1 22( ) , ( ) l n
1
x
x f x x
x
? ?
?
??
?
( ( ) )fx?
(2019华师大 )已知
求
(2019华师大 )
0
1
l im
x
x
x?
??
??
??
(2019同济 ) 21
100
0
l im
x
x
e
x
?
?
(2019上理工 ) 1
2 s in
0
l im( )x x
x
xe
?
?
(2019华理 )
2l i m [ 1 1 ] n
n
nn ?
??
? ? ?
(2019海事 )
234
l im
3
n
nn n
n ??
????
??
??
(2019华师大 ) 2
30
1 c o s ( 1 )
l i m
s i n t a n
x
x
e
xx?
??
(2019海事 )
30
ta n s in
l im
x
xx
x?
?
11
1
1
1 , ( 2 )
nn
n
a a a n
a
?
?
? ? ? ?
l im 2n
n
a
n??
?
(2019复旦 )设
证明：
并计算 ： ( 2 )
l i m
ln
n
n
n a n
n??
?
110 , s i n ( 2 , 3 , )nnx x x n? ?? ? ? ?
{}nx
3
~nx
n
(2019同济 )设
（ 1）证明：
（ 2）证明：
单调递减且有界
1
1
1
()
1
x
x
e
fx
e
?
?
?
0x ?
(2019华理 )问
是什么间断点？（选择）
4
( ) a r c t a n
2
fx
x
?
?
2x ?
(2019华师 )问
在
处是什么间断点？（选择）
在
(2019上理工 )
2
s in
()
x
fx
xx
?
?
?
的可去间断点为（选择）
(2019海洋 )
2
ln
()
32
x
fx
xx
?
??
的第一类间断点为（选择）
(2019海事 )考察
21
,0
c o s
()
1
1 sin , 0
1
x
x
x
fx
x
x
?
??
?
?
?
? ?
?
??
? ??
的间断点及其类型
0x ?
22 1xe a x b x? ? ? 2x
,ab
(2019交大 )当 时，
是
的高阶无穷小，求
(2019复旦 )求 54
4
( 1 )x
y
x
?
?
的渐近线
(2019同济 )求 2a r c t a n2 x
ye
?
?
?
的渐近线
(2019华师 )求 2101 xy x e ??? 的渐近线
kx
t a nxx?
,,A B C
1l i m ( ) 0
kk k x A k B C k
?
??
? ? ? ?
(2019复旦 )设 为
的正根从小到大排列的数列，
，使得 ： 求
2 1 s i n( ) a r c s i n ( 1 )
1 s i n
x xf x e
x
?
? ? ?
?
''(0 )f
(2019东华 )设
求
0x ?
()fx
1
( ) ( ) , ( )
c
a f x b f a b
xx
? ? ?
()d f x
(2019上理工 )对任意的
满足 :
求
l n s in
c o s s in
xt
y t t t
??
?
???
2
2
,
d y d y
d x d x
(2019上理工 )设
求
2l n ( 1 )
a r c ta n
xt
y t t
? ??
?
???
2
2
1t
dy
dx
?
(2019华师 ) 求 :
2
3
1
2
1
3
x t t
y t t
?
??
?
?
?
? ??
??
2
2
dy
dx
(2019上大 )设 ,求
32y x x x??
() (0 )ny
n
(2019华师大 )设
则使 存在的
为？（选择 ) 最大
a r c s i nyx?
( 6 ) (0 )f
(2019华师大 )已知
求
( 0 ) 0 , ''( 0 ) 1ff ??
2 ()xye f x y e? ??
(0 ,1)
(2019上大 )已知
求曲线
在 处的法线方程 。
22 s i n 2a???
4
?
? ?
(2019同济 )求曲线
在 处的法线方程
(2019交大 )考察方程 22 1 0x x? ? ?
根的个数
ln
x
yx
e
?? ? ?
(0 , )??
(2019海洋 )求
在 内的零点个数
2xe a x?
0a ?
