高数单元测试 2 答案解析：导数与微分
测试时间：100 分钟，满分 100 分
一、选择题：1 ? 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
f() x f ′ ( 0 ) > 0 , δ > 0
1、设函数 连续，且 则存在 ，使得( )
(A) f() x 在 (0 ,δ ) 内单调增加 (B)f() x 在 (?δ , 0 ) 内单调减少
(C)对任意的x ∈ ( 0 ,δ ) 有 f()xf > (0) (D)对任意的x ∈ (?δ , 0 ) 有f()xf > (0)
【答案】C
f (x ) ? f ( 0 )
′
f ( 0 ) = lim > 0
【详解】由导数的定义，知 ，
x→ 0
x
f (x ) ? f ( 0 )
x ∈ (?δ , 0 ) ? ( 0 ,δ ) > 0
根据保号性知，存在δ > 0 ，当 时，有 ，
x
x ∈ (?δ , 0 ) fxf 0
即当 时， () () ；而当 时，有 () () .故应选(C).
fx ()
f() x li m = 1
2、设函数 满足 ，则（ ）
x→ 1
ln x
（A） f (1) = 0 （B） li mfx ( ) = 0
x→ 1
′ ′
（C） f (1) = 1 （D） li mfx ( ) = 1
x→ 1
【答案】B
fx ()
【解析】 li mfx ( )=? li m lnx= 0 .
xx →→ 11
ln x
f() x x = 0
3、设函数 在 处连续，下列命题错误的是( )
．．
f() x f()xf +? (x )
f 00 = f 00 =
(A)若 li m 存在，则 () (B)若 li m 存在，则 ()
x→ 0 x→ 0
x x
f() x f()xf ?? (x )
li m f ′(0) li m f ′(0)
(C)若 存在，则 存在 (D)若 存在，则 存在
x→ 0 x→ 0
x x
【答案】D
0
【详解】(A)，(B)两项中分母的极限为 ，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f (0 ) = 0 .
1 / 6
f() x fx () ?f(0) f(x )
li m ff (0)== 0 , ′(0) l im = l im = 0
若 存在，则 ，可见(C)也正确，故应选(D).
x→ 0 xx →→ 00
x x ? 0 x
f()xf ?? (x ) xx ??
事实上，可举反例： f()xx = 在x = 0 处连续，且 li m = li m = 0 存在，
x→ 0 x→ 0
x
x
f()xx = x = 0
但 在 处不可导.
23
xfx? 2fx
() ()
f x x = 0 f 00 =
4、已知 () 在 处可导，且 () ，则 li m = ( )
3
x→ 0
x
′ ′ ′
?20 f ?f 0 f 0
(A) () (B) () (C) () (D) 0
【答案】B
23223
xfx ? 2fx xfx?? xf02fx+ 2f0
() () () () () ()
【详解】 li m = li m
3 3
x→ 0 x→ 0
x x
3
??
fx ?f 0
()
fx ?f 0 ()
() ()
=? li m?? 2 =? ff ′′ 020=?f′ 0
() () () ．
3
x→ 0
xx
??
??
故答案选(B)．
5、下列函数中，在x = 0 处不可导的是( )
(A) f()xx = s i nx (B) f()xx = sinx
(C) f()xx =c o s (D) f()xx =cos
【答案】D
f()xf ? (0)
′
【详解】由导数定义可得： f (0) = lim ；
x→ 0
x
xx sin
xx sin
选项 A： ′ ；选项 B： ；
f (0 )== lim 0
′
f (0)== l im 0
x→ 0
x→ 0
x
x
1 2
? x
co s x ? 1
选项 C： ；
2
′
f (0)== lim lim = 0
xx →→ 00
xx
1
? x
co s x ? 1
选项 D： 不存在，故选(D).
2
′
f (0)== lim lim
xx →→ 00
x x
1( +gx)
gx () ′′ g (1)
6、设函数 可微，hx ()== e ,h( 1 ) 1 ,g( 1 )= 2 ,则 等于( )
2 / 6
(A) ln 3 ? 1 (B)?? ln 3 1 (C)?? ln 2 1 (D) ln 2 ? 1
【答案】C
1( +g x)
x ′′ x = 1
【详解】两边对 求导hx () =g() xe ，再将 代入上式，
1
1( +g1 )
并由已知得到12 = e ，于是h(1)=? l n 1=? l n 2? 1 ，所以(C)为正确选项.
