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第三章 微分中值定理及其应用
一、微分中值定理
（一）费马引理：
若函数 ()f x 在
0
x 的某邻域
0
()Ux 内
0
()x Ux?? ,有
0
() ( )f xfx? (
0
() ( )f xfx? )且 ()f x 在
0
x 可导
?
0
()0fx? ? .
注： 若
0
x 是一个极值点且 ()f x 在
0
x 可导 ?
0
()0fx? ? (驻点 ).
（二）罗尔中值定理
若 ()f x 满足条件：
1．在闭区间 [,]ab上连续；
2．在开区间 (,)ab内可导；
3． () ()f afb? ,
则在开区间 (a,b)内至少存在一点 ? ,使得 0)( ?? ?f .
注： (1) 几何意义
在每一点都可导的连续曲线 ,如果曲线两端点高度相同 ,则至少存在一水平切线 .
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(2) 定理中的三个条件都是很重要的 ,缺了其中任何一个 ,结论就可能不成立 .
(3) 常利用来做中值等式的证明
导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计；一般的含有中值的等式证明 .
【例 3.1】 设 ()f x 存在二阶导数 ,下述结论正确的是 ( )
(A) 若 ()f x 只有两个零点 ,则 ()f x? 必定只有一个零点
(B) 若 ()f x?? 至少有一个零点 ,则 ()f x 必至少有三个零点
(C) 若 ()f x 没有零点 ,则 ()f x? 至多有一个零点
(D) 若 ()f x?? 没有零点 ,则 ()f x 至多有两个零点
【例 3.2】 设函数 ()f x 在 [0,1]上连续 ,在 (0,1) 内可导 , () 0,(0 1)fx x? ???, (0)f 0? .证明：存在
,(0,1)? ?? 使得 1? ???,
() ()
() ()
ff
ff
? ?
? ?
??
?
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（三）拉格朗日中值定理
若 ()f x 满足条件：
1．在闭区间 [,]ab上连续；
2．在开区间 (,)ab内可导 ,
则在开区间 (a,b)内至少存在一点 ? ,使得 )(''
)()(
?f
ab
afbf
?
?
?
,即 ))(('')()( abfafbf ??? ? ,
或写成 ( ) ( ) ''[ ( )]( ) (0 1)fb fa f a b a b a? ?????? ??.
注： (1) 函数是常数的充要条件： () () 0fx C f x??? ?.
(2) 几何意义
可导曲线上存在一点 ,使其切线平行于端点的连线； Lagrang定理中涉及的公式： 称之
() ()
()
fb fa
f
ba
?
?
??
?
为 “中值公式 ”.这个定理也称为微分基本定理 .中值公式有不同形式：
1) ? ? ? ? ? ?()f bfa f ba???? ?, ??,ab?? ；
2) ?? ?? (( ))( )f bfa faba ba?????? ?,01?? ? ；
3) ????()f ah fa fa hh???? ? ? ,01???.
此处 ,中值公式对 ,abab??均成立 .此时 ? 在 ,ab之间； 2） 、 3）的好处在于无论 ,ab如何变化 , (0,1)?? 易
于控制 .
(3) 利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理
(4) 直接利用此定理主要是两方面
1) 证明含有中值的等式 .
2) 不等式的证明 .
3) 利用拉格朗日中值定理研究函数的性态 (有界性 ).
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【例 3.3】 设 ()f x 在有限区间 (,)ab 上可导 ,下列命题正确的是 ( )
(A) 若 ()f x 在 (,)ab上有界 ,则 ()f x? 在 (,)ab上有界 .
(B) 若 ()f x? 在 (,)ab上有界 ,则 ()f x 在 (,)ab上有界 .
(C) 若 ()f x 在 (,)ab上有界 ,则 ()f x? 在 (,)ab上无界 .
(D) 若 ()f x? 在 (,)ab上有界 ,则 ()f x 在 (,)ab上无界 .
（四）柯西中值定理
若 ()f x , ()gx满足条件：
1． 在闭区间 [,]ab上连续；
2．在开区间 (,)ab内可导 ,且 () 0gx? ?
则在开区间 (,)ab内至少存在一点 ? ,使得
)(
)(
)()(
)()(
?
?
g
f
agbg
afbf
?
?
?
?
?
.
