【冲刺专题 1 】极限理论
1 数列极限
【解题方法】
1) 单调有界原理
2) 夹逼定理
3) 两个重要极限
4) 根式有理化
5) 等价无穷小
6) Taylor 公式
7) 定积分定义
8) 级数性质
9) Stolz 公式
10) 压缩映像原理
?x
?
【例 1 】 设 f() x 为微分方程 f ()xx?? f ()xe 满足初始条件 f (0) ? 0 的解，
1
2
nf()
11
2
n
求： lim(sec ? 2 tan ) .
n ??
nn
n
1
?
k
k ?1
【例 2 】 求极 限 lim
n ??
lnn
1?/? 14?1.1 Stolz 公式（数列极限的 L’Hospital 法则）
?
定理 1 ： （ 型 Stolz 公式）
?
yy ? y
nn ?1 n
limx ?? ?
lim ?a lim ?a
x a
设 ? ? 严格单增，且 n ，若 ，则 （ 为有限数， ?? 或
n
n ??
n ?? n ??
xx ? x
nn ?1 n
?? ）
0
Stolz
定理 2 ： （ 型 公式）
0
yy ? y
nn ?1 n
lim y ? 0
lim ?a lim ?a a
x 0 ? ?
设 ? ? 严格单减趋于 ，且 n ，若 ，则 （ 为有限数， 或
n
n ??
n ?? n ??
xx ? x
nn ?1 n
??
）
2021 2021 2021
12 ?? ?? n
【例 3 】 求极 限 lim
2022
n ??
n
?
【例 4 】 数列xa ?? (0, ) ，xx ?? sin (n 1,2, ?)
0 nn ?1
2
（1 ）证明： 数列 x 收敛，并求 limx ；
? ?
n n
n ??
2
（2 ）求极限 limnx
n
n ??
2?/? 14?1
n
32 6
n
【例 5 】 求极 限 lim[(nn ?? )e? 1?n ]
n ??
2
2
? 1
n
【例 6 】 求极 限 lim[tan( ? )] .
2
n ??
4 n
2 n
【例 7 】 求极 限 lim[1 ? sin() ? 1+4n ]
n ??
22
【练习】求极 限 lim sin() ?nn ?
n ??
3?/? 14?1
2
n
【例 8 】 求极 限 lim(n!) .
n ??
n
22
【例 9 】 设x ?? (1aa )(1? ) ?(1?a ) ，其中 a ?1 ，则极限 limx ? __________.
n n
n ??
1
【例 10 】 设数 列 a 满足01 ?? a 及 (1?? aa ) (n? 1, 2, ?). 证明极限 lima 存在，并求之.
? ?
n n nn ?1 n
n ??
4
12
1
nn
【例 11 】 lim(ee ?? 2 ??ne )sin ? __________.
2
n ??
n
4?/? 14?1
2
【例 12 】 设数 列 x 由下式给出：xx ?? ,, x?x( n?1,2,3 ?)
? ?
n 11 nn ? n
2
??
11 1
求极限 lim ?? ??
??
n ??
xx ?? 11x?1
12 n
??
1
?
【例 13 】 设1?? x ? 时， 0?? fx ?? ，证明：极限 lim f n 存在
? ?
2
n ??
x
5?/? 14?1.2 压缩映像原理
对于任意数列 ?x ? 而言，若存在常数01 ?r ? ，使得 ?nN ? ，恒有 x ?? xrx?x ，
n nn ?11 nn ?
则数列 x 收敛
? ?
n
x x ?fx () n ? 1, 2 , ? f
特殊地，若数列 ? ? 利用递推公式给出： （ ） ，其中 为某一可微函数，且
n nn ?1
?
f ()xr ??1(?x ?R ) x
存在 ，使得 ，则数列 ? ? 收敛
rR ?
n
4
4 u ??3, ?,
3
u ? 3 u ? 3 ? u
【例 1 】 设 ， ， 4 证明：数列 ? ? 收敛并求其极限
1 n
2
3 ?
3
3
1
x ?? 2
【例 2 】 设x ? 0 ， ，证明：数列 ?x ? 收敛并求其极限
n ?1
0 n
x
n
6?/? 14?p q pp ??? 2,qqp? q ,p? q? 1
【例 3 】 设数 列 ? ? ， ? ? 满足
n n nn?? 11 nnnn11
p
n
lim
求
n ??
q
n
x ?x
nn ?1
limx
x ? 0 x ?1 x ?
【例 4 】 设 ， ， ，求 n
0 1 n ?1
n ??
2
7?/? 14?1
f() x f (0) ?10( ?fx ?) ? x
【例 5 】 已知 函数 可导，且 ， ，设数列 ? ? 满足
n
2
xf?? ()x (n 1,2, ?)
，证明：
nn ?1
?
() x ?x
（1 ）级数 绝对收敛
?nn ?1
n ?1
limx 0l?? im x 2
（2 ） n 存在，且 n
n ?? n ??