(2019东华 )判断方程
根的个数及范围（ ）
2 1s i n 2 2 0 1 9xx
x
??
0 .0 0 1
(2019同济 )求解方程
（精确到 ）
0
" ( )
l im 1
x
fx
x?
?
()A (0 )f
()B (0 )f
()C (0 , (0 ) )f
()D
(2019华师大 )已知 , 则 :
是极小值；
是极大值；
是拐点；
以上均不对。
(2019华师大 )求
44( ) s i n c o s , ( [0 , ] )
4
f x x x x
?
? ? ?
的拐点 .
(2019海事 )求 2
xye
?
?
的拐点
(1, 3) 32y a x b x??
,ab
(2019上理 )设 为
的拐点，求
(2019交大 )全面讨论函数
2
21
( 1 )
x
y
x
?
?
?
的性态
()fx
1
( 0 ) , ( 1 ) 1
4
ff??
( 0 , 1 )??? ''( ) ( )ff???
(2019海洋 )设 非负 可导，
，证明：
， 使得 ：
且
22 5 4
()
23
xx
fx
x
??
?
?
() ( 0 ) ( 2 )nfn ?
(2019上大 )若
求 :
2( ) ( 1 ) l n ( 1 )f x x x? ? ?
( 2 0 1 8 ) (0 )f
(2019上大 )若
求 :
()fx [ , ]ab
,a c d b? ? ? ?
,M ? ( ) 0fx ?
(2019华师 )已知 在 上连续 ,
成立 :
均为正常数，证明：
1( ) ( )d
c
f x d x M d c ?????
, 其中
()fx [1, 3]
(1, 3) 3 ()
1
l n [ ] 0fxx d x ??
(1 , 3 )???
1
''( ) ( ) 0
ln
ff??
??
??
(2019海事 )设 在 上连续，
内可导，且
证明： ，使得
()fx [0 ,1]
2
0
( ) ( )
x
g x t f t d t? ?
(1 ) (1 )gf?
(0 , 1 )? ?
2 ( )
''( )
f
f
?
?
?
?
?
(2019上理工 )设 在 上可导，
, 并且
证明 : 存在 , 使得
(2019交大 ) 2
0
s i n
0
0
ta n
l im
x
x
x
x d x
t d t
?
?
?
?
(2019海洋 )
2
2
2
20
11
2
l im
( c o s ) l n ( 1 )
xx
x
x
x e x?
? ? ?
??
(2019华理 )
1
2
0
2
[ ( 1 ) ]
l im
1
l n ( 1 )
x
t
x
t e t d t
x
x
??
??
?
?
2
0
()
x t
f x e d t?? ?
0
( ) ( )
l i m
h
f x h f x h
h?
? ? ?
(2019华师大 )设
求：
(2019华师大 )求
2
0
( ) ( 1 )
x
tf x t e d t??
?
的极大值。
(2019华理 ) 3
2
1
x
dx
x?
?
(2019上大 )
1
x
x
xe
dx
e ?
?
(2019上大 ) s i n
3 s i n 4 c o s
x
dx
xx??
(2019华师大 )
t a n l n ( c o s )x x d x?
(2019海事 )
x d x?
(2019华师大 ) 5
3
2
3
1
c o s
x
dx
x
?
?
?
?
?
(2019同济 )
2
0
s in
s in c o s
x
dx
xx
?
?
?
(2019华师大 )
s i n 3
( 1 2 ) s i nx
x
dx
x
?
?? ??
(2019上大 )
2
0
2
42
x
dx
xx
?
? ? ?
?
1
0
1
( 1 ) , ''( 1 ) 0 , ( ) 1
2
f f f x d x? ? ??
1 2
0
" ( )x f x d x?
(2019海事 )已知
求 :
()fx (0 ) 0f ?
1
0
( ) ( )
x n n n
F x t f x t d t????
20
()
l im
nx
Fx
x?
(2019华师大 ) 可导，且
令
求
0
()
l im 1
x
fx
x?
?
0
3
0
()
l im
()
x
x
f x t d t
fx?
?
