2 0 2 1 插 班 生 微 积 分 测 试 题
一 、 选 择 题 ： 1 ～ 3 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 1 2 0 分 ， 下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项 符 合 题
目 要 求 ， 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 ．
2
x
3
t 7
（1 ） 当 x ? 0 时 ， ( e ?1) dt 是 x 的 （ ）
?
0
（A ） 低 阶 无 穷 小 （B ） 等 价 无 穷 小 （C ） 高 阶 无 穷 小 （D ） 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小
?
（2 ） 当 x ? 0 时 ， 下 列 无 穷 小 中 最 高 阶 的 是 （ ）
x x sin x 1 ?cos x
2
t 3 2 3
（A ） ( e ?1) d t （B ） ln(1 ? t ) d t （C ） sin t d t （D ） sin t d t
? ? ? ?
0 0 0 0
k
（3 ） 当 x ? 0 时 ， 若 x ? tan x 与 是 同 阶 无 穷 小 ， 则 （ ）
x k ?
（A ） （B ） （C ） （D ）
1 2 3 4
f ( x) ? a sin f ( x) ? sin a
（4 ） 设 lim ? b ， 则 lim ? （ （ ）
x ? a x ? a
x ? a x ? a
（A ） bsin a （B ） bcos a （C ） b sin f ( a) （D ） b cos f ( a)
1
x ?1
e ln 1 ? x
（5 ） 函 数 f ( x) ? 的 第 二 类 间 断 点 的 个 数 为 （ ）
x
( e ?1)( x ? 2)
（A ） （B ） （C ） （D ）
1 2 4
3
f x f x f ? x ? 0
（ ） 设 函 数 ? ? 可 导 ， 且 ? ? ? ? ， 则 （ ）
6
f 1 ? f ?1 f 1 ? f ?1
（A ） ? ? ? ? （B ） ? ? ? ? （C ） f 1 ? f ?1 （D ） f 1 ? f ?1
? ? ? ? ? ? ? ?
（7 ） 设 函 数 在 区 间 内 有 定 义 ， 且 lim f ( x) ? 0 ， 则 （ ）
f ( x) ( ?1,1)
x ?0
f ( x)
（A ） 当 lim ? 0 时 ， 在 x ?0 处 可 导
f ( x)
x ?0
x
f ( x)
（B ） 当 时 ， 在 x ?0 处 可 导
lim ? 0 f ( x)
2
x ?0
x
f ( x)
（C ） 当 f ( x) 在 x ?0 处 可 导 时 ， lim ? 0
x ?0
x
f ( x)
（D ） 当 f ( x) 在 x ?0 处 可 导 时 ，
lim ? 0
2
x ?0
x
1
f ( x) [0,1]
（8 ） 设 函 数 在 上 二 阶 可 导 ， 且 f ( x) d x ? 0 ， 则 （ ）
?
0
1 / 2 01 1
? ? ?
f ( x) ? 0 f ( ) ? 0 f ( x) ? 0 f ( ) ? 0
（A ） 当 时 ， （B ） 当 时 ，
2 2
1 1
f ?( x) ? 0 f ? ?( x) ? 0
（C ） 当 时 ， f ( ) ? 0 （D ） 当 时 ， f ( ) ? 0
2 2
?
（9 ） 设 函 数 f ( x) 在 区 间[ ?2, 2] 上 可 导 ， 且 f ( x) ? f ( x) ? 0 ， 则 （ ）
f ( ?2) f (0) f (1) f (2)
2 3
?1 ? e ? e ? e
f ( ?1) f ( ?1) f ( ?1) f ( ?1)
（A ） （B ） （C ） （D ）
b
（10 ） 设 函 数 f x ? ax ? b ln x a ? 0 有 2 个 零 点 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ）
? ? ? ?
a
1 1
? ? ? ?
（A ） e, ? ? （B ） 0, e （C ） 0, （D ） , ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
e e
? ? ? ?
sin x
2 3
（11 ） 设 函 数 f x ? 在 x ? 0 处 的 3 次 泰 勒 多 项 式 为 ax ? bx ? c x ， 则 （ ）
? ?
2
1 ? x
7 7
（A ） a ?1, b ? 0, c ? ? （B ） a ?1, b ? 0, c ?
6 6
7 7
（C ） a ? ?1, b ? ?1, c ? ? （D ） a ? ?1, b ? ?1, c ?
6 6
x, x ? 0
?
?
f ( x) ?
（12 ） 已 知 函 数 则 （ ）
?1 1 1
, ? x ? , n ?1,2, ?
?
? n n ?1 n
f ( x) f ( x)
（A ） x ?0 是 的 第 一 类 间 断 点 （B ） x ?0 是 的 第 二 类 间 断 点
f ( x) f ( x)
（C ） 在 x ?0 处 连 续 但 不 可 导 （D ） 在 x ?0 处 可 导.
y ? f ( x) ( ? ?, ? ?)
