向量代数与空间解析几何
一 、 单 项选择 题
1 、向量ab ? 2 垂直于ab ? 4 ，向量ab ? 4 垂直于ab ? 2 ，则a 与b 之间的夹角( )
? ? ?
(A) 0 (B) (C) (D)
2 6 3
【答案】(B)
22
ab ? 2 ab ? 4 (2 ab ? ) ?? (a4b) ?a?2ab ?8b?0
【解析】因 垂直于 ，故 ①
22
又因ab ? 4 垂直于ab ? 2 ，故(4 ab ?? )(a?2b)?a?2ab?8b?0 ②
?
?
ab ?? 0 ab,. ?
联立①、②解得 ，故
??
2
2 、设a 、b 为非零向量，且ab ? ，则必有( )
ab ??a?b ab ??a?b ab ? ?? ab ab ? ?? ab
(A) (B) (C) (D)
【答案】(C)
ab ? a b ab ? ab ?
【解析】因 ，则以 、 为边的四边形为矩形，又 与 是矩形的对角线长，故两者
相等
3 、设abc ,, 均为非零向量，且ab ??c,, b?c ?ac?a ?b ，则abc ? ?? ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】(D)
ab ??c,, b?c ?ac?a ?b abc ,,
【解析】因 ，故 两两相互垂直，且
ab ??? cbc sinb ,c?bc
?? .
同理可得ba ? c ，ca ? b ，故abc ? ?? 1 ，abc ? ?? 3
xy ?? 27 z? 36 xy ??3z?8
? ?
4 、直线 与 之间的关系是( )
? ?
??27 xy?z?20 xy ??z?
? ?
(A) 平行 (B) 相交但不垂直 (C) 垂直 且相交 (D) 异面直线
【答案】(A)
ijk ijk
li ?? 121? 3?j ? 5kli ?? 363?? 9? 3j ? 15k
【解析】 ， ，
1 2
?211 21 ??1
315
因， ??故 ll //
12
?? 93?15
1?/? 8?x?? 34 yz
5 、直线L : ?? 与平面 ? :4xy ?2?? 2z 3 的关系是( )
?? 273
(A) 平行 (B) 直线L 在平面 ? 上 (C) 垂直相交 (D) 相交但不垂直
【答案】(A)
l?? 2,? 7,3 n ? 2,?? 1, 1
【解析】直线的方向向量 ? ? ，平面的法线向量为 ? ? ，因
ln ???22 ???7??1?3 ??1?0
?? ?? ? ??? ，故直线与平面平行
6 、在平面xy ??z?20 ? 和平面xy ?? 21 z??0 的交线上有一点M ，它与平面
xy ?? 21 z??0 和xy ?23 ??? z0 等距离，则M 点的坐标为( )
(A)(2,0,0) (B)(0,0, ?1) (C)(3, ?1,0) (D)(0,1,1)
【答案】(C)
2, 0, 0 xy ?21 ??z?0
【解析】排除(A) ：点 ? ? 不在平面 上
0, 0, ?1 xy ??z?20 ?
排除(B) ：点?? 不在平面 上
0,1,1
排除(D) ：点?? 与两平面不等距离
?? abc
111
x ?ay?? bzc xa ?
??
333 1
7 、设矩阵abc 是满秩的，则直线 ?? 与直线 ?
222
??
aa ? b?? bcc aa ?
121212 23
??
abc
?? 333
yb?? zc
11
?
是( )
bb?? cc
2323
(A) 相交于一 点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面直线
【答案】(A)
【解析】设M?? ab ,,c ，M ?ab ,,c ? ，M ?ab ,,c ? ，则M ?ab ,,c ? ，
1111 2222 3333 1111
?????? ?
M ab ,,c
?? 分别是两已知直线上两点，且MMa ? ?? a,, bbc?c .
? ?
3333
13313131
aa?? bbc? c
121212
aab ?? bc? c? 0
因，
232323
aa?? bbc? c
313131
?????? ?
M M
故向量 与两直线的方向向量共面，即两已知直线共面，但不平行，否则
13
abc aa?? bbc? c
????
111 121212
????
abc?? aab?bc?c
的一、二两行成比例，
222 232323
??
??
??
??
abc abc
?? 333?? 333
2?/? 8??? abc
111
??
则矩阵abc 降秩，与题设矛盾.
222
??
??
abc
?? 333
xt ??12 xt ??
??
??
