
xx
g x
?
?
与
0
lim ( )
xx
g x
?
?
都存在 ,且反号 .
【例 2.10】 设 ()f x 在 0x ? 处连续且
0
()
lim .
x
fx
A
x
?
? 讨论 (0)f ? 的存在性 ,若存在 ,并求之 .
【例 2.11】 设函数 ()f x 在 [1,1]? 上有定义 ,且满足
2
() ,1 1x fx x x x? ?????,证明： (0)f ? 存在 ,且
(0) 1f ? ?
.
30 / 187
【例 2.12】 设 (0) 0, (0)ff?? 存在 . 求
1
()
lim [ ]
(0)
x
x
f
x
f
??
.
【例 2.13】 设 ()yfx? 二阶可导 ,
0
( ) 0, ( ) 0,fx f x????? 并设 y? ?
1
()f xx??
1
()f x? ,
,
110
d()d, ,d0.yfxxx x x x?????? 则 ( )
??
A d0.yy?? ?
? ?B d0.yy?? ? ? ?C d0.yy? ?? ? ?D d0.yy?? ?
【例 2.14】 设函数 ()yyx? 由方程
23
ln( ) sinx yxy x?? ? 确定 ,则
0
d
d
x
y
x
?
? .
【例 2.15】 已知 ()f x 是周期为 5的连续函数 ,它在 0x ? 的某邻域内满足关系式：
(1 ) 3 (1 ) 8 ( )f xfxx x??? ??? 其中 )(x? 是当 0?x 时 ,比 x 高阶的无穷小 ,且 ()f x 在 1x? 处可导 ,求曲线
()yfx? 在点 (6, (6))f 处的切线方程 .
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【习题精选】
一、选择题
1、两曲线
2
1
yyaxb
x
???， 在点
1
(2 )
2
， 处相切 ,则 ( )
A．
13
16 4
ab?? ?， B．
11
16 4
ab? ?，
C．
9
1
2
ab?? ?， D．
7
1
2
ab? ??，
2、下列命题正确的是 ( )
A．若 () ()f xgx??? , ??,x ab?? ,则 () ()f xgx? , ? ?,x ab??
B．若 () ()f xgx? ,则 () ()f xgx???
C．若 () ()f xgx? ,则 () ()f xgx???
D．函数 1ln(1 )x x??在 1x ? 处连续 ,但不可导
3、设函数 ()yfx? 在
0
x 点处可导 , x y??， 分别为自变量和函数的增量 , dy 为其微分且
0
()0fx? ? ,则
0
lim
x
dyy
y
?
??
?
?
?
( )
A． 1? B． 1 C． 0 D． ?
4、设 ()f x 具有任意阶导数 ,且
? ?
2
() ()f xfx? ? ,则
()
()
n
f x ?( )
A．
??
1
()
n
nfx
?
B．
??
1
!()
n
nfx
?
C．
? ?
1
(1)()
n
nfx
?
? D．
? ?
1
(1)!()
n
nfx
?
?
5、已知函数
, 0,
()
, 0,
xx
fx
ab x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
+cos
在 0x ? 处可导 ,则 ( )
A． 22ab?? ?， B． 22ab???，
C． 11ab?? ?， D． 11ab???，
6、设函数
32
() 3f xxxx?? ,则使
()
(0)
n
f 不存在的最小正整数 n必为 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7、若 ()f x 是奇函数且 (0)f ? 存在 ,则 0x ? 是函数
()
()
f x
Fx
x
? 的 ( )
A．无穷型间断点 B．可去间断点
32 / 187
C．连续点 D．振荡间断点
8、设周期函数 ()f x 在 ()?? ??， 内可导 ,周期为 4,又
0
(1) (1 )
lim 1
2
x
ffx
x
?
? ?
?? ,则曲线 ()yfx? 在点
(5 (5))f， 处的切线的斜率为 ( )
A．
1
2
B． 0 C． 1? D． 2?
9、 设 ()f x 处处可导 ,则 ( )
A．当 lim ( )
x
fx
???
???时 ,必有 lim ( )
x
fx
???
? ???
B．当 lim ( )
x
fx
???
? ???时 ,必有 lim ( )
x
fx
???
???
C．当 lim ( )
x
fx
???
???时 ,必有 lim ( )
x
fx
???
? ???
D．当 lim ( )
x
fx
???
? ???时 ,必有 lim ( )
x
fx
???
???
10、若 () sinf xx x? ,则 ( )
A． (0)f ?? 不存在 B． (0) 0f ?? ?
C． (0)f ?? ?? D． (0)f ??? ?
11、若
2
() max{2 }, (04)fx x x x??， ， ,且知 ()f a? 不存在 , (04)a? ， ,则必有 ( )
A． 1a ? B． 2a ? C． 3a ? D．
1
2
a ?
12、若函数
sin
2 0,
()
1 0,
x
xx
fx
x
x
?
??
?
?
?
?
?
?
，
，
则 ()f x? 在点 0x ? 处 ( )
A．存在但不连续 B．不存在
C．不仅存在而且连续 D．无穷大
13、设
n
1
cos , 0,
()
0, 0,
xx
fx
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
则使 ()f x? 在点 0x ? 点处连续的最小自然数为 ( )
A． 1n ? B． 2n? C． 3n? D． 4n?
14、若函数 ()f x 对任意实数
12
,x x 均满足关系式
12 1 2
()()()f xx fxfx? ? ,且 (0) 2f ? ? ,则必有 ( )
A． (0) 0f ? B． (0) 2f ? C． (0) 1f ? D． (0) 1f ? ?