（13 ） 设 函 数 在 内 连 续 ， 其 导 函 数 的 图 形 如 图 所 示 ， 则 （ ）
f ( x) y ? f ( x)
（A ） 函 数 有 2 个 极 值 点 ， 曲 线 有 2 个 拐 点
f ( x) y ? f ( x)
（B ） 函 数 有 2 个 极 值 点 ， 曲 线 有 3 个 拐 点
（C ） 函 数 f ( x) 有 3 个 极 值 点 ， 曲 线 y ? f ( x) 有 1 个 拐 点
f ( x) y ? f ( x)
（D ） 函 数 有 3 个 极 值 点 ， 曲 线 有 2 个 拐 点
2 / 2 0? ?
（14 ） 设 函 数 f ( x)( i ?1, 2) 具 有 二 阶 连 续 导 数 且 f ( x ) ? 0( i ?1,2) ， 若 两 条 曲 线 y ? f ( x)( i ? 1,2) 在
i i 0 i
y ? g( x)
点 ( x , y ) 处 具 有 公 切 线 ， 且 在 该 点 处 曲 线 y ? f ( x) 的 曲 率 大 于 曲 线 y ? f ( x) 的 曲 率 ， 则 在 x
0 0 1 2 0
的 某 个 领 域 内 有 （ ）
f ( x) ? f ( x) ? g( x) f ( x) ? f ( x) ? g( x)
（A ） （B ）
1 2 2 1
f ( x) ? g( x) ? f ( x) f ( x) ? g( x) ? f ( x)
（C ） （D ）
1 2 2 1
2 ( n)
（ ） 已 知 函 数 ， 当 n ? 3 时 ， 则 （ ）
15 f ( x) ? x ln(1 ? x) f (0) ?
n! n! ( n ? 2)! ( n ? 2)!
（A ） ? （B ） （C ） ? （D ）
n ? 2 n ? 2 n n
C( Q) Q
Q
（16 ） 设 某 产 品 的 成 本 函 数 可 导 ， 其 中 为 产 量 ， 若 产 量 为 时 平 均 成 本 最 小 ， 则 （ ）
0
? ?
（A ） C ( Q ) ? 0 （B ） C ( Q ) ? C( Q )
0 0 0
（C ） ? （D ） ?
C ( Q ) ? Q C( Q ) Q C ( Q ) ? C( Q )
0 0 0 0 0 0
2( x ?1), x ?1
?
f ( x) ? f ( x)
（17 ） 已 知 函 数 ， 则 的 一 个 原 函 数 是 （ ）
?
ln x, x ?1
?
2 2
? ?
( x ?1) , x ? 1 ( x ?1) , x ?1
F ( x) ? F( x) ?
（A ） （B ）
? ?
x(ln x ?1), x ? 1 x(ln x ?1) ?1, x ?1
? ?
2 2
? ?
( x ?1) , x ?1 ( x ?1) , x ?1
（C ） F( x) ? （D ） F( x) ?
? ?
x(ln x ?1) ?1, x ?1 x(ln x ?1) ?1, x ?1
? ?
（18 ） 设 奇 函 数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ?) 上 具 有 连 续 导 数 ， 则 （ ）
x x
（A ） [cos f ( t) ? f ?( t)] d t 是 奇 函 数 （B ） [cos f ( t) ? f ?( t)] d t 是 偶 函 数
? ?
0 0
x x
? ?
（C ） [cos f ( t) ? f ( t)] d t 是 奇 函 数 （D ） [cos f ( t) ? f ( t)] d t 是 偶 函 数
? ?
0 0
? 2 ? ?
(1 ? x) 1 ? x
2 2 2
M ? d x N ? d x K ? (1 ? cos x ) dx
（19 ） 设 ， ， ， 则 （ ）
? ? ?
2 x
? ? ?
? ? ?
1 ? x e
2 2 2
M ? N ? K M ? K ? N K ? M ? N K ? N ? M
（A ） （B ） （C ） （D ）
1 1
0 + ?
1 1
x x
① e d x ② e d x
（20 ） 反 常 积 分 ， 的 敛 散 性 为 （ ）
? 2 ? 2
? ? 0
x x
（A ） ① 收 敛 ， ② 收 敛. （B ） ① 收 敛 ， ② 发 散.
（C ） ① 发 散 ， ② 收 敛. （D ） ① 发 散 ， ② 发 散.
? ?
1
d x
（21 ） 若 反 常 积 分 收 敛 ， 则 （ ）
? a b
0
x (1 ? x)
（A ） 且 （B ） 且 （C ） 且 （D ） 且 .
a ?1 b ?1 a ?1 b ?1 a ?1 a ? b ?1 a ?1 a ? b ?1
3 / 2 0? x x
x
? ? ?