注： （ 1) 几何意义
(2) 三个定理关系如下：
() () ()fa fb gx x
Rolle Lagrang Cauchy
??
???? ??? .
(3) 判断下列证明方法是否正确 ,不正确错误在哪里？
由于 ()f x 与 ()gx都在 [,]ab上满足拉格朗日中值定理 ,故 (,)ab?? ? 使得
))(('')()( abfafbf ??? ? ,
() () ''()( )gb ga g b a??? ?,将两式相除则结论得证 .
(4) 直接利用此定理主要是两方面
1) 证明含有中值的等式 .
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2) 不等式的证明 .
（五）泰勒定理
若 ()f x 在
0
x 及其附近有直到 1n? 阶的导数 ,则
()
0
000 0
()
() () ()( ) ( ) ()
!
n
n
n
fx
f xfx fxxx xx Rx
n
??? ??? ??? ,
其中
(1)
1
0
()
() ( )
(1)!
n
n
n
f
Rx x x
n
?
?
?
??
?
,? 在 x与
0
x 之间 ,这是带有拉格朗日余项的泰勒公式 .
注： 1. 若
0
0x ? ,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式 .
2.如果条件变弱 , ()f x 在
0
x 及其附近有直到 n阶的导数 ,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：
()
0
000 0 0
()
() () ()( ) ( ) ( ))
!
n
nn
fx
fx fx fx xx xx oxx
n
??? ??? ???? .
3.常用的麦克劳林公式
1
0
,
!( 1)!
kxn
xn
k
xe
ex
kn
?
?
?
??
?
?
(0 1)???.
21
121
1
sin
sin ( 1) ( 1) ,
(2 1)! (2 1)!
kn
knn
k
xx
xx
?
?
??
?
?? ??
??
?
(0 1)?? ? .
2
122
0
cos
cos ( 1) ( 1) ,
(2 )! (2 2)!
kn
kn n
k
xx?
??
?
?? ??
?
?
(0 1)?? ? .
1
1
1
1
(1) (1)
ln(1 ) ,
(1)(1 )
knn
n
k
x xx
knx?
?
?
?
?
??
?? ?
??
?
(0 1)?? ? .
11
1
(1)( 1) (1)( )
(1 ) 1 (1 ) ,
!(1!
n
knn
k
x xxx
kn
? ?
? ?? ? ?
?
? ??
?
??? ??
??? ? ?
?
?
??
(0,1)?? .
4.泰勒公式的主要应用：建立函数与高阶导数的关系 .
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二、洛必达法则
定理：设
1当 x a? (或 x ??)时 , ()f x 及 ()Fx都趋于零；
2.在点 ? 的某去心领域内 , ()f x? 及 ()Fx? 都存在且 () 0Fx? ? ；
3.
()
lim
()
xa
f x
Fx
?
?
?
存在 (或为无穷大 ),那么
() ()
lim lim
() ()
xa xa
f xfx
Fx F x
??
?
?
?
.
注： (1) 利用洛必达法则求极限是要注意条件的验证 ,特别是
()
lim
()
xa
f x
F x
?
?
?
不存在且不为无穷大时得不到
()
lim
()
xa
f x
Fx
?
不存在 .
(2) 将
0
x x? 改为
00
,,,,xxx
??
?????时 ,上述结论都对 .
(3)
0
()
lim
()
xx
f x
gx
?
?
?
是分子 ,分母分别求导时极限和
0
()
lim( )
()
xx
f x
g x
?
?不同 ,更不能认为是
0
()
(lim )
()
xx
f x
g x
?
?.
(4) 未定型的分类及转化方法
7种未定型分为
00
0
, , ,0 ,1 ,0 ,
0
?
?
??? ?? ?
?
,其中后 5种在求解过程中一般要最终转化为
0
0
型或
?
?
型 .
1) 化 ???型未定式为
0
0
型或
?
?
型的方法是：
通分法；提因子法；变量代换法 .
2) 化
00
,0 ,1
?
? 型未定式为
0
0
型或
?
?
型的方法是： “换底法 ”或 “用 e抬起法 ”,即
??
?? ??
??
?? ??
??
??
ln ln
ln
lim lim lim explim .
1
gx
gx fx gx fx
f x
fx e e
g x
?? ?
计算 1
?