15、若 ()f x 是在 ()?? ??， 内可导的以 l 为周期的周期函数 ,则
33 / 187
()f ax b? ? ( 0aab? ，、 为常数 )的周期为 ( )
A． l B． lb? C．
l
a
D．
l
a
16、设 ()f x 在 0x ? 的一个领域内有定义 ,且 (0) 0f ? ,若
2
0
1cos 1
lim ( )
2
(1)
x
x
x
fx
xe
?
?
?
?
,则 ()f x 在 0x ? 处 ( )
A．不连续 B．连续但不可导
C．可导且 (0) 0f ? ? D．可导且 (0) 1f ? ?
二、填空题
17、已知 () ()f xfx??? 且
0
() 0fx m? ???,则
0
()fx? ?__________.
18、设
()
(ln )
f x
y fxe? ,其中 f 可微 ,则 dy ＝ __________.
19、若
2
() cos2f xx x? ,则
(20)
(0)f ?__________.
20、设 (0) 0, (0) 0,ff???则
1
()
lim
(0)
n
n
f
n
f
??
??
??
?
??
??
??
__________.
21、若
2
,
()
0,
xx
fx
x
?
?
?
?
当为 无 理 数 时,
当 为 有 理 数 时,
则 (0)f ? ?__________.
22、已知函数 ()yyx? 由方程
2
6+ 10
y
exyx???所确定 ,则 (0)y?? ?__________.
23、设 () ( ) ( )f xabxabx? ?????,其中 ()x? 在 (,)????有定义 ,且在 a可导 ,则 (0)f ? ?_________.
24、设函数 ()yyx? 由方程 ln 0
1
xy
y
e
x
??
?
所确定 ,则 (0)y? ?__________.
25、设 () ( 1)( 2) ( )f xxx x xn??? ?? ,则 (0)f ? ?__________.
26、设方程
y
x y? 确定 y 是 x的函数 ,则 dy ?__________.
27、已知
0
() 1fx? ?? ,则
0
00
lim
(2)( )
x
x
f xxfxx
?
?
?? ?
__________.
28、若
2
1
() lim(1 )
tx
x
ft t
x
??
??,则 ()f t? ?__________.
29、设 ()f x 有一阶连续导数 ,且 (0) 0 (0) 1ff?? ，＝ ,则
? ?
1/ln(1 )
0
lim 1 ( )
x
x
fx
?
?
? ?_________.
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30、设 ()f x 在 0x ? 处连续 ,且
0
()1
lim 2
sin
x
fx
x x
?
?
?
?
,则 (0)f ? ?__________.
31、设 ()f x 为连续函数 ,且有 () 1( ) ()f xxaxagx?? ? ? ? ,其中
2
()
lim 1
()
xa
gx
xa
?
?
?
,则 ()f a? ?__________.
32、已知 ()gx是微分方程 () ()sin cosgx gx x x? ??的满足条件 (0) 0g ? 的解 ,则
0
()
lim
x
gx
x
?
?__________.
三、解答题
33、已知
0
() 1fx? ?? ,求
0
00
lim
(2)( )
x
x
f xxfxx
?
?? ?
．
34、设 ()yfx? 是由方程
32
210yxyx x?????确定并且满足 (1) 0f ? 的函数 ,求
3
1
1
(1)
lim
()
x
x
x
f tdt
?
?
?
．
35、设 ()f x 在 x a? 可导 ,证明：
(I) 若 () 0fa? ,则 ()f x 在 x a? 处必可导；
(II) 若 () 0fa? ,则 ()f x 在 x a? 处可导的充要条件是 () 0fa? ? ．
36、设 ()f x 在 0x ? 的某邻域内连续 ,且
2
0
() ln(1 )
lim 2
x
xf x x
x
?
? ?
? .
(I) 求 (0)f ,并证明 (0)f ? 存在并求之．
(II) 设
0
() ( )
x
Fx tf x tdt??
?
,当 0x ? 时 ,
2
1
() ~
2
k
F xxbx? ,求常数 b 与 k 的值．
37、设函数 ()yyx? 由方程
2 1
2
0
arctan ,
cos
0
1
y
u
t
xt
u
edu du
u
?
?
?
?
??
?
??
??
确定 ,求
dy
dx
,
2
2
dy
dx
.
35 / 187
【参考答案】
一、选择题
1、 A 2、 D 3、 C 4、 B 5、 B 6、 C 7、 B 8、 D 9、 D 10、 A 11、 B 12、
C 13、 C 14、 C 15、 D 16、 D
二、填空题
17、 m 18、
() ()
1
[ (ln ) (ln ) ( )]
fx fx
f xe f xe f x dx
x
???
19、
18
380 2?? 20、 1 21、 0 22、 2? 23、 2()ba??
24、
2
(1)/ee? 25、 !n 26、
(1 ln )
dx
x y?
27、 1
28、
2
(1 2 )
t
te? 29、 e 30、 4 31、 0 32、 1
三、解答题
33、 1 34、 3? . 35、利用在某点导数的定义来证明
36、 (I)
0
(0) lim ( ) 1
x
ffx
?
??, (0)f ?
3
2
? ; (II)
1
3,
4
kb? ? .
37、
2
cos
y
dy
et
dx
?
? ,
22
2
22
2
(2)( cos) (1 ) sin
yy
dy
y et tet
dx
??
?? ? ? .
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