（22 ） 已 知 微 分 方 程 y ? a y ? b y ? c e 的 通 解 为 y ?( C ? C x) e ? e ， 则 a, b, c 依 次 为 （ ）
1 2
（A ）1, 0,1 （B ）1, 0, 2 （C ） 2,1, 3 （D ） 2,1, 4
2 2 2 2 2 2
y ? (1 ? x ) ? 1 ? x y ? (1 ? x ) ? 1 ? x y ? ? p( x) y ? q( x)
（23 ） 若 ， 是 微 分 方 程 的 两 个 解 ，
1 2
q( x) ?
则 （ ）
x x
2 2
?
（A ） 3 x(1 ? x ) （B ） ?3 x(1 ? x ) （C ） （D ） .
2 2
1 ? x 1 ? x
2
x 2 2
（24 ） 设 函 数 f x, y 可 微 ， 且 则 df 1,1 ?
? ? f x+1 ， e ? x x ?1 , f x, x ? 2 x ln x, ? ?
? ?
? ? ? ?
（ ）
（A ） d x ? d y （B ） d x ? d y （C ） d y （D ） ? d y
? ? ?
?
? f ? f
（25 ） 设 函 数 在 点 处 可 微 ， ， n ? ( , , ?1) 非 零 向 量 ? 与 n 垂 直 ， 则
f ( x, y) (0,0) f (0, 0) ? 0
? x ? y
(0,0)
（ ）
? ?
n ? ( x, y, f ( x, y)) n ? ( x, y, f ( x, y))
（A ） 存 在 （B ） 存 在
lim ? 0 lim ? 0
2 2 2 2
( x, y ) ?(0,0) ( x, y ) ?(0,0)
x ? y x ? y
? ? ? ?
? ? ( x, y, f ( x, y)) ? ? ( x, y, f ( x, y))
（C ） 存 在 （D ） 存 在
lim ? 0 lim ? 0
( x, y ) ?(0,0) 2 2 ( x, y) ?(0,0) 2 2
x ? y x ? y
2 2 2 2
?
I ? x ? y d x d y I ? sin x ? y d x d y
（26 ） 已 知 积 分 区 域 D ? {( x, y) x ? y ? } ， 1 ， 2 ，
? ? ? ?
2
D D
2 2
I ? (1 ? cos x ? y ) d x d y
3 ， 试 比 较 I , I , I 的 大 小 （ ）
? ?
1 2 3
D
I ? I ? I I ? I ? I I ? I ? I I ? I ? I
（A ） （B ） （C ） （D ）
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1
? ?
v
n
n u
（27 ） 若 绝 对 收 敛 ， 条 件 收 敛 ， 则 （ ）
? ?
n
n
n ?1 n ?1
? ? ?
?
u v u v ( u ? v )
（A ） 条 件 收 敛 （B ） 绝 对 收 敛 （C ） 收 敛 （D ） ( u ? v ) 发 散
? ? n n ? ?
n n n n n n
n ?1
n ?1 n ?1 n ?1
? ?
n 2 n
（28 ） 设 幂 级 数 n a ( x ? 2) 的 收 敛 区 间 为 ( ?2, 6) ， 则 a ( x ?1) 的 收 敛 区 间 为 （ ）
? ?
n n
n ?1 n ?1
（A ） （B ） （C ） （D ）
( ?2, 6) ( ?3,1) ( ?5,3) ( ?17,15)
?
2 n ? 3
n
（29 ） ( ?1) ? （ ）
?
(2 n ?1)!
n ?0
（A ）sin1 ? cos1 （B ） 2sin1 ? cos1 （C ） 2sin1 ? 2cos1 （D ） 3sin1 ? 2cos1
4 / 2 0x
Q( x, y) ? y ? 0
（30 ） 设 函 数 ， 如 果 对 上 半 平 面 （ ） 内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有
2
y
P( x, y) dx ? Q( x, y) dy ? 0
P( x, y)
， 那 么 函 数 可 取 为 （ ）
? ?
C
2 2
1 1 1
x 1 x
（A ） （B ） （C ） （D ）
? x ?
y ? ?
3 3
y y y x y y
二 、 填 空 题 ： 1 ～ 5 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 0 0 分 ， 请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 ．
1
1 ? tan x
sin k x
（1 ） ， 则 k ? ___________.
lim( ) ? e
x ?0
1 ? tan x
x
t ln(1 ? t sin t) d t
?
0
（2 ） lim ? ________
2
x ?0
1 ? cos x
1 1
lim[ ? ] ?
