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高数单元测试2：导数与微分
测试时间：100分钟，满分100分
一、选择题：1 10小题，每小题4分，共40分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设函数 连续，且 则存在 ，使得( )
（A） 在 内单调增加 （B） 在 内单调减少
（C）对任意的 有 （D）对任意的 有
2、设函数 ()f x 满足
1
()
lim 1
ln
x
fx
x
→
= ，则（ ）
（A） (1) 0f = （B）
1
lim ( ) 0
x
fx
→
= （C） (1) 1f ′ = （D）
1
lim ( ) 1
x
fx
→
′ =
3、设函数 在 处连续，下列命题错误的是( )
（A）若 存在，则 （B）若 存在，则
（C）若 存在，则 存在 （D）若 存在，则 存在
4、已知 在 处可导，且 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
5、下列函数中，在 0x = 处不可导的是( )
（A） () sinf xx x= （B）() sinf xx x=
（C） () cosf xx= （D）() cosf xx=
6、设函数 可微， 则 等于( )
（A） （B） （C） （D）
7、设函数 由参数方程 确定，则曲线 在 处的法线与 轴交点的横
坐标是( )
（A） （B） （C） （D）
8、已知函数
2
() ln(1 )=?f xx x，当 3≥n 时，则
()
(0) =
n
f （ ）
?
()f x ,0)0( >′f 0>δ
()f x (0, )δ ()f x )0,( δ?
),0( δ∈x () (0)f xf> )0,( δ?∈x () (0)f xf>
()f x 0x =
0
()
lim
x
f x
x
→
()00f =
0
() ( )
lim
x
f xfx
x
→
+?
()00f =
0
()
lim
x
f x
x
→
(0)f ′
0
() ( )
lim
x
f xfx
x
→
??
(0)f ′
()f x 0x = ()00f =
() ()
23
3
0
2
lim
x
x fx fx
x
→
?
=
()20f
′?
()0f
′?
()0f
′
0
()gx
1()
() , (1) 1, (1) 2,
gx
hx e h g
+
′′===(1)g
ln3 1? ln3 1?? ln 2 1?? ln 2 1?
()yyx=
2
2
ln(1 )
x tt
yt
? =+
?
=+
?
()yyx= 3x = x
32ln
8
1
+ 32ln
8
1
+? 32ln8 +? 32ln8 +
2 / 2
（A）
!
2
n
n
?
?
（B）
!
2
n
n ?
（C）
(2)!?
?
n
n
（D）
(2)!?n
n
9、设函数
2(1)
(1)
() lim
1
nx
nx
n
x eaxb
fx
e
?
?
→∞
++
=
+
可导，则（ ）
（A） 2, 1ab== （B） 2, 1ab==? （C） 2, 1ab=? = （D） 2, 1ab=? =?
10、设函数 ()yfx= 在
0
x 点处可导， ,x yΔΔ分别为自变量和函数的增量，dy为其微分且
0
()0fx′ ≠ ，
则
0
lim
x
dy y
y
→
?Δ
=
Δ
?
( )
（A） 1? （B）1 （C）0 （D）∞
二、填空题：11 15小题，每小题4分，共20分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11、若 cos
x
y e
?
= ，则
1x
dy
dx
=
=________
12、设函数 由方程 所确定，则曲线 在点 处的切线方程是
___________.
13、已知函数 ()yyx= 由方程
23
3xxyy++=确定，则
(1)y′′ =
________
14、设函数
()yyx=
由参数方程
()
2
21
41
t
t
xet
ytet
? =++
?
?
=? +
?
?
确定，则
2
2
0t
dy
dx
=
=________
15、设函数
1
23
y
x
=
+
，则 ________.
三、解答题：16 19小题，每小题10分，共40分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
16、已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方程 所确定，设
，求
17、设函数 ()yyx= 由方程
y
exye+=所确定，求 ()0y′′ .
18、求常数 ,ab，使得
2
ln(1 3 ) 2 , 0
()
2
5arctan 3 ( 1) , 0
1
x
xae x
fx
x
bx x
x
? ++ >
?
=
?
++ ≤
?
??
在 0x = 处可导.
19、若函数 ()f x 对任意实数
12
,x x 有
12 1 2
()()()f xx fxfx+= ，且 (0) 1f ′ = ，证明： () ()f xfx′ =
?
()yfx=
4
ln2 yxxy =+ ()yfx= (1,1)
()
0
n
y =
?
()f u (0) 1f ′ = ()yyx=
1
1
y
yxe
?
?=
(ln sin )zf y x=?
2
002
,.
xx
dz d z
dx dx
==
|
|