Ly :2 ?? t1, L:2 y?? t1
8 、两条平行 直线 间的距离为( )
??
12
??
zt?? zt? 1
??
2 2
(A) (B) 3 (C)1 (D)2
3 3
【答案】(B)
A(1, ?1, 0) B(2, ?1,1) A,B
【解析】设 ， ，则 分别为两平行直线上两已知点，且
? ?? ?
??? ? AB ?l
2
l l ? {1, 2 , 1} ? 3
AB ? 1, 0 , 1 ，设两平行直线的方向向量为 ，则 ，而d ? .
? ?
3
l
x ?13 yz ?
34 xy ??z?10?0 ? ?
9 、过点(1 ?,0,4) 且平行于平面 又与直线 相交的直
112
线方程为( )
xy ?? 10z?4 x ?10 yz ??1
?? ??
(A) (B)
16 19 28 121
x ??t ?1 x ??t 2
? ?
? ?
yt ? yt ? ? 2
(C) (D)
? ?
? ?
zt ?? 44 zt ? 2
? ?
【答案】(A)
(1 ? ,0,4)
【解析】由点 不在直线上可排除(B) ；由两条直线与已知平面不平行可排除(C) 、(D) ，因此选
(A).
x?? 21 t x?? 23 t
? ?
? ?
yt ?? 32 yt ?? 31
10 、通过直 线 和直线 的平面方程为( )
? ?
? ?
zt ?? 23 zt ?? 21
? ?
(A)xz ??20 ? (B)xz ?? 0 (C)xy ?20 ?? z (D)x ?yz ?? 1
【答案】(A)
(1?? ,2,3) xz ?? 0
【解析】因点 不在平面 上，故可排除(B) ，
因点 (3, ?1,1) 不在xy ?? 20 z? 和x ?yz ?? 1 这两个平面上，故可排除(C) 、(D)
11 、已知直 线L 过点M (0,0, ?1) 且平行于x 轴，L 过点M (0,0,1) 且垂直于xOz 平面，
1 1 2 2
则到两直线等距离的轨迹方程为( )
22 22 22 22
(A)x?? yz 4 (B)x?? yz 2 (C)x ?yz ? (D)x ?yz ? 4
3?/? 8?【答案】(D)
x yz ?1 x yz ?1
【解析】两直线的方程为L : ?? ，L : ?? .
1 2
100 010
????? ?
MMl ?
ii
设动点为M(, xy,z) ，则由点到直线的距离的公式知：d ? ，其中l 分别是直线L 的方向
i i i
l
i
向量.
2 2
2
2
?? ??zy 1 ?? ?? ?zx ?? 1
???? ??
?? ??
d ? ，， d ?
1 2
1 1
22
22
22 22
dd ? zy ??11 ?z ??x
由dd ? 得 ，故?? ?? ，即x ?yz ? 4 .
12
12
222
?
21 xy ? ?? z6
12 、母线平 行于Ox 轴且通过曲线 的柱面方程为( )
?
222
xy ? ?? z0
?
22 22 22 2
(A)321 xz ??6 (B)xy ?? 216 (C)31 xz ? ?6 (D)31 yz ??6
【答案】(C)
x yOz yOz
【解析】因柱面的母线平行于 轴，故其准线在 平面上，且为曲线在 平面上的投影，在方
222 22
?21 xy ??z?6 ?31 yz ? ?6
22
程组 中消去x 得 ，此即柱面的准线，故柱面的方程为：31 yz ? ?6 .
? ?
222
xy ??z? 0 x ? 0
? ?
13 、设平面 ? 位于平面xy ?? 22 z??0 和平面xy ?26 ??z?0 之间，且将二平面间的
距离分成1:3 ，则 ? 之方程为( )
(A)xy ?? 25 z??0 或xy ?23 ??? z0 (B)xy ?28 ??z?0
(C)xy ?? 24z?0 (D)xy ?28 ??? z0
【答案】(A)
【解析】因为(B) 、(C) 中 所给两平面与已知平面不平行，故可排除(B) 、(C) 因选项(D) 中的平面不在两
已知平行平面之间，故可排除(D).
222
xyz
14 、方程 ??? 0 表示旋转曲面，它的旋转轴是( )
223
(A)x 轴 (B)y 轴 (C)z 轴 (D) 直线x?? yz
【答案】(C)
22
z
【解析】在方程中x ,y 项的系数相等，故旋转轴应是 轴.