型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式：
若 ?? ? ?lim 1,limfx gx???,则
??
??
??
??
?? ??
?? ??
1
1
lim 11
lim lim[1 1 ]
fx gx
f xgxgx fx
fx fx e
??
??
?? ? ? .
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【例 3.4】 求
2
0
1
3sin cos
lim
(1 cos )ln(1 )
x
xx
x
x x
?
?
??
.
【例 3.5】 求极限
2
1
1
0
lim
x
x
e
I
x
?
?
?
,
2
2
lim
1
x
x
I
x
???
?
?
,
3
0
lim
x
x
I x
?
?
? ,
4
lim ,
n
n
n
I
a
??
?
(1)a ?
【例 3.6】
2
1
lim( ln(1 ))
x
xx
x
??
??.
【例 3.7】 若 0, 0ac??均为常数 ,则
3
sin
0
lim _________.
2
x
xx
x
ac
?
??
?
???
??
【例 3.8】 求
2
0
ln( 1)
lim
x
xx
x
?
??
.
【例 3.9】 设 ()f x 在 x a? 处 n阶可导 ,
(1)
() 0, , () 0
n
fa f a
?
? ??
()
() 0,
n
fa? 则
( )~ ______( )f xxa? .
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【例 3.10】 已知
3
0
sin6 ( )
lim 0
x
xxfx
x
?
?
? ,利用泰勒公式求极限
2
0
6()
lim
x
f x
x
?
?
.
三、利用导数研究函数的性态
（一）单调性的判断
定理：设函数 ()yfx? 在 [,]ab上连续 ,在 (,)ab内可导 .
1.如果在 (,)ab内 ?? 0??xf ,那么函数 ()yfx? 在 [,]ab上单调增加；
2.如果在 (,)ab内 ? ? 0fx? ? ,那么函数 ()yfx? 在 [,]ab上单调减少 .
注 :(1) 利用拉格朗日中值定理简证
证明：任取
12
,(,)x xab? 且
12
x x? ,易验证 ()f x 在
12
[,]x x 上满足拉格朗日定理 ,应用此定理得
12
(,)x x??? ,使得
21 21
() () ()( )f xfxf xx???? ?,故当 ( ) 0( 0)fx? ??时 ,我们有
21
() ()0(0)fx fx???,即 () ()fx? ? .
(2) 考查
3
y x? 的单调性和导函数的性质 ,由此能得到什么结论？
(3) 结论推广： () ()fx??, x I? ? )()0(0)af x? ??，
)(,)bI? ???,在 (,)? ? 上总有 ()f x? 不恒为零 .
(4)重要应用 ,等式与不等式的证明 .
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（二）函数极值及求法
1.极值的定义： 设函数 ??xf 在点
0
x 的某邻域 ）
0
(xU 内有定义 ,如果对于去心邻域 ）
0
(xU
?
内的任一
x
,有
?? ? ?
0
xfxf ? (或 ?? ? ?
0
f xfx? ),那么就称 ? ?
0
xf 是函数 ? ?xf 的一个极大值 (或极小值 ).
2.取得极值的必要条件：
0
x 是极值点 ?函数 ()f x 在
0
x 不可导或者
0
()0fx? ? (驻点 ).
3.判定极值点的充分条件
第一充分条件： 设函数 ??xf 在
0
x 处连续 ,且在
0
x 的某去心邻域
0
(,Ux?
?
） 内可导 .
(1) 若 ? ?
00
,x xx??? 时 , ?? 0?? xf ,而
? ?
00
,xxx?? ? 时 , ? ? 0?? xf ,则 ? ?xf 在
0
x 处取得极大值；
(2) 若 ? ?
00
,x xx??? 时 , ?? 0?? xf ,而
? ?
00
,xxx?? ? 时 , ? ? 0?? xf ,则 ? ?xf 在
0
x 处取得极小值；
(3) 若 ??
0
,xUx??
?
时 , ??f x? 的符号保持不变 ,则 ? ?xf 在
0
x 处没有极值 .
第二充分条件： 若函数 ()f x 在
0
x 点有 ? ? 0
0
?? xf , ? ? 0
0
??? xf ,则函数在
0
x 处取得极值 .
(1) 当 ??0
0
??? xf 时 , ? ?
