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高数单元测试3：微分中值定理与导数的应用
测试时间：180分钟，满分150分
一、选择题：115小题，每小题4分，共60分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）设函数??f x可导，且?? ?? 0fxf x
? ?
，则（ ）
(A) ?? ? ?11ff?? (B) ?? ? ?11ff?? (C) ? ? ? ?11ff?? (D) ?? ??11ff??
（3）设函数在区间上可导，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）设函数，则是的（ ）
(A) 可导点，极值点 (B)不可导点，极值点
(C) 可导点，非极值点 (D)不可导点，非极值点
（5）设函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设函数，在处的2次泰勒多项式为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）设函数在处的3次泰勒多项式为，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）曲线的拐点坐标为（ ）
?
()
lim
xa
fx a
b
xa
?
?
?
?
sin ( ) sin
lim
xa
f xa
xa
?
?
?
?
sinba cosba sin ( )bfa cos ( )bfa
()f x [2,2]? () () 0fx fx? ??
(2)
1
(1)
f
f
?
?
?
(0)
(1)
f
e
f
?
?
2
(1)
(1)
f
e
f
?
?
3
(2)
(1)
f
e
f
?
?
,0
()
ln , 0
xx x
fx
xxx
??
?
?
?
?
0x ?
()f x
?? ? ?
ln 0fx axb xa?? ?
b
a
? ?
,e ??
??
0,e
1
0,
e
??
??
??
1
,
e
??
??
??
??
() secf xx?
0x ?
2
1 ax bx??
1
1
2
ab???，
1
1
2
ab??，
1
0
2
ab? ??，
1
0
2
ab??，
??
2
sin
1
x
fx
x
?
?
0x?
23
ax bx cx? ?
7
1, 0,
6
abc????
7
1, 0,
6
abc? ??
7
1, 1,
6
abc?? ?? ??
7
1, 1,
6
abc?????
3
sin 2cos ( )
22
yx x x x
? ?
?? ???
2?/?3?
(A) (B) (C) (D)
（9）已知方程有个不同的实根，则的取值范围（ ）
(A) (B) (C) (D)
（10）设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点
(D)三个极小值点和一个极大值点
（11）曲线的拐点是（ ）
(A)(1, 0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0)
（12）设函数具有二阶导数，，则在区间上 ( )
(A)当时， (B)当时，
(C)当时， (D)当时，
（13）下列曲线有渐近线的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
（14）设，则( )．
(A) 是极值点，但不是拐点
(B) 不是极值点，但是拐点
(C) 不是极值点，但是拐点
(D) 是极值点，但不是拐点
（15）曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：16 25小题，每小题4分，共40分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（16）曲线的渐近线方程是__________.
(,)
22
? ?
(0,2) ( , 2)? ?
33
(, )
22
? ?
?
5
50xxk??? 3 k
(,4)?? ? (4, )?? {4,4}? (4,4)?
()f x ),( ???? ()f x
??? ?? ?? ?
432
4321 ????? xxxxy
()f x () (0)(1 ) (1)gx f x f x? ?? [0,1]
() 0fx? ? () ()f xgx? () 0fx? ? () ()f xgx?
() 0fx?? ? () ()f xgx? () 0fx?? ? () ()f xgx?
sinyx x??
2
siny xx??
1
sinyx
x
??
2
1
sinyx
x
??
??
1
2
?
??
x
x
xxf
0?x
(0,0)
3?x
?
?
?
?
?
?
?
?
2
33
,3
3??x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
33
,3
3??x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
33
,3
2
2
7
41
xt
yt t
? ??
?
?
???
?
?
1t ?
10
50
10
100
10 10 510
?
??
1
ln 0yx e x
x
??
???
??
??
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（17）曲线
2
(1 arcsin )yx
x
??的斜渐近线方程为___________.
（18）曲线的拐点坐标为__________.
（19）曲线上曲率为的点的坐标是________.
（20）函数在区间上的最小值为___________.
（21）___________.
（22）曲线在其拐点处的切线方程是___________.
（23）曲线在对应点处的曲率为___________.
（24）设，且，则在内的符号为_______.
（25）已知函数
2
() ( 0)
1
x
fx x
x
???
?
，则曲线
()yfx?
的凸区间为_______.
三、解答题：26 30小题，每小题10分，共50分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（26）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值
（27）（本题满分10分）
设常数，求函数在内零点个数．
（28）（本题满分10分）
求曲线的斜渐近线方程.
（29）（本题满分10分）
已知，求，并求的极值。
（30）（本题满分10分）
设函数
（1）证明：存在，使得；
（2）证明：存在，使得
2
3
(5)yx x??
2
(0)yx xx?? ?
2
2
2x
y x? (0,1]
2
lim [arctan( 1) arctan ]
x
x xx
???
?? ?
2
2lnyx x??
3
3
cos
sin
x t
yt
? ?
?
?
?
?
?
4
t
?
?
?? ??sinf xxx?? ?? ? ? 0xx??
? ? ?
? ?f x 0,
2
?
??
??
??
?
??
y x
33
3320xy xy?????
? ?
y x
0k ? () ln
x
f xxk
e
???(0, )??
1
(0)
(1 )
x
x
x
yx
x
?
??
?
2
,0
()
1, 0
x
x
xx
fx
xe x
? ?
?
?
?
??
?
?
()f x? ()f x
2
1
()
x
t
f xedt?
?
(1, 2)??
2
() (2 )f e
?
????
(1, 2)??
2
(2) ln2f e
?
???
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