二、填空 题
?? ? ? ?? ??
1 、设ab ?? 3, 4 且ab ? ，则() ab ??( a?b) ? ____________.
4?/? 8?24
【答案】
?? ?? ???????????? ??
【解析】a?b?a?b?a?? aba ??a?b?b?b?ba ??a?b? 2ba ? ，
????
?? ??
?
?
?ab ? ?sin ab ,?? sin 1
，，故
? ?
2
?? ?? ?? ?? ??
?
ab ??a?b?22 b?a?basin a, b?2 ?4 ?3 ?1 ?24
.
????
? ?
?
?????? ? ???
2 、设ab ?? {2,3,1},? {1,2 ? ,5},c ?a ,c ?b 且ci ?(2 ?? j7k)?10 ，则c ? ___________.
?
65 15 5
??
c ? ,,
【答案】
??
12 4 12
??
23 xy ? ?? z0
?
????
?
?
xy ?25 ?? z0
【解析】设cx ? ,,yz ，由ca ?? ,cb ，于是有 ，解三元一次方程组，得
? ?
?
?
xy ?27 ?? z10
?
?
65 15 5
?? 65 15 5
xy ?? ,,z? c ? ,,
，故 .
??
12 4 12 12 4 12
??
3 、设() ab ??c?2 ，则[(ab ?? ) (bc ? )]? (c?a )? ____________.
【答案】 4
?? ab?a?c?bc ??() c?a ?ab ??c?b?c?a?24 ab ??c?
【解析】原式?? ? ? ? ? ? ? .
?x ?1
x?? 12 yz ?1
?
4 、与两直线yt ??1? 及 ?? 都平行、且过原点的平面方程是________.
?
121
?
zt ?? 2
?
xy ??z? 0
【答案】
??
?? ?
?
s ? 0,1,1
? ? s ? 1, 2, 1
【解析】 ， ? ? ，由题意平面 ? // 两直线，则平面的法矢量n 与该两直线的方向
1
2
矢量垂直，于是可设
???
ijk
?? ?? ?????
ns ??s?011??i? j? k
12 ，
121
?? xy ?z ? 0 xy ? ?? z0
平面又过原点，所以所求平面方程为 ，即 .
x ??t ?2
?
?
5 、过点M (1, 2, ?1) 且与直线yt ?? 34 垂直的平面方程是____________.
?
?
zt ?? 1
?
xy ?? 34 z??0
【答案】
5?/? 8??
s?? {1,3,1}
【解析】直线的方向矢量为 ，因为直线垂直于所求平面，于是可知平面的矢
?? ?
ns // n?? {1,3,1}
量 ，取 为平面的法矢量，故所求平面为
(?? 1)(xy 1)? 3(? 2)? 1? (z ? 1)? 0 xy ?34 ?? z?0
，即 .
x?? 12 yz ?3 x ?21 yz ?
6 、已知两直 线方程是L : ?? 和L : ? ? ，则过L 且平行于
1 2 1
10 ?1 211
L 的平面方程是____________.
2
xy ?? 32 z??0
【答案】
? ? ? ? ?
s ? ?1, 0 , ?1 ? s ? ?2,1,1 ?
【解析】直线LL , 的方向矢量分别为 ， ，因为平面过L 且平行于L ，所
1 2
12 1 2
? ??
ijk
?
?? ?? ?????
nA ?{,B ,C } M (1, 2, 3)
以平面的法矢量 ，即为ns ??s?10?1?i?3j?k ，由于平面过L ，所以点 在
12
1
211
(1xy ?)?3(??? 2)(z 3)?0
平面上，故平面方程为 ，即xy ?32 ?? z?0 .
xy?? 73 z
7 、点A(3, 2,6) 到直线?? 的距离为____________.
12 ?1
【答案】35
??? ?
AB ?l
B 0, ?7, 3
【解析】已知直线上一点 ? ? ，则已知点到直线的距离为d ? ，其中
l
??? ?
l?? 1, 2 , 1
? ? 为已知直线的方向向量，AB ? ?? 3, 9,? 3 .
? ?
??? ?
ijk
??? ? AB ?l
ABl ???39 ? ?3 ?15 i?6j?3 k
故，则 d?? 35 .
l
12 ?1
8 、点P(1, 1, ?1) 关于平面xy ?? 24 z??0 对称的点Q 的坐标是____________.
3, ?3,1
【答案】 ? ?