2
2
?
x=+ tt 2
yy = ()x yy = x x = 3 x
7、设函数 由参数方程 确定，则曲线 () 在 处的法线与 轴交点的横
?
yt =+ ln ( 1 )
?
坐标是( )
1 1
ln 2 + 3 ? ln 2 + 3 ? 8 ln 2 + 3 8 ln 2 + 3
(A) (B) (C) (D)
8 8
【答案】A
2
x = 3 t + 2t = 3 t = 1 ,t = ? 3 y
【详解】当 时，有 ，得 (舍去，此时 无意义)，于是
1
dy 1
1+t
== ，可见过点x = 3(此时 y = ln 2 )的法线方程 y ? ln 2 = ? 8 (x ? 3 ) ，
tt == 11
dx 22 t + 8
1
令 y = 0 ，得其与x 轴交点的横坐标为： ln 2 + 3 ，故应(A).
8
2 () n
8、已知函数 f()xx=? l n ( 1x ) ，当n ≥ 3 时，则 f (0 ) =（ ）
n ! n ! (2 n ?)! (2 n ?)!
（A） ? （B） （C）? （D）
n ? 2 n ? 2 n n
【答案】 （A）
n
∞
x 1
22
n
fx ()=? xl n ( 1x )=? x ?
【解析】 ，因此其泰勒展开中关于 的系数应为 ，
x
?
n n ? 2
n= 1
n !
?
因此易得答案为
n ? 2
2( nx ?1 )
xea ++xb
9、设函数fx () =l i m 可导，则（ ）
nx (1 ?)
n→∞
e + 1
(A) ab == 2, 1 (B) ab == 2, ? 1 (C) ab =? 2, = 1 (D) ab =? 2, =? 1
【答案】B
3 / 6
10、设函数yf = ()x 在x 点处可导，ΔΔ x , y 分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且
0
dy?Δy
′
fx () ≠0 ，则 li m =( )
0
?x→ 0
Δy
(A) ? 1 (B) 1 (C) 0 (D)∞
【答案】(C)
Δy
fx ′() ?
0
′′′
dy?Δy f () x dx?Δy f () x ?f () x
00 Δx0
【解析】 li m== li m li m == 0 .
Δ→xx 00 ? → Δx →0
Δy
′
ΔΔ yy f ()x
0
Δx
二、填空题：11 ? 15 小题，每小题 4 分，共 20 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
dy
? x
11、若 ，则 ________
y = co se =
x= 1
dx
? 1
sine
【答案】
2e
? 1
1sin e
?? xx
′
ye =? sin ?e ? (? ) =
xx == 11
【解析】
2e
2 x
4
yf = x yf = x (1, 1)
12、设函数 () 由方程xy + 2 lnx = y 所确定，则曲线 () 在点 处的切线方程是
___________.
x ? y = 0 .
【答案】
2
3
4
x y + xy′ + = 4y y′
【详解】等式xy + 2 lnx = y 两边直接对 求导，得： ，
x
′
x== 1, y 1 y ( 1 ) = 1 . (1, 1)
将 代入上式，有 故过点 处的切线方程为
y ? 1 = 1? (x ? 1 ) x ? y = 0 .
，即
23
′′
yy = ()x y (1) =
13、已知函数 由方程xx ++ yy= 3 确定，则 ________
31
?
【答案】
32
2
y(1) = 1
【解析】令x = 1，代入可得 [yy (1)?+ 1] [ (1)y (1)+ 2 ]= 0 ，解得
4 / 6
3
2
′′ ′
对隐函数两边同时求导：23 xy ++xy+yy=0 ，解得 y (1) =?
4
31
22
′′
再对上式两边同时求导： ′′′ ′ ′′，解得 y (1) =?
22 +++ yxy6y (y )+ 3yy= 0
32
t
2
?
xe =+ 21 t+
? dy
14、设函数yy = x 由参数方程 确定，则 = ________
()
?
t 2 2
yt =? 41 ()e+t dx
?