（3 ） ________
x
x ?0
e ?1 ln(1 ? x)
n
? 1 1 1 ?
（4 ） lim ? ? ? ? ? ________
? ?
n ? ?
1 ?2 2 ?3 n( n ?1)
? ?
1 1 2 n
（5 ） 极 限 lim (sin ? 2sin ? ? ? nsin ) ? ____________.
2
n ? ?
n n n n
1 ? f ( x)sin 2 x ?1
lim f ( x) ?
f ( x)
（6 ） 已 知 函 数 满 足 ， 则 _________.
lim ? 2
x ?0
3 x
x ?0
e ?1
2
2
?
x ? t ?1
d y
?
（7 ） 设 ， 则 ? ______.
?
2
2
d x
? y ? ln( t ? t ?1) t ?1
?
2 x y
x ? y ? e ? 0
（8 ） 曲 线 在 点 (0, ?1) 处 的 切 线 方 程 为________
x ? t ? sin t
?
3
y
（9 ） 曲 线 在 对 应 点 处 切 线 在 轴 的 截 距 为________
t ? ?
?
y ? 1 ? cos t
2
?
2
lim x [arctan( x ? 1) ? arctan x] ?
（10 ） ___________.
x ? ? ?
3
?
x ? cos t
?
?
t ?
（11 ） 曲 线 在 对 应 点 处 的 曲 率 为___________.
?
3
4
y ? sin t
?
?
? 3 ?
（12 ） 曲 线 y ? x sin x ? 2 cos x ( ? ? x ? ) 的 拐 点 坐 标 为________
2 2
x
? ? ?
（13 ） 设 函 数 ， 且 f (0) ? 1 ， 则 a ? ________.
f ( x) ? arctan x ?
2
1 ? a x
1
(3)
f ( x) ?
（14 ） 已 知 函 数 ， 则 f (0) ? ________
2
1 ? x
5 / 2 03
x
2
（15 ） 曲 线 y ? ? arctan(1 ? x ) 的 斜 渐 近 线 方 程 为___________.
2
1 ? x
（16 ） 设 某 厂 家 某 产 品 的 产 量 为 ， 成 本 ， 设 产 品 的 单 价 为 p ， 需 求 量
Q C( Q) ? 100 ?13 Q
800
Q( p) ? ? 2
. 则 该 厂 家 取 得 最 大 利 润 时 的 产 量 为________
p ? 3
? Q
Q
（17 ） 设 生 产 某 产 品 的 平 均 成 本 ， 其 中 为 产 量 ， 则 边 际 成 本 为________
C( Q) ?1 ? e
x 2 x
（18 ） e arcsin 1 ? e d x ? ___________.
?
?
3 2 2
（19 ） (sin x ? ? ? x ) d x ? _________
?
? ?
1
x
y ? f ( x) (0,0) (1, 2)
（20 ） 的 图 像 过 ， 且 与 相 切 于 ， 则 ? ? ________
y ? 2 x f ( x) d x ?
?
0
? ?
1
（21 ） ___________.
d x ?
2
?
5
x ? 4 x ? 3
5
x
（22 ） d x= ________
?
5
2
x ? 9
? ? 2
? x
（23 ） x 3 d x ? ________
?
? ?
（24 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线 y ? x sin ? x （0≤ x ≤1 ） 与 x 轴 围 成 ， 则 D 绕 x 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体
积 为_________
x 1
（25 ） 设 平 面 区 域 D ? {( x, y) ? y ? ,0 ? x ? 1} ， 则 D 绕 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 为
y
2
2 1 ? x
________
（26 ） 斜 边 长 为 2 a 的 等 腰 直 角 三 角 形 平 板 铅 直 地 沉 没 在 水 中 ， 且 斜 边 与 水 面 相 齐 ， 设 重 力 加 速 度 为 g ，
水 的 密 度 为 ? ， 则 该 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 为________
?
（27 ） 设 函 数 y ? ln cos x (0 ? x ? ) 的 弧 长 为 ________
6
2
1
x
sin t
（28 ） 已 知 函 数 f ( x) ? x d t ， 则 f ( x) d x ? ________
?
?
0
1
t
x 1
4 2
（29 ） 已 知 ， 则 ________
f ( x) ? 1 ? t d t x f ( x) d x ?
? ?
1 0
? ?
y ? y( x) y ? ? ? 2 y ? ? y ? 0 y(0) ? 0, y ?(0) ? 1 y( x) d x ?
（30 ） 设 满 足 ， 且 ， 则 ________
?
0
（31 ） 若 函 数 f ( x) 满 足 f ? ?( x) ? a f ?( x) ? f ( x) ? 0 ( a ?0 ) ， 且 f (0) ? m ， f ?(0) ? n ， 则
? ?
f ( x) d x ?
________
?
