多元函数微积分综合测试卷
测试时间：3 小时，满分 150 分
?
一、选择 题：15 小题，每小题 5 分， 共 25 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指 定位置 上.
．．．
2
?
xy
,(xy ,) ≠(0,0)
?
22
（1 ）设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
fx (,y) =
xy +
?
?
0, (xy , ) = (0,0)
?
′′ ′′
（A ） f (0,0) 和 f (0,0) 均不存在
xy yx
′′ ′′
（B ） 不存在，但 存在
f (0,0) f (0,0)
xy yx
′′ ′′
（C ） f (0,0) 存在，但 f (0,0) 不存在
xy yx
′′ ′′
（D ） f (0,0) 和 f (0,0) 均存在
xy yx
1
?
(xy+≠ )arctan , (x ,y ) (0,0)
?
22
（2 ）设fx (,y) = xy + ，则 f(, xy) 在点 (0,0) 处（ ）
?
?
0, else
?
′ ′
（A ）不可微但偏导数 f (0,0) ， f (0,0) 均存在
x y
′ ′
（B ）连续但偏导数 f (0,0) ， f (0,0) 均不存在
x y
′ ′
（C ）偏导数 f (, x y) ， f (, xy) 均不连续但可微
x y
′ ′
（D ）偏导数 f (, x y) ， f (, xy) 均连续
x y
y 2
（3 ）已知函 数 ，则它在点 (1, 0 ) 处取（ ）
f(, xy)=+ e(x y? 2x)
A
（ ）极小值取 ?1
（B ）极大值取 ?1
（C ）不取极值
（D ）取极大值1
π 0
I =df θθ (cr os,r sinθ )rdr y
x
（4 ）将积分 π 化为先对 积分后对 积分为 （ ）
I =
??
2s a in θ
4
2
ay 22 aay ?y
A
（ ） dy f(, x y) dx + dy f(x,y) dx
22
?? ??
02 ?? ay y a ?? 2 ay y
2
ay 22 aay ?y
（B ）
?? dy f(, x y) dx dy f(x,y) dx
22
?? ??
02 ?? ay y a ?? 2 ay y
1 / 3 2
aa22 y ?y ay
（C ）
dy f(, x y) dx + dy f(x,y) dx
22
?? ??
02 ?? ay y a ?? 2 ay y
2
aa22 y ?y ay
（D ）
?? dy f(, x y) dx dy f(x,y) dx
22
?? ??
02 ?? ay y a ?? 2 ay y
xt =? sint? π
? () x?+ ydx( x+ yd) y
=
（5 ）设L 是摆线 上从t = 0 到t = 2π 一段，则 （ ）
?
22
?
L
y=? 1cos t
xy +
?
?π π
（A ） （B ） （C ） 2π （D ） ?2π
二、填空 题：6 ～10 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案写在答题纸指定位置上．
22 x+y
（6 ）当xy ≥≥ 0, 0 时，x+≤ yke 恒成立，则k 的取值范围是 .
222
22
（7 ）设 是由曲面 与曲面 所围成的区域，
Ω x++ yz≤ 2z
zx ≥+ y
333
() x++ yzdv=
则 ??? .
Ω
22
xy +
22
8 .
（ ）曲线Lx:2 += y?y ，则
I== ds
? ?22
L
xy ++ (1)
22
O(0,0) A(2a,0)
（9 ） 是由 到 沿x+= ya 2x 的上半圆周的一段弧，
L
2
y
22
I=+ dx y[l xy+ n( x+ a+ x)] dy= .
则
?
L 22
2ax +
22
（10 ） ? 为锥面 及平面 围成的整个边界曲面，
zx =+ y z =1
22
I=+ () xydS=
则 ? ?? .
?
三、解答 题：11 ? 20 小题，每小题 10 分，共 100 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文
字说明、 证明过程或演算步骤.
（11 ） （本 题满 分 10 分）
22
?? uu?u?u
已知函数ux (,y) 满足22 ?++3+3=0 ，求ab , 的值，使得在变换
22
?? xy?x?y
ax+by
ux (,y) =v(x,y)e 下，上述等式可化为vx (,y) 不含一阶偏导数的等式.
（12 ） （本题满分 10 分）
1
?
22
22
xy + sin ,
() xy +≠ 0
?
22
fx ,y= x + y (0,0) f ′ xy ,
证明：函数 () 在原点 处可微，而 () ，
?
x
22
xy += 0
?
0,
?
2 / 3 f ′ xy , (0,0)
() 在原点 处不连续.
y
（13 ） （本题满分 10 分）
2
xy += 6 y D
求二元函数z = f() x,y = x y( 4 ?x ? y) 在由直线 ，x 轴和 轴所围成的闭区域 上的极
值、最大值与最小值．
（14 ） （本题满分 10 分）
2
() xy + 2 2
设D 是由直线x+= y 1 ，xy += 2 及x 轴和 y 轴围成的四边形区域，计算ex (cos + siny )dxdy
??
D
（15 ） （本题满分 10 分）
设 f() x 是定义在(, ?∞ +∞) 上的连续函数，且与x 轴无交点，计算二重积分
2222
xx (1++ y )f ( 1x ) s i n(x+ y )
dxdy
??
22
fx (1++ )f (1+y )
D
ππ 3
22
其中Dx=≤ {( ,y ) x+ y≤ ，y≥ 0}
22
（16 ） （本题满分 10 分）
ydx ?xdy
计算曲线积分I = ，其中 是正向闭曲线xy += 2.
L
? ? 22
L
4x +y
（17 ） （本题满分 10 分）
x
′′ ′
[( fxf )++ 2(x )e ]ydx+f (x )dy ff (0)== 0, (0) 1
设 与路径无关，又 ，
?
L
(1,1)
x
′′
[( fxf )++ 2(x )e ]ydx+f (x )dy
计算 .
?
(0,0)
（18 ） （本题满分 10 分）
2
z +1
I = dxdy
计算曲面积分 ，
??
22
xy ++ 1
?
222
? zz == 1, 2 .
其中 为锥面zx =+y 被两平面： 所截部分的外侧
（19 ） （本题满分 10 分）
xdydz++ ydzdx zdxdy
22
yz
I =
2
?
3
??
设 ? 为 的外侧，求 .
x++= 1
22
222
?
2
23
() xy ++z
（20 ） （本题满分 10 分）
22 2
设薄片型物体S 是圆锥面Z=+ xy 被柱面Z = 2x 割下 的有限部分，其上任一点的密度为
222
ux (,y,z)=+ 9x y+ z ，记圆锥面与柱面的交线为C ，求S 的质量M
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