(2019上大 )已知
求：
2
0
( ) a r c t a n ( 1 )
x
f x t d t???
1
0
()f x d x?
(2019上大 )已知
求：
()fx [ 2 , 4 ]
( 3 ) 0f ?
[ 2 , 4 ]???
4
2
" ( ) 3 ( )f f x d x? ? ?
(2019华理 )已知 在
上连续， 且
证明：
使得 ：
2x
e d x ?
?? ?
??
??
2
0
x t
y e d t?? ?
(2019海洋 )已知积分
写出曲线
的水平渐近线
(2019华理 )
23
1
6
dx
xx
??
???
20 1
a
dx
x
?
??
?
??
a
(2019海事 )已知
求
(2019东华 )下列说法错误的是
()A 2xe d x ??? ?
??
?? ()B
22
2
xx e d x ??? ?
??
??
()C
2 01
x dx
x
??
??
?
??
()D
22 0( 1 )
x
dx
x
??
??
?
??
(2019华师大 )求由
22 ,y a x x a y??
所围图形的面积
22,2y x y x??
1y ?
y
(2019上理工 )求
与 围成的图形的面积，
轴旋转的体积 以及绕
2 2 , 0 , 1 , 3y x x y x x? ? ? ? ?
,xy
(2019海事 )求由
围成的图形面积，以及该图形 分别
轴旋转 所得立体的体积 绕
2: ( 0 )L y x x??
A A
D 1
12
D
x
(2019上大 )曲线
上有一点 , 过
切线 、 轴所围区域 的面积为
求 绕 轴旋转所得立体的体积
作切线，由曲线、
x
''0x y y??
(1 ) 1y ? ()yx
(2019上理工 )已知
且 ，求
(2019海洋 )求方程 '' ( 1 ) " 0y x y? ? ?
的通解
"'' xy a y b y c e? ? ?
xxy e x e???
abc??
(2019东华 )已知
有解
求 :
(2019上理工 )求 2" 5 '' 6 xy y y x e? ? ?
的通解
" 4 c o s 2y y x x??
y
(2019交大 )方程
的特解 应设为？
( ) ( ) ( )F x f x g x?
''( ) ( ) , ''( ) ( ) ,g x f x f x g x??
( 0 ) 0 , ( 0 ) ( 0 ) 1f f g? ? ?
()Fx
(2019上大 )
其中
求 :
" ( ) s i nf x x x?
( 0 ) ( ) 0ff ???
''(0 )f
(2019复旦 )已知
且
求 :
()Fx ()fx
(0 ) 2F ?
( ) ( ) s i nf x F x x x?
()fx
(2019海洋 )设 是
的一个原函数，
若
求 :
()fx
0x ?
2
0
( ) ( ) 1
x x
f x f x t d t e? ? ??
()f x d x?
(2019东华 )设 为非负连续
时满足 :
求 :
函数， 当
0
( ) ( ) s i n ( )
x
x t f t d t x f x? ? ??
()fx
(2019交大 )已知
求 :
()fx ( , )???
''( 0 )fa? , , ( , )x y x y ??? ? ?
( ) ( )
()
1 ( ) ( )
f x f y
f x y
f x f y
?
??
?
()fx
(2019同济 )设 在 上有定义 ,
,且对任意
成立
求 :
()fx (0 , )??
(1 ) 1f ? [1, ]x
()fx x 2
2
()
x
fx
?
()fx
(2019复旦 )设 在 上 连续，
, 在 区间之间，
与 轴所 围面积为
求 的表达式
恒取正，
1 1 1
0 1 1
x y z? ? ?
??
z
(2019华理 )求直线
绕 轴旋转而成的旋转面方程
( 3 , 1 , 1 )P ??
: 2 1 0 0xz? ? ? ?
(2019复旦 )求点
关于平面
的对称点
( 2 , 0 , 9 )A
: 2 9x y z? ? ? ?
1 2 3
:
2 3 4
x y z
l
? ? ?
??