0
6 / 2 0y ?
y ? ? ? 2 y ? ? 3 y ? 0
（32 ） 微 分 方 程 的 通 解 为 ___________.
? ? ?
（33 ） 微 分 方 程 y ? y ? 0 的 通 解 y ? _______
2
? ? ?
（34 ） 欧 拉 方 程 x y ? x y ? 4 y ? 0 满 足 条 件 y 1 ?1 ， y ? 1 ? 2 的 解 为 y ? ________
? ? ? ?
2
? y ? y ? 5
（35 ） 差 分 方 程 的 解 为___________.
x x
t
y ? 2 y ? 2 y ?
（36 ） 差 分 方 程 的 通 解 ___________.
t ?1 t t
y y
f ( x, y)
（37 ） 设 函 数 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 ， 则
df ( x, y) ? y e dx ? x(1 ? y) e dy, f (0,0) ? 0
f ( x, y) ?
___________.
2 2
f ( u, v) z ? z( x, y)
（38 ） 设 函 数 可 微 ， 由 方 程 ( x ?1) z ? y ? x f ( x ? z, y) 确 定 ， 则
d z | ?
__________.
(0,1)
2
x y
2
x t ? f
（39 ） 设 函 数 f ( x, y) ? e d t ， 则 ________
?
?
0
? x ? y
(1,1)
（40 ） 设 z ? arctan[ x y ? sin( x ? y)] ， 则 d z ? ________
(0, ? )
? z
( x ?1) z ? y ln z ? arctan(2 x y) ?1
（41 ） 设 函 数 z ? （ z x, y ） 由 方 程 确 定 ， 则 ? _______
? x
(0,2)
2
2 ? y
x e dx dy ?
D ? {( x, y) || x | ? y ? 1, ?1 ? x ? 1}
（42 ） 设 ， 则 ___________
? ?
D
1 1
3
d y x ?1 d x ?
（43 ） ________
? ?
0 y
2
t t
x ?
?
（44 ） 已 知 函 数 f ( t) ? dx sin dy ， 则 f ( ) ? _______
? ?
1 x
y 2
n
?
( ?1)
n
x (0, ? ?) S( x) ? ________
（45 ） 幂 级 数 在 内 的 和 函 数 .
?
(2 n)!
n ?0
?
n ?1
n ?1
?1 n x ( ?1,1)
（46 ） 幂 级 数 ? ? 在 区 间 内 的 和 函 数 S( x) ? ________
?
n ?1
2 2
2 2 2
4 ? x ? 4 z d x d y ? ________
（47 ） 设 为 曲 面 x ? y ? 4 z ? 4( z ? 0) 的 上 侧 ， 则 ? ? .
?
?
2 2 2 x y ds ?
x ? y ? z ? 0
（48 ） 曲 线 由 x ? y ? z ?1 与 相 交 而 成 ， 则 ? ? ________
S
S
?
x dx ? ay dy
2 2
D ? x, y x ? y ? 1 a ?
（49 ） 若 曲 线 积 分 在 区 域 ? ? 内 与 路 径 无 关 ， 则 ________
? ?
2 2
?
x ? y ?1
L
A( x, y, z) ? ( x ? y ? z) i ? x y j ? z k
（50 ） 向 量 场 的 旋 度 r ot A ? ________
7 / 2 0三 、 解 答 题 ： 1 ～ 7 0 小 题 ， 每 小 题 1 0 分 ， 共 7 0 0 分 . 请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 的 位 置 上 . 解 答 应 写 出 文 字
说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .
（ 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x 2
t
1 ? e dt
1
?
0
求 极 限 lim( ? )
x
x ?0
e ?1 sin x
（ 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
? 1 ?
x
已 知 lim aarctan + 1+ x 存 在 ， 求 的 值
a
? ?
? ?
x ?0
x
? ?
（ 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 b
n
a, b (1 ? ) ? e a b
已 知 为 常 数 ， 若 与 在 n ? ? 时 是 等 价 无 穷 小 ， 求 和 .
a
n n
（ 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x x
n ?1 n
{ x }
设 数 列{ x } 满 足 ： x ? 0, x e ? e ?1( n ?1,2, ?) ， 证 明 收 敛 ， 并 求 lim x .
n
n 1 n n
n ? ?
（ 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x 0 ? x ? ? , x ? sin x ( n ?1,2, ?)
设 数 列 ? ? 满 足 ，
n 1 n ?1 n
（1 ） 证 明 lim x 存 在 ， 并 求 该 极 限 ；
n
n ? ?
1
2
x
? ? n
x
n ?1
（2 ） 计 算 lim .
? ?
n ? ?
x
? n ?
（ 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
x
a, b lim [( a x ? b) e ? x] ? 2 a, b
已 知 常 数 满 足 ， 求
x ? ? ?