0
xf 在
0
x 处取得极大值；
(2) 当 ??0
0
??? xf 时 , ? ?
0
xf 在
0
x 处取得极小值 .
【例 3.11】 ()f x 二阶可导 , () 0f ? ? , () 0f ??? ?
?
, x ?? 是 ()f x 的极值点 , () ()cosgx f x x? ,则 ( )
??
.A x ?? 是 ()gx的极大值点
??.B x ?? 是 ()gx的极小值点
??.C x ?? 不是 ()gx的极大值点
??.D 不能确定 x ?? 是否为 ()gx的极大值点
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（三）函数的最值
1.函数 ()f x 在闭区间 [,]ab上确定最值的求解过程
(1) 求出 [,]ab内可能的极值点 (驻点和不可导点 ),按顺序排列如下：
12 n
ax x x b? ????? ；
(2) 求出上述 2n? 个点的函数值 ,
1
(),(), ,( ),()
n
f afx fx fb? ；
(3) 挑最值
1
max{ ( ), ( ), ( )}
i
in
M fa fx fb
??
? ,
1
min{ ( ), ( ), ( )}
i
in
mfafxfb
??
? .
2.常见的实际问题最值求解过程
(1) 建立实际问题的函数表达式 ()f x ；
(2) 求 ()f x 的驻点 ,往往是唯一的；
(3) 根据实际情况判断驻点是极大点还是极小点 ?最大值、最小值 .
（四）曲线的凹凸性
1.定义： 间 I 上的连续函数 ??xf 是凸 (凹 )?对任意不同的两点
21
,xx ,恒有
?? ???? ?? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
21
21
21
21
2
1
22
1
2
xfxf
xx
fxfxf
xx
f .
2.凹凸性的判定
凹凸性判断的充分条件：设函数 ??xf 在 ? ?ba, 内具有二阶导数 ? ?xf ?? ,
如果在 ??ba, 内的每一点 x,恒有 ?? 0??? xf ,则曲线 ? ?xfy ? 在 ? ?ba, 内是凹的；
如果在 ??ba, 内的每一点 x,恒有 ?? 0??? xf ,则曲线 ? ?xfy ? 在 ? ?ba, 内是凸的 .
3.拐点的判定
(1) 拐点的定义： 设 ? ?yfx? 在区间 I 上连续 ,
0
x 是 I 的内点 ,如果曲线 ? ?yfx? 在经过点
00
(,()x fx 时 ,
曲线的凹凸性改变了 ,那么就称点
00
(,()x fx 为该曲线的拐点 .
(2) 拐点存在的必要条件： 点 ))(,(
0 o
xfx 是曲线 )(xfy ? 的拐点的必要条件是 0)("
0
?xf 或 )("
0
xf 不存
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在 .
(3) 拐点存在的第一充分条件： 设函数 ()f x 在点
0
x 的某邻域内连续且二阶可导 (
0
''( )f x 或
0
''''( )f x 可以不存
在 ),在
0
x 的左右两边 )(" xf 的符号相反 ,则点 ))(,(
0 o
xfx 是曲线 )(xfy ? 的拐点 .
(4) 拐点存在的第二充分条件： 设函数 ()f x 在点
0
x 的某邻域内三阶可导 , 0)("
0
?xf ,而
0
''''''( ) 0fx? ,则点
00
(,()x fx 是曲线 )(xfy ? 的拐点 .
注： 确定曲线 )(xfy ? 的凹凸区间与拐点的程序：
1) 确定函数 ()f x 的连续区间；
2) 计算二阶导数 ,求出 0)(" ?xf 的根及 )(" xf 不存在的连续点；
3) 用上述各点由小到大将定义域分成若干子区间 ,讨论每个子区间二阶导数的符号 ,以确定曲线的凹向并求
出拐点 .
（五）渐近线
1.渐近线的概念
当曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时 ,若动点与某一定直线的距离趋于零 ,则称该直线为曲线的渐
近线 .
2.曲线 )(xfy ? 渐近线的分类与求法
(1) 水平渐近线： 若 bxfbxf
xx
??
??????
)(lim)(lim 或 ,其中 b 为常数 ,则称 by ? 为 )(xfy ? 的水平渐近线 .
(2) 铅垂渐近线： )(lim)(lim xfxf
cxcx
??
??