(2019复旦 )求过
平行于
且与
相交的 直线
( 1 , 0 ,1 ) , ( 1 , 2 , 2 )?
1
1
23
xz
y
?
? ? ?
(2019上理工 )求过点
且与直线
平行的平面方程
533( , )f x y x y??
(0 , 0 )xf
(2019上理工 )已知
求
3 42( , ) ( 1 )f x y y x x y? ? ? ?
(0 ,1)
(2019海洋 )已知
求函数在 处的一阶偏导数
( , )x
x
z f e
y
?
22
2
,
zz
x y y
??
? ? ?
(2019复旦 )已知
求
a r c ta nxy
y
ze
x
?
dz
(2019华理 )
, 求
(2019上理工 )
()fx
22( , ) ( )g x y y f x y??
gg
yx
xy
??
?
??
(2019上大 ) 可导，且
求：
()x m z y n z?? ? ?
( , )z z x y?
,mn ?
zz
mn
xy
??
??
??
(2019海洋 )设
确定 ，
其中 为常数， 可微，
由方程
则
()x m z y n z?? ? ?
( , )z z x y? ,mn
?
zz
mn
xy
??
??
??
(2019海洋 )设方程
确定了 ，其中
为常数， 可微，则
（填空）
( , )z z x y?
( , )x f x z y z?
f dz
(2019海事 ) 由
确定，其中
具有一阶连续偏导，求
2u x y
v x a y
???
?
???
2 2 2
22
60
z z z
x x y y
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
2
0
z
uv
?
?
??
z a
(2019海事 )设 ，若
可简化为
其中 二阶偏 导连续， 求
2 2 2 2
22
22
1
( ) s in , 0
( , )
00
x y x y
xyf x y
xy
?
? ? ??
?? ?
? ??
?
(0 , 0 )
(2019同济 )考察函数
在
是否偏导连续？
点处的是否可微？
( , )f x y
221
0
( , ) 1
l im 0
( 1 )xy
f x y x y
xy??
? ? ?
?
??
22( , ) ( , )xyg x y f e x y??
(0 , 0) ( , )g x y
(2019华理 )设
并且
令
证明： 是
说明是极大还是 极小 ,并求此极值
二阶连续可导，
的极值点，
22( , ) 2 8 2 9f x y x y x y? ? ? ? ?
? ?22( , ) 2 1D x y x y? ? ?
(2019复旦 )求
在
上的最值
22( , ) 2 6f x y x x y y? ? ?
2223xy??
(2019交大 )求
在 上的最值
2 2 2 2( , ) 2f x y x y x y? ? ?
? ?22( , ) 4 , 0D x y x y y? ? ? ?
(2019海洋 )求函数
在区域
上的 最大值与最小值
D
, 1 , 2 , 2y x x y y x x y? ? ? ?
D
y
d
x
???
(2019海事 )设 是由
所围的第一象限部分，
计算 :
(2019海事 )
22
1xy
x y d x d y
??
???
22
m a x ( , )
01
01
xy
x
y
e d x d y
??
??
??
(2019海洋 )
(2019海事 )
11
3
0
s i n
x
d x y d y??
22:1D x y??
22
2
22
( 2 1 ) ( , )
( , )
1
xy
D
x f x y
f x y e d
xy
??
?
??
????
( , )
D
f x y d ???
(2019上大 )已知
求
: 0 , 0 s e c
4
D
?
? ? ?? ? ? ?
22s i n 1 c o s 2
D
dd? ? ? ? ? ????
(2019东华 )
求 :
()fx
: , ( 0 )D x a y a a? ? ?
2
0
( ) 2 ( 2 ) ( )
a
D
f x y d x d y a x f u d u? ? ??? ?
(2019华理 )设 是连续的偶函数 ,
，证明：
(2019同济 )证明：
21
1
122
0
( 1 ) ( 1 )
22
x
e e d x e
?? ?? ?
? ? ? ??
(2019上大 )计算：
22
22
22c o s ( )xy
xy
e x y d x d y?
?
??
??
???
? 1x
yz
??
?