（ 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
4
x
求 极 限 。
lim(cos 2 x ? 2 xsin x)
x ?0
（ 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x
t
x ? t e d t
?
0
求
lim
+
3
x ?0
x
（ 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
n
k k
? ?
lim ln 1 ?
求
? ? ?
2
n ? k
n n
? ?
k ?1
（ 1 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
8 / 2 01
f ( x)
f ( x) g ?( x) g ?( x) x ? 0
已 知 函 数 连 续 且 lim ?1, g( x) ? f ( x t) d t ， 求 并 证 明 在 处 连 续.
?
x ?0 0
x
（ 1 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 x
?
x , x ? 0
?
f ( x) ?
? ?
已 知 ， 求 f ( x) ， 并 求 f ( x) 的 极 值 。
x
x e ?1, x ? 0
?
?
（ 1 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 ? x
x
y ? ( x ? 0)
求 曲 线 的 斜 渐 近 线 方 程.
x
(1 ? x)
（ 1 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x x
已 知 函 数 f ( x) ? ， 求 曲 线 y ? f ( x) 的 凹 凸 区 间 及 渐 近 线
1 ? x
（ 1 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
p
p
Q ? Q( p) ? ? ( ? ? 0)
设 某 商 品 的 最 大 需 求 量 为 1200 件 ， 该 商 品 的 需 求 函 数 ， 需 求 弹 性 ， 为
120 ? p
单 价 （ 万 元 ） 。
（1 ） 求 需 求 函 数 的 表 达 式 ；
p ?100
（2 ） 求 万 元 时 的 边 际 效 益 ， 并 说 明 其 经 济 意 义 。
（ 1 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
f ( x)
f ( x) 在 0,1 上 具 有 2 阶 导 数 ， f (1) ? 0, lim ? 0
? ?
?
x ?0
x
f ( x) ? 0 (0,1)
证 明 ： （1 ） 方 程 在 区 间 至 少 存 在 一 个 根 ；
2
f ( x) f ? ?( x) ? f ?( x) ? 0 (0,1)
（2 ） 方 程 ? ? 在 区 间 内 至 少 存 在 两 个 不 同 的 实 根
（ 1 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x
2
t
f ( x) ? e d t
设 函 数 .
?
1
2
?
? ? (1, 2) f ( ?) ? (2 ? ?) e
（1 ） 证 明 ： 存 在 ， 使 得 ；
2
?
? ? (1, 2) f (2) ? ln 2 ? ? e
（2 ） 证 明 ： 存 在 ， 使 得
（ 1 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
[0,1]
已 知 函 数 f ( x) 在 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 f (0) ? 0 ， f (1) ?1 ， f ( x) d x ?1 ， 证 明 ：
?
0
? ?(0,1) ?
（1 ） 存 在 ， 使 得 f ( ?) ? 0 ；
? ? (0,1) ? ?
（2 ） 存 在 ， 使 得 f ( ?) ? ?2 .
（ 1 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
9 / 2 01 1
? ? k
0,1
已 知 方 程 在 区 间 ? ? 内 有 实 根 ， 确 定 常 数 k 的 取 值 范 围
ln 1 ? x x
? ?
（ 1 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
k ? ln2 ?1 ( x ?1)( x ?ln x ?2 kln x ?1) ? 0 x ? 0
已 知 常 数 ， 证 明 ： ， .
（ 2 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 x x
求 不 定 积 分 e arctan e ?1 d x .
?
（ 2 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3 x ? 6
d x
求 不 定 积 分 .
? 2 2
( x ?1) ( x ? x ?1)
（ 2 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
2 2
?
设 函 数 f ( x) ? t ? x d t( x ? 0) ， 求 f ( x) 并 求 f ( x) 的 最 小 值
?
0
（ 2 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3
? x ? cos t
? ?
? ?
2
x
0 ? t ?
设 D 是 由 曲 线 与 围 成 的 平 面 区 域 ， 求 D 绕 轴 旋 转 一
y ? 1 ? x (0 ? x ? 1) ?
? ?
3
2
y ? sin t ? ?
?
?
周 所 得 旋 转 体 的 体 积 和 表 面 积 。
（ 2 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3 ? 3 ? cos x
f ( x) f (0) ? 0
已 知 在[0, ] 上 连 续 ， 在 (0, ) 内 是 函 数 的 一 个 原 函 数 。
2 2 2 x ? 3 ?
3 ?
f ( x) [0, ]
（1 ） 求 在 区 间 上 的 平 均 值 ；
2
3 ?
f ( x)
（2 ） 证 明 在 区 间 (0, ) 内 存 在 唯 一 零 点 。
2
（ 2 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
f ( x) 1
2
设 函 数 f ( x) 满 足 dx ? x ? x ? C ， L 为 曲 线 y ? f ( x)(4 ? x ? 9) ， 记 L 的 长 度 为 S ， L 绕 x
?
