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高数单元测试1：函数、极限与连续
测试时间：120分钟，满分100分
一、选择题：1 10小题，每小题4分，共40分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．
指定位置上.
（1）当 时，与 等价的无穷小量是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（2）当 0x → 时， (), ()x xα β 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若 () ()x xα β? ，则
22
() ()x xαβ?
② 若
22
() ()x xαβ? ，则
() ()x xα β?
③ 若 () ()x xα β? ，则 () () (())x xxα β οα?=
④ 若 () () (())x xxα β οα?= ，则 () ()x xα β?
其中正确的序号是（ ）
（A）①② （B）①④ （C）①③④ （D）②③④
（3）设 ， ， .当 时，以上3个无穷小量按
照从低阶到高阶的排序是( )
(A) (B) (C) (D)
（4）设数列{ }
n
x 收敛，则（ ）
(A) 当limsin 0
n
n
x
→∞
= 时，lim 0
n
n
x
→∞
=
(B) 当lim ( ) 0
nn n
n
xx x
→∞
+=时，则lim 0
n
n
x
→∞
=
(C) 当
2
lim( ) 0
nn
n
xx
→∞
+=，lim 0
n
n
x
→∞
=
(D) 当lim( sin ) 0
nn
n
xx
→∞
+=时，lim 0
n
n
x
→∞
=
（5）已知当 时， 与 是等价无穷小，则( )
?
0x
+
→ x
1
x
e?
1
ln
1
x
x
+
?
11x+? 1cosx?
1
(cos 1)ax x=?
3
2
ln(1 )ax x=+
3
3
11ax=+? 0x
+
→
123
,,aaa
231
,,aaa
213
,,aaa
321
,,aaa
0x → () 3sin sin3f xxx=?
k
cx
2 / 3
(A) (B) (C) (D)
（6）若
2
1
2
0
lim( ) 1
x
x
x
eaxbx
→
++ =
，则( )
(A)
1
,1
2
ab==? (B)
1
,1
2
ab=? =? (C)
1
,1
2
ab== (D)
1
,1
2
ab=? =
（7）函数 在区间 上的第一类间断点是 ( )
(A) (B) (C) (D)
（8）判断函数 间断点的情况( )
(A)有 个可去间断点， 个跳跃间断点 (B)有 个跳跃间断点， 个无穷间断点
(C)有两个无穷间断点 (D)有两个跳跃间断点
（9）函数
1
1
ln 1
()
(1)(2)
x
x
ex
fx
ex
?
+
=
??
的第二类间断点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（10）设函数
1, 0
()
1, 0
x
fx
x
?<
?
=
?
≥
?
，
2, 1
() ,1 0
,0
ax x
gx x x
xbx
?≤?
?
?
=?<<
?
?
?≥
?
，若
() ()f xgx+
在
R
上连续，则( )
(A) 3, 1ab== (B) 3, 2ab==
(C)
3, 1ab=? = (D) 3, 2ab=? =
二、填空题：11 15小题，每小题4分，共20分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
（11）若 时， 与 是等价无穷小，则 ___________.
（12）
cot
0
1
lim
2
x
x
x
e
→
??+
=
??
??
________
（13）
11 1
lim
12 23 ( 1)
n
n
nn
→∞
??
+++ =
??
?? +
??
? .
（14）当 时， 与 是等价无穷小，则 ___________.
1, 4kc== 1, 4kc==? 3, 4kc== 3, 4kc==?
1
1
()tan
()
()
x
x
ee x
fx
xe e
+
=
?
[ ]
,ππ? x =
0 1
2
π
?
2
π
ln
() sin
|1|
x
f xx
x
=?
?
11 11
?
0→x 1)1(
4
1
2
?? ax xxsin a =
0→x
2
)( kxx =α xxxx cosarcsin1)( ?+=β k =
3 / 3
（15）设 ，则 的间断点为 ___________.
三、解答题：16 19小题，每小题10分，共40分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
（16）（本题满分10分）
求极限 .
（17）（本题满分10分）
已知
()
1
0
1
lim arctan + 1+
x
x
ax
x
→
??
??
??
存在，求a的值
（18）（本题满分10分）
设函数 ，
（1）求 的最小值；
（2）设数列 满足 证明： 存在并求此极限.
（19）（本题满分10分）
设数列 满足 ，
（1）证明 存在，并求该极限；
（2）计算 .
2
(1)
() lim
1
n
nx
fx
nx
→∞
?
=
+
()f x x =
?
3
0
12cos
lim 1
3
x
x
x
x
→
??
+??
?
??
??
??
??
x
xxf
1
ln)( +=
)(xf
{}
n
x .1
1
ln
1
<+
+n
n
x
x lim
n
n
x
→∞
{ }
n
x
11
0,sin(1,2)
nn
xx xnπ
+
<< = = ?
lim
n
n
x
→∞
2
1
1
lim
n
x
n
n
n
x
x
+
→∞
??
??
??
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