与 中至少有一个是无穷大 ,则称 cx ? 为 )(xfy ? 的铅垂渐近线 .
(3) 斜渐近线：
()
lim
x
fx
k
x
???
? 存在且不为零 ,又 lim[ ( ) ]
x
f xkxb
???
? ? 也存在 (或
()
lim
x
fx
k
x
???
? 存在且不为零 ,又
lim[ ( ) ]
x
f xkxb
???
??也存在 ),则称直线 ykxb??为 ()yfx? 的斜渐近线 .
【例 3.12】 曲线
1
ln(1 )
(1)
x
y e
xx
???
?
的渐近线的条数为 ( )
? ?A 1. ? ?B
2. ??C
3. ? ?D
4.
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（六）曲率
1.弧微分
设 ()yfx? 是平面内的光滑曲线 ,则弧微分 .1
2
dxydS ???
若曲线方程为
?
?
?
?
?
).(
),(
tyy
txx
,则弧微分为 dttytxdS
22
)]([)]([ ???? .
2.曲率
(1) 设 M 和 N 是曲线上不同的两点 ,弧 MN 的长为 S? ,当 M 点沿曲线到达 N 点时 ,M 点处的切线所转过
的角为 ?? ,则称极限
0
lim
s
K
S
?
??
?
?
?
为该曲线在点 M 处的曲率 .
(2) 曲率计算公式
若曲线方程为 ()yfx? ,则
23/2
||
(1 )
y
K
y
??
?
??
.
若曲线由参数方程
?
?
?
?
?
)(
)(
tyy
txx
给出 ,则
223/2
||
()
tt tt
tt
x yyx
K
xy
? ?? ? ???
?
???
.
(3) 曲率半径：
K
R
1
? .
(4) 曲率圆：在 M 点的法线上 ,凹向这一边取一点 D,使 RMD ? ,则称 D 为曲率中心 ,以 D 为圆心 , R 为半
径的圆周称为曲率圆 .
【例 3.13】 若 ??f x?? 不变号 ,且曲线 ??yfx? 在点 ? ?1,1 上的曲率圆为
22
2xy? ? ,则 ??f x 在区间 ? ?1,2 内
( )
??A 有极值点 ,无零点 . ??B 无极值点 ,有零点 .
??C 有极值点 ,有零点 . ??D 无极值点 ,无零点 .
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典型例题
【例 3.14】 设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续 , ,0)()( ?? bfaf 且 )(xf 在 ),( ba 内可导 ,试证：对任意的实数 ?,
存在一点 ),,( ba?? 使得 .
)(
)(''
?
?
?
?
f
f
【例 3.15】 设 .0 ba ?? 试证至少存在一点 ),,( ba?? 使得 ./)ln1)((lnln
222
?????? baababba
【例 3.16】 设常数
4
b
ba??,证明当 0x ? 时 , ? ? ? ?
322
23 6 0fx x abx abxab? ?? ? ??
【例 3.17】 设常数 0k ? ,求函数 () ln
x
f xx k
e
???在 (0, )?? 内零点个数 .
49 / 187
【 例 3.18】 已知 ?? 0fx x?在 的某个邻域内连续 ,且 ? ?00,f ?
? ?
0
lim 2
1cosx
fx
x?
?
?
,则在点 0x ? 处 ? ?f x
( )
??
A 不可导 .
??
B 可导 ,且
? ?
00.f ? ?
??
C 取得极大值 .
? ?
D 取得极小值 .
【例 3.19】 设 ()f x 在 (,)?? ?? 连续 ,除 0x ? 外 ()f x 二阶可导 .其 ()yfx? ?? 的图形如图 ,则 ()yfx?
( )
(A) 有两个极大值点 ,一个极小值点 ,一个拐点 .
(B) 有两个极大值点 ,一个极小值点 ,两个拐点 .
(C) 有一个极大值点 ,一个极小值点 ,一个拐点 .
(D) 有一个极大值点 ,一个极小值点 ,两个拐点 .
【例 3.20】 证明：若函数 ? ?f x 在 0x ? 处连续 ,在 ? ?? ?00??? ?， 内可导 ,且 ??
0
lim
x
f xA
?
?
? ? ,则
? ?0f
?
? 存在 ,
且 ? ?0f A
?