? t= 0
2
【答案】
3
t
dy dy dt 42 te + t
【解析】由参数方程求导公式和链式法则得：=== 2t ，
t
dx dx dt 21 e +
2
2
dy ddy d d dt 2 dy 2
，所以 =
== () (2tt )= (2)?=
2 t 2
dx dx dx dx dt dx 21 e + dx 3
t= 0
1
n
y 0
15、设函数 y = ，则 ()= ________.
23 x +
12
nn
【答案】 (1 ? )n! ().
33
? 1 ?? 223
′′′
【详解】， yx =+ (2 3 ) ,yx =? 1? 2(2 + 3 ) ,y =? 1? (? 2)? 2 (2x + 3 )
12
nn
()nnn??n 1 () n
一般地，yn =? (1 ) !?2(2x +3 ) ，从而 y (0) = (1 ? )n! ().
33
三、解答题：16 ? 19 小题，每小题 10 分，共 40 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
y? 1
f() u f ′(0) = 1 yy = ()x
16、已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方程yx?= e 1 所确定，设
2
dz d z
zf=? (l ny s inx )
，求 ,.
xx == 00
2
dx dx
′
dz y
【详解】=? f ′ (lnyx s i n )? (? co sx ) ，
dx y
22
dz y′′ y′ y ?y′
2
′′ ′
=? f (c ?o sxf )+?( +s inx )
，
22
dx y y
y? 1
x = 0
在yx?= e 1 中，令 得 y = 1 .
y? 1 yy ?? 11
x
而由 两边对 求导得′′ .
yx?= e 1 ye ?? xey= 0
yy ?? 11y?12y?1
x
再对 求导得 ′′ ′ ′ ′ ′′ ，
ye??? yeyxey? xey= 0
5 / 6
′′′
x = 0 y = 1 yy (0)== 1 , ( 0) 2.
将 ， 代入上面两式得
2
dz
dz
′
=? f (0) (0 0)= 0 , ′
故 =? f (0) ( 2? 1 )= 1.
x= 0
x= 0
2
dx
dx
y
′′
17、设函数yy = x 由方程ex += ye 所确定，求 y 0 .
() ()
y
x ′′
【解析】将已知方程两边对 求导，得ey++ yxy= 0 ， ①
2
y
′′
ey + 2y
()
yy 2
x ′ ′′′′′′ ′′
在①式中再两边对 求导，得ey ()+ey+++ yyxy= 0 ，故 y =? ②
y
ex +
1
y
x = 0 x== 0, y 1 y′ 0 =?
将 代入原方程，得ee = ?y = 1 ，将 代入①式，得 () ，
e
12
2
() ?? e
1
ee
′′
再将它们代入②式，得 y () 0 =? = .
2
ee
x
?
ln ( 1++ 3xa ) 2e , x> 0
?
18、求常数ab , ，使得fx () = 在x = 0 处可导.
?
2x
2
5a r c ta n ++ 3bx ( 1 ) ,x≤ 0
?
? 1? x
【解析】因为 在x = 0 处可导，所以有ff ′′ (0) = (0) ，且 在x = 0 处连续，
f() x f() x
+?
则有 li m f (xa )== 2 f ( 0 )= 3b (1)
+
x→ 0
x
f() x?+ f(0) l n( 13 x)+ 2 ae? 2 a 3
x
而 f ′ (0)== l im l im = l im (+ 2ae )= 3+ 2a
+
+++
xx →→ 00x →0
xx 13 +x
2x
2
5a r c ta n ++ 3bx ( 1 )? 3b
fx () ?f(0)
1?x
′
f (0)== l im l im
?
??
xx →→ 00
xx
10
=+ li m [ 6bx ( 1+ ) ]= 1 0+ 6b 所以有32 +=ab 1 0+ 6 (2)
? 22
x→ 0
(1?+ xx ) 4
77
综合(1)(2)可得ab =? , =? .
23
′ ′
19、若函数 f() x 对任意实数x ,x 有 f() xx +=f( x) f( x) ，且 f (0 ) = 1，证明： f ()xf = ()x
12 12 12
【解析】
6 / 6
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