2 函数极限
【解题方法】
1) 两个重要极限
2) 根式有理化
3) 夹逼定理
4) 等价无穷小
5) L’ H o s p i t a l 法则
6) Taylor 公式
7) 导数定义
8?/? 14?50 2
ln(100xx ?? 2 5)
【例 1 】 lim .
10 3
x ?? ?
ln(2xx ?? 1)
3
2
【例 2 】 limxx ( ?? 1 2x ?x ? 1) .
x ?? ?
1
f() x
2
【例 3】设 f() x 是连续可导函数，且fx ()?? xxf(t)dt?xlim ，求 f() x .
?
0 x ?0
x
9?/? 14?xx
xx ? (sin )
【例 4 】 求极 限 lim .?
?
22
x ?0
x ln(xx ?? 1 )
1 ?x
ex
【例 5 】 求极 限 lim[ ?x] .
x
x ??
(1 ?x)
2
x 3
ex ?? cos cos3x
【例 6 】 求极 限 lim .
2
x ?0
ln(1 ? sin x)
10?/? 14?cotx
1
fx ()
ln(1 ?x)
2
??
【例 7 】 设 f() x 连续， lim ? 1 ，求极限 lim 1 ? fx ( t )dt .
?
?? 0
x ?0 x ?0
??
x
32
【例 8 】 设yy ? ()x 是由方程yx ?? yx?21 x??0 确定并且满足y(1) ? 0 的函数，
3
(1 x ?)
则 lim ? ________
x
x ?1
yt ()dt
?
1
xu
22
du[3 u?? sin( u t)] dt
??
00
【例 9 】 lim ? ________
8
x ?0
x
11?/? 14?3 无 穷 小 与间断 点
【核心考点】
1) 熟记常见的等价无穷小
2) 涉及变限积分相关的无穷小比较
3) 间断点类型及个数（第一类 vs 第二 类）
2
ln(1 ?x )
2
【例 1 】 已知 当x ? 0 时， f()xx ?? 1 ? cosx ，gx () ? sintdt ，hx ()?? arcsinx x 都
?
0
是无穷小量，按照它们关于x 的阶数从低到高的顺序排列，应是( )
f() xg ,(x),h() x f() xh ,(x),g() x
(A) (B)
(C)hx (),f(x),g() x (D) hx (),g(x),f() x
x
xf() x ?ln(1 ?x)
【例 2 】 设 f (x) 为连续函数，且 lim ? 2 ，Fx () ? tf() x ?t dt ，且当x ? 0 时
2 ?
0
x ?0
x
1
2 k
F(x) ? x 与bx 为等价无穷小，其中常数b ? 0 ，k 为某正整数.
2
（1 ）求k 与b 的值及 f (0) ；
?
（2 ）证明 f (x) 在x ? 0 处可导，并求 f (0) .
12?/? 14???
【例 3 】 设非 负函数 f() x ，gx () 在x ? 0 处有二阶导数，且 f (0) ? g(0) ，fg (0) ? (0) ，
fg ??(0) ? ??(0) .
1( ?? fx)1? g(x) n n
（1 ）已知当x ? 0 时，eO ??1(x ) (x 的同阶无穷小) ，求n ；
f()xg ? ()x
（2 ） lim ．
x ?0
x ln(1 ?x)
【例 4 】设函 数 f() x 在x ? 0 的某邻域具有二阶连续导数 ? ?? ，
且ff (0) (0)f (0) ? 0
2
abc ,, h ? 0
证明：存在唯一的一组实数 ，使得当 时af() h?? bf(2 h) cf(3 h)? f(0)? o( h ) ．
13?/? 14?xx (2 ? ? )
?
,0 x ?
?
? 2cosx
【例 5 】 函数fx () ? ，则 f() x ( )
?
1
?
sin ,x ? 0
2
?
? x ?1
(A) 除去一个第一类间断点，无其它间断点
(B) 有两个第一类间断点，无穷多个第二类间断点
(C) 有无穷多个第一类间断点，两个第二类间断点
(D) 既有无穷多个第一类间断点，又有无穷多个第二类间断点
2n
23 x ? 1
【例 6 】 设函 数fx () ?lim sin ，则函数 f() x 有( )
2n
n ??
x ?1 x
(A) 两个第一类间断点
(B) 三个第一类间断点
(C) 两个第一类间断点与一个第二类间断点
(D) 一个第一类间断点与一个第二类间断点
g ?x ? ?1
g?? x lim ?m
【例 7 】设函 数 在x ? 0 的某邻域内连续，且 .
x ?0
x
1
2
?
? ?
g x t dt ?1
?
0
?
x ? 0
,
2
?
x
?
1
?
mn ,
f?? x ? , .
已知函数 x ? 0 ，在x ? 0 处连续，求
?
2
?
x
?
?m ?n cosx ?e ?x
,
? x ? 0
2
x
?
?
14?/? 14? |
|