6
x
轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 曲 面 面 积 为 ， 求 和 .
A S A
（ 2 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
1 x ? 2 x
2
2 f ( x) ? x f ( ) ?
设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0, ? ?) 且 满 足 ， 求 f ( x) ， 并 求 曲 线 y ? f ( x) ，
2
x
1 ? x
1 3
y x
y ? ， y ? 及 轴 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积
2 2
（ 2 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 0 / 2 0? x
求 曲 线 y ? e sin x( x ? 0) 与 x 轴 之 间 图 形 的 面 积.
（ 2 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
n 2
设 a ? x 1 ? x d x ( n ? 0,1,2, ?) .
n
?
0
n ?1
（1 ） 证 明 ：{ a } 单 调 递 减 ， 且 a ? a ( n ? 2,3, ?) ；
n n n ?2
n ? 2
a
n
lim
（2 ） 求 .
n ? ?
a
n ?1
（ 2 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
? ? ?
设 函 数 y( x) 满 足 方 程 y ? 2 y ? k y ? 0 ， 其 中 0 ? k ?1.
? ?
（ ） 证 明 ： 反 常 积 分 y( x) d x 收 敛 ；
1
?
0
? ?
y(0) ? 1 ?
（2 ） 若 ， y (0) ?1 ， 求 y( x) d x 的 值.
?
0
（ 3 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x x
2
f ( x)
已 知 连 续 函 数 满 足 f ( t) d t ? t f ( x ? t) d t ? a x
? ?
0 0
f ( x)
（1 ） 求 ；
f ( x) [0,1] a
（2 ） 若 在 区 间 上 的 平 均 值 为 1 ， 求 的 值.
（ 3 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x x
? x
f ( x) f ( x)
设 函 数 连 续 ， 且 满 足 f ( x ? t)d t ? ( x ? t) f ( t)d t ? e ?1 ， 求 。
? ?
0 0
（ 3 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x x
? ? ?
y ( x) ? e y ( x) ? u( x) e (2 x ?1) y ? (2 x ?1) y ? 2 y ? 0 u( ?1) ? e
已 知 ， 是 二 阶 微 分 方 程 的 解 ， 若 ，
1 2
u(0) ? ?1 u( x)
， 求 ， 并 写 出 该 微 分 方 程 的 通 解 。
（ 3 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
x
1
2
?
y ? x y ? e
y(1) ? e
已 知 y( x) 满 足 微 分 方 程 ， 且 有 .
2 x
y( x)
（1 ） 求 ；
x
（ ） D ? {( x, y) 1 ? x ? 2,0 ? y ? y( x)} ， 求 平 面 区 域 绕 轴 旋 转 成 的 旋 转 体 体 积
2 D .
（ 3 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
x
?
2
?
y ? x y ? e
y ? f ( x) y(0) ? 0
设 函 数 是 微 分 方 程 满 足 条 件 的 特 解 。
y ? f ( x)
（1 ） 求 ；
1 1 / 2 0y ? y( x)
（2 ） 求 曲 线 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 。
（ 3 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
设 y ? y( x)( x ? 0) 是 微 分 方 程 x y ? ? 6 y ? ?6 ， 满 足 y( 3) ?10 的 解
y( x)
（1 ） 求
y
y ? y( x) y ? y( x) I I
（2 ） 设 为 曲 线 上 一 点 ， 记 曲 线 在 点 的 法 线 在 轴 上 截 距 为 ， 当 最 小 时 ，
P P
P P
求 点 的 坐 标.
P
（ 3 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
4
2
P L A P
已 知 曲 线 ， 点 O(0, 0) ， 点 A(0,1) ， 设 是 上 的 动 点 ， S 是 直 线 O A 与 直 线
L : y ? x ( x ? 0)
9
L P x S t
及 曲 线 所 围 成 图 形 的 面 积 ， 若 运 动 到 点 (3, 4) 时 沿 轴 正 向 的 速 度 是 4 ， 求 此 时 关 于 时 间 的 变 化
率.
（ 3 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
( x ?1) + y
求 函 数 f ( x, y) ? 2ln x + 的 极 值
2
2 x
（ 3 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3 3
求 函 数 f ( x, y) ? x ?8 y ? x y 的 极 值.
（ 3 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3 3
y x y x
已 知 函 数 ? ? 由 方 程 x ? y ? 3 x ? 3 y ? 2 ? 0 确 定 ， 求 ? ? 的 极 值
（ 4 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
将 长 为 2m 的 铁 丝 分 成 三 段 ， 依 次 围 成 圆 、 正 方 形 与 正 三 角 形 ， 问 ： 三 个 图 形 的 面 积 和 是 否 存 在 最 小 值 ？
若 存 在 ， 求 出 最 小 值.