P 1, 1, ?1 ? :xy ?24 ??z?0
【解析】过?? 点与平面 垂直的直线方程为
x?? 11 yz?1
l : ?? x ?ty ?? 1, ? 2t? 1,z?t? 1 t ?1
，化成参数方程为 ，将其代入 ? 的方程得 ，
12 ? 1
M 2, ?1, 0
因此l 与 ? 的交点( 即垂足) 的坐标为?? .
Qx,, yz M PQ x ?22 ??1?3
设所求点为?? ，则 是线段 的中点，由中点坐标公式得 ，
y ??12 ? ?1 ??3 ，z ?021 ???1 ，即所求满足条件的点的坐标为 (3, ?3,1) .
6?/? 8?32 xy ??5z?1?036 xy ??3z?8
? ?
9 、直线 与 的夹角为____________.
? ?
20 yz ?? 20 xy ? ?? z
?
?
3 15
arccos
【答案】 arccos ( 或 )
35
715
32 xy ??5z?1?036 xy ? ?? 3z8
? ?
【解析】设直线 与 的方向向量依次为ll , ，
? ?
12
20 yz ?? 20 xy ??z?
? ?
ijk ijk
则， l?? 325??? ? 12,? 3,6l?? 3 6 3??? ? 9,3? ,1? 5，
1 2
021 21 ??1
ll ? 27 3
3
12
cosll ,?? ?
?? ，所以两直线的夹角为 arccos .
12
ll ,
321 ?335 715
715
12
10 、已知球 面的一条直径的两个端点为 2, ?3,5 和 4,1, ?3 ，则该球面的方程为 .
? ? ? ?
222
xy ??31 ??z ?1 ?21
【答案】??????
【解析】因球面的一直径的两个端点为 ?2, ?3,5 ? 和 ?4,1, ?3 ? ，故球心为两点的中点，其坐标为
24 ?? 3? 15? 3
(,,) 3, ?1,1
，即 ? ? ，球的半径为
222
1 222
R?? 24?? 3? 1? 5? 3? 21
?????? ，
2
222
故所求球面的方程为xy ?31 ???z ?1 ?21 .
??????
xyz ? 2
11 、直线L :?? 绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 .
203
222
xyz
【答案】
??? 1
449
x ? 2t
?
?
y ? 2
【解析】将直线化为参数方程为 ，则
?
?
zt ? 3
?
222
44xyz
22 222 2 2
xy ? ?(2t)2 ? ?4t?? 4(3t)4 ??z?4 ，即 ? ?? 1.
99449
12 、曲面zx ? 和平面y ? 0 的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 .
22
【答案】x?? yz
xOz x
【解析】曲面zx ? 和平面y ? 0 的交线即为 坐标平面上的曲线zx ? ，其绕 轴旋转一周所
7?/? 8?22
22
?? yz?x
得曲面的方程为 ，即x?? yz .
三、简答 题
? ????? ?
1 、已知两点M (4, 2,1) 和M (3,0, 2) ，求向量M M 的模、方向余弦和方向角.
1 2 12
?????? ? ? ????? ? 2
2
2
【解析】因为MM ?? 1,? 2 , 1 ，所以模为MM ? ??12 ? ?1 ?2 ，方向余弦为
??
? ? ??
12 12
121231
cos?? ?? ,cos ?? ,cos? ? ??? ??,, ??? ?
，方向角为 .
222 343
2 、求向量a?? 4, 3, 4 在向量b ? 2, 2,1 上的投影.
? ? ? ?
ab?? 42? 3? 2? 4? 1
?
Prja?? acos a ,b ?? 2
【解析】 .
??
b
222
b
22 ??1
????? ? ? ?
3 、已知OA?? i 3, k OB?j?3 k ，求S .
?OAB
ijk
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?
11
OA?? OB 103?? 3,? 3,1
【解析】因为 ?? ，所以SO ??AOB ? 19 .
?OAB
22
013
22
2
?
?xy ??11 ?z ??4
?? ??
4 、将曲线 的一般方程化为参数方程.
?
z ? 0
?
?
222
2 2
z ? 0 xy ??11 ?z ??4xy ?13 ??
【解析】将 代入?? ?? 得?? ，于是可令
?
x?? 13cos ?
?
?
y ? 3sin ? 02 ?? ? ?
x?? 13cos ? ， . 则所求曲线的参数方程为 y ? 3sin ???
?
?
z ? 0
?
?
8?/? 8? |
|