? ? .
x
y
50 / 187
【巩固练习】
一、选择题
1、设
2
2
1
0
()
() 0
x
e
x
fx
x
xgx x
?
?
?????? ?
?
?
?
?
????? ?
?
其中 ()g x 是有界函数 ,则 ()f x 在 0x ? 处 ( )
A．极限不存在 B．极限存在但不连续
C．连续但不可导 D．可导
2、设 () ( ) ( )fx f x x?? ? ??? ??， ， ,且在 (0 )??， 内 () 0fx? ? ，
() 0fx?? ? ,则在 (0)??， 内 ( )
A． () 0 () 0fx f x?????，
B． () 0 () 0fx f x? ????，
C． () 0 () 0fx f x?????， D． () 0 () 0fx f x? ??? ?，
二、填空题
3、设
, 1,
()
, 1,
ax b x
fx
xx
?
???
?
?
???? ?
?
在 1x ? 处可导 ,则 a＝ __________,b＝ __________.
4、设
23
1xxyy???,则
2
1
2
x
dy
dx
?
?__________.
三、解答题
5、设 ()g x 在 0x ? 处二阶导数连续 ,且 (0) 1g ? , (0) 2g? ? , (0) 1g?? ? ,并设
2
()
,0,
()
0, 0.
x
gx e
x
fx
x
x
? ?
??
?
?
?
?
?
求
(0)f ? ,并讨论 ()f x? 在 0x ? 处的连续性．
6、设函数 ()f x 在区间 [0,1]上连续 ,在 (0,1)可导 ,
1
0
(0) 0, (1) 1, ( ) 2ff fxdx? ??
?
,
证明：至少存在一点 (0,1)?? 使得 () 0f ?? ? .
7、已知
2
32
( ) ( ) arcsin
32
x
yf fx x
x
?
???
?
， ,求
0x
dy
dx
?
.
51 / 187
【参考答案】
一、选择题
1、 D 2、 A
二、填空题
3、 2, 1ab??? 4、 2
三、解答题
5、 (0)f ?
3
2
?? ; ()f x? 在 0x ? 处是连续性的
6、利用罗尔中值定理和费马引理 7、 3/2?
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【习题精选】
一、选择题
1、设函数 ??f x 在 ??,ab上有定义 ,在开区间 ? ?,ab内可导 ,则 ( )
A．当 ?? ?? 0fa fb??时 ,存在 ??,ab?? ,使 ? ? 0f ? ?
B．对任何 ??,ab?? ,有
?? ? ?lim 0
x
fx f
?
?
?
????
??
C．当 ?? ??f afb? 时 ,存在 ??,ab?? ,使 ? ? 0f ?? ?
D．存在 ??,ab?? ,使 ?? ?? ? ?? ?f bfa f ba???? ?
2、已知在 ??,?? ?? 上 , ??
2
1
1
1
x
fx
e
? ??
?
,且
2
lim
1
x
x
ax b
x
??
??
? ?
??
?
??
lim[ ( 1)
x
fx
??
? ??()]f x ,则 ( )
A． 1, 0ab?? B． 0, 1ab?? C． 1, 1ab? ? D． 1, 2ab???
3、设函数 ??yfx? 在 ??0,?? 内有界且可导 ,则 ( )
A．当 lim ( )
x
f x
??
存在 ,必有 ? ?lim 0
x
fx
??
? ?
B．当 ? ?lim
x
f x
??
? 存在时 ,必有
? ?lim 0
x
fx
??
? ?
C．当 ? ?
0
lim 0
x
fx
?
?
? 时 ,必有
??
0
lim 0
x
fx
?
?
? ?
D．当 ? ?
0
lim
x
f x
?
?
? 存在时 ,必有
??
0
lim 0
x
fx
?
?
? ?
4、设 ??f x 在
??
,ab上连续 ,则下列结论中正确的是 ( )
A．如果
0
x 是 ??f x 的极值点 ,则 ??
0
0fx? ?
B．如果 ??
??
00
,x fx 是曲线
??
f x 的拐点 ,则
? ?
0
0fx?? ?
C．如果
0
x 是 ??f x 的极值点 ,则 ??
??
00
,x fx 一定不是曲线 ? ?f x 的拐点
D．如果 ??f x 在
??
,ab上可导 ,且 ?? ? ? 0fafb??? ? ,则至少存在 ? ?