（ 4 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
?
x ? 2 y ? z ? 6
C :
已 知 曲 线 ， 求 C 上 的 点 到 x o y 坐 标 面 距 离 的 最 大 值.
?
4 x ? 2 y ? z ? 30
?
（ 4 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
z ? z( x, y) z ? z( x, y)
已 知 函 数 由 方 程 ( x ? y ) z ? ln z ? 2( x ? y ?1) ? 0 确 定 ， 求 的 极 值.
（ 4 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
? u ? u ? u ? u
a x ? b y
2 ? 2 ? ?3 ? 3 ? 0
已 知 函 数 u( x, y) 满 足 ， 求 a, b 的 值 ， 使 得 在 变 换 u( x, y) ? v( x, y) e
2 2
? x ? y ? x ? y
v( x, y)
下 ， 上 述 等 式 可 化 为 不 含 一 阶 偏 导 数 的 等 式.
（ 4 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 2 / 2 02 2 2
? g ? g ? g
g( x, y) ? x y ? f ( x ? y, x ? y) ? ?
f ( u, v)
已 知 具 有 2 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 ， 求 .
2 2
? x ? x ? y ? y
（ 4 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
D y ? x
设 有 界 区 域 是 圆 x ? y =1 和 直 线 以 及 x 轴 在 第 一 象 限 围 成 的 部 分 ， 计 算 二 重 积 分
2
( x ? y) 2 2
e ( x ? y ) d x d y
? ?
D
（ 4 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2 2 2
设 平 面 区 域 D 由 曲 线 ( x ? y ) ? x ? y ( x ? 0 ， y ? 0) 与 x 轴 围 成 ， 计 算 二 重 积 分 x y d x d y .
? ?
D
（ 4 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2
设 D ?{( x, y) x ? y ?1, y ? 0} ， 连 续 函 数 f ( x, y) 满 足 f ( x, y) ? y 1 ? x ? x f ( x, y) d x d y ，
? ?
D
求 x f ( x, y) d x d y .
? ?
D
（ 4 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
x ? y
设 平 面 区 域 D 由 直 线 x ?1 ， x ? 2 ， y ? x 与 x 轴 围 成 ， 计 算 d x d y .
? ?
x
D
（ 4 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x ? y
2 2 3 4
d x d y
D ? {( x, y) x ? y,( x ? y ) ? y }
已 知 平 面 区 域 ， 计 算 二 重 积 分 .
? ?
2 2
x ? y
D
（ 5 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x ? t ? sin t
?
x
设 平 面 区 域 D 由 曲 线 （ 0 ? t ? 2 ? ） 与 轴 围 成 ， 计 算 二 重 积 分 ( x ? 2 y) d x d y .
?
? ?
y ? 1 ? cos t
?
D
（ 5 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
x d x d y 2
y
求 ， 是 由 与 ， 轴 围 成
? ? D y ? 3 x
y ? 3(1 ? x )
D
（ 5 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3
y
dx dy
x
计 算 积 分 ， 其 中 是 第 一 象 限 中 曲 线 与 轴 为 边 界 的 无 界 区 域
? ? 2 D y ? x
2 4
1 ? x ? y
D
? ?
（ 5 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
x ? x y ? y
y ? x y ? ? x
y ? 1 dx dy.
设 D 是 由 直 线 ， ， 围 成 的 有 界 区 域 ， 计 算 二 重 积 分
? ? 2 2
x ? y
D
（ 5 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 3 / 2 0? ?
?
D= ( r, ? ) | 2 ? r ? 2(1 ? cos ? ), ? ? ? ? x dx dy
已 知 平 面 区 域 ? ， 计 算 二 重 积 分 .
?
? ?
2 2
?
D
（ 5 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
已 知 cos 2 x ? ? a x ， 求 a .
?
n n
2
(1 ? x)
n ?0
（ 5 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
设 数 列{ a } 满 足 a ?1 ， ， 证 明 ： 当 时 ， 幂 级 数 a x 收 敛 ， 并 求 其 和
( n ?1) a ? ( n ? ) a x ? 1
n 1 ? n
n ?1 n
2
n ?1
函 数.
（ 5 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
a ? 1 a ? 0 S( x) a x
若 ， ， a ? ( n a ? a )( n ? 1, 2,3....) ， 为 幂 级 数 的 和 函 数
0 1 ? n
n ?1 n n ?1
n ?1
n ?1
?
n
（1 ） 证 明 a x 的 收 敛 半 径 不 小 于 1 ；
?
n
n ?0
(1 ? x) S ?( x) ? x S( x