??
z
0 , 1zz??
22( 1 )x y d V
?
?????
(2019上大 ) 由曲线 绕
旋转所成的曲面与
所围 , 求
轴
(2019同济 )
2 2 2 2
2 2 2 2[ s i n ( ) 2 ]
x y z R
x x y z z d V
? ? ?
? ? ????
2 2 2 2
2x y z x y
z d V
? ? ? ? ?
???
(2019东华 )
(2019复旦 )
2 2 2
2 2 2
1
( 2 )
x y z
d x d y d z
x y z
? ? ?
? ? ?
???
22z x y??
2 2 1 0x y z? ? ? ?
?
(2019交大 )求
与
所围成的几何体 的体积
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z
? ? ? ?
? ?
? ? ??
22[ ( 2 ) ( 3 ) ]x y d s
?
? ? ??
(2019东华 )设曲线
求 :
3 2 2 23( ( ) ) ( ( ) )
2L
x y x y y f x d x x y f x d y? ? ? ??
()fx
(2019上大 )已知曲线积分
与路径无关，求
F
2
?
L 22
1
49
xy
??
( 2 , 0 )A ( 2 , 0 )B ? F
(2019同济 )已知场力
作 用点到原点的距离成反比，
，
是沿上半椭圆 从
到 , 求 所作的功
的大小与
方向为矢径方向顺时针旋转
2
2 2 2
x d y d z y d z d x z d x d y
x y z
?
??
??
??
2 2 2: ( )x y R R z R? ? ? ? ? ?
(2019上大 )计算
其中 外侧
''( )f x M?
M
1
0
1
[ ( ) ( ) ]
22nnn
nn
ff
?
?
?
?
??
l im ( )
2 nn
n
f
??
(2019上大 )已知
（ 为正值常数），证明：
绝对收敛；
存在
（ 1）
（ 2）
s i n 1 0n x n x? ? ?
n
nx
0? ?
1
()n
n
x ?
?
?
?
(2019复旦 )设
（ 1）证明：
方程有唯一正实根
（ 2） ,讨论 的敛散性
取任意正整数，
(2019海洋 )考察级数的敛散性
0
1
s in
1
n
n
x
dx
x
??
? ?
? ?
1
( 1 )
11
1
2
n
n
n
?
?
?
? ? ?
?
（ 1）
（ 2）
0
( 1 ) nn
n
ax
?
?
??
1x ??
0
n
n
a
?
?
?
(2019交大 )若
在 时绝对收敛，
是否收敛（选择） 则
/1( ) ( ) , ( 1 )nx
nn
e
u x u x x e u
n
?? ? ?
1
()n
n
ux
?
?
?
(2019华理 )已知
求 :
2
1
( 1 )
1 ( 1 )
2
nn
n
x
x
n
?
?
?
???
()Sx
(2019上大 )已知幂级数
收敛，求和函数
2
1
()
12
fx
xx
?
??
()
0
!
( 0 )nn
n
f
?
?
?
(2019复旦 )已知
证明 : 收敛
1 1 1
( ) l n a r c t a n
4 1 2
x
f x x x
x
?
? ? ?
?
x
(2019上大 )将
展开成 的幂级数
1
21 2 3 2
n
n n na a a n
?
??? ? ? ?
0 !
n
n
n
ax
n
?
?
?
(2019复旦 )已知
求 ：
011 , 2 ,aa??
(2019上大 )将
0
( ) ,
00
xx
fx
x
?
?
???
? ?
? ? ??
展开成傅里叶级数
A n
kN ??? 0kA ?
0nA ?
m
0mA ?m
1 , 2 , , n
(2019复旦 ) 为 阶方阵，
，有
(1)证明：
(2) 为使
举例说明 可取遍
成立的最小 正整数
A 4
2 0 , ( ) 3A A r A? ? ?
() Tf X X A X?
k
A kE?
(2019复旦 ) 为 阶对称阵，
（ 1）求 的规范型；
的取值范围，
为正定阵 。
（ 2）求
且
使
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