0
,x ab? 使 ??
0
0fx? ?
5、某种商品的单价为 P ,售出的商品数量 Q可以表示为
a
Qc
Pb
? ?
?
,其中 ,ab和 c均为正数 ,且 abc? ,则
( )
A． P 增加时销售额增加
53 / 187
B． P 增加时销售额减少
C．存在正数
0
P ,当
0
0 PP??时销售额随 P 的增加而增加
D．存在正数
0
P ,当
0
PP? 时销售额随 P 的增加而增加
6、设
? ?
0
lim
x
f x
x
?
?1,且 ?? 0fx?? ? ,则 ( )
A． 0x ? 时 ??f xx? , 0x ? 时 , ??f xx?
B． 0x ? 时 ??f xx? , 0x ? 时 , ??f xx?
C． ??f xx?
D． ??f xx?
7、设 ,pq是大于 1的常数 ,且
11
1
pq
??,如下不等式成立的是 ( )
A．在 (0,1)区间上 ,
11
p
x x
pq
??且在 ??1,?? 区间上 ,
11
p
x x
pq
? ?
B．在 (0,1)区间上 ,
11
p
x x
pq
??且在 ??1,?? 区间上 ,
11
p
x x
pq
? ?
C．在 ??0,?? 区间上 ,
11
p
x x
pq
??
D．在 ??0,?? 区间上 ,
11
p
x x
pq
??
8、设 ??f x 是连续的奇函数 ,且
??
0
lim 0
x
fx
x
?
? ,则 ( )
A． 0x ? 是 ??f x 的极小值点
B． 0x ? 是 ??f x 的极大值点
C．曲线 ??yfx? 在 0x ? 的切线平行于 x轴
D．曲线 ??yfx? 在 0x ? 的切线不平行于 x轴
54 / 187
9、设 ??f x 具有二阶连续导数 ,且 ??10,f ? ?
? ?
??
2
1
1
lim
2
1
x
fx
x
?
??
?
?
,则 ( )
A． ??1f 是 ??f x 的极大值
B． ??1f 是 ??f x 的极小值
C． ??
??
1, 1f 是曲线
? ?
f x 的拐点坐标
D． ??1f 不是 ??f x 的极大值 , ? ?
? ?
1, 1f 也不是曲线
? ?
f x 的拐点坐标
10、设 ??yfx? 在区间
? ?
0,1 上不恒为常数 ,且连续可导 ,如果
? ? ? ?
01f f? ,则在
? ?
0,1 内 ( )
A． ??f x? 恒为零 B． ??f x? 0? C． ? ? 0fx? ?
D．在 ??0,1 内存在两点
1
? 和
2
? 使 ??
1
f ?? 和 ? ?
2
f ?? 异号
11、
?? ??
??
2
lim 1
xa
fx fa
xa
?
?
??
?
,则 ??f x 在 x a? 处 ( )
A．导数存在 ,且 ?? 0fa? ? B．导数不存在
C．极大值 D．极小值
12、设函数 ()f x 在 0x ? 的某领域内三阶可导 ,
0
() 1
lim
1cos 2
x
fx
x
?
?
??
?
,则 ( )
A． (0)f 必是 ()f x 的一个极大值
B． (0)f 必是 ()f x 的一个极小值
C． (0)f ? 必是 ()f x? 的一个极大值
D． (0)f ? 必是 ()f x? 的一个极小值
13、曲线
5/3
(5) 2yx?? ?的特点是 ( )
A．有极值点 5x ? ,但无拐点
B．有拐点 (5,2),但无极值点
C． 5x ? 是极值点 ,(5,2)是拐点
D．既无极值点 ,又无拐点
14、设偶函数 ()f x 具有二阶连续导数 ,且 () 0fx?? ? ,则 0x ? ( )
A．一定不是函数的驻点
55 / 187
B．一定是函数的极值点
C．一定不是函数的极值点
D．不能确定是否为函数的极值点
15、奇函数 ()f x 在闭区间 [－ 1,1]上可导 ,且 ()f xMM? ? （ 为常数 ),则必有 ( )
A． ()f xM? B． ()f xM? C． ()f xM? D． ()f xM?
16、已知方程
22
1( 0)xy y y?? ? 确定 y 为 x的函数 ,则 ( )
A． ()yx有极小值 ,但无极大值
B． ()yx有极大值 ,但无极小值
C． ()yx既有极小值又有极大值
D．无极值
17、若对一切 (0 )x???， ,函数 ()f x 的一、二阶导数均存在 ,且有 lim ( ) 0
x
fx
???
?? ? ,则对任意正常数 a,必有
( )
A． ? ?lim ( ) ( ) 1
x
fxa fx
???
???? ? B．
? ?
lim ( ) ( ) 0
x
fxa fx
???
??? ??
C．
? ?
lim ( ) ( )
x
fxa fx
???
???? ?? D．
? ?
lim ( ) ( )
x
f xa fx
???
? ??? 不存在
二、填空题
18、设
12
0 xx????,则
1
2
sin
sin
x
x
与
1
2
x
x
之间的关系是 .
19、设函数 ??f x 在 ??,a ?? 内可导 ,且任意 ? ?,xa? ?? 有
? ?f xM
? ? (M 为常数 ),则
??
2
lim
x
f x
x
??
?
.
20、设 ??f x 有二阶连续导数 ,且 ? ?lim 2
x
fx
???
?? ? ,则对任意常数 a,
????lim
x
fxa fx
???
???? ???
??
.
21、设函数
2
x
yxe
?
? ,则函数的极值是 ,拐点是 .
22、设 ??f x 对一切 ??,x?????满足方程 ????????
3
1
121 1
x
x fx x fx e
?
?? ???? ????
??
,
且 ??f x 在 ? ?1xaa??取得极值 ,则 x a? 是极 值点 .
56 / 187
23、设 ? ?yyx? 是由方程
32 2
222 1yyxyx????确定的 ,则 ? ?yyx? 的极值点是 .
24、数列
3
1, 2, 3, ,
n
n?? ? 的最大项为 .
25、设 ??f x 在
? ?
0,a 二次可导 ,
? ?
00f ? ,
? ?
0fx?? ? ,则
? ?f x
x
在 ?
?
0,a 上的单调性为 .
26、方程
3
30xxq???有三个实根 ,则 q 的取值范围是 .
27、设 ?? ? ?
23
30fx x Ax x
?
?? ?, A为正常数 ,则 A至少为 时 ,有
? ???
20 0fx x??.
28、函数
1
x
yx? 在
??
1, e 上的值域是 .
三、解答题
29、设函数 ()yyx? 由参数方程
3
3
11
,
33
11
33
xtt
ytt
?
???
?
?
?
?
???
?
?
确定 ,求 ()yyx? 的极值和曲线 ()yyx? 的凹凸区间及
拐点．
30、设函数 ()f x 在区间 [,]ab上连续 ,在 (,)ab内可导 ,0 ab? ? ，试证存在 ,(,)ab? ?? ,使得
() ().
2
ab
ff? ?
?
?
???
31、设函数 ()f x 在闭区间 [0,1]上可微 ,对于 [0,1]上每一个 x,函数 ()f x 的值都在开区间 (0,1)内 ,且
() 1fx? ? ,证明：在 (0,1)内有且仅有一个 x,使 ()f xx? ．
32、求 ??
11
112
fx
xx
??
???
的最大值 .
【参考答案】
一、选择题
1、 B 2、 D 3、 B 4、 D 5、 C 6、 D 7、 C
8、 C 9、 B 10、 D 11、 C 12、 C 13、 B 14、 B
15、 C 16、 B 17、 B
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二、填空题
18、
11
22
sin
sin
x x
x x
? 19、 0 20、 2a
21、
1
2
1
2
e
?
? 是极小值 ,
1
2
1
2
e
?
是极大值 ,拐点是
3
2
33
(0,0), ,
22
e
???
??
??
??
和
3
2
33
,
22
e
???
??
??
22、小 23、 1x ? 24、
3
3 25、单调减少
26、 22q??? 27、 64 28、
1
[1, ]
e
e
三、解答题
29、 1y ? 是函数的一个极大值；
1
3
y ?? 是函数的一个极小值．
1
(,)
3
x??? 时 ,曲线是凸的；
1
(, )
3
x???时 ,曲线是凹的；
11
(,)
33
是拐点．
30、利用柯西中值定理 31、 () ()Fx fx x??
32、
4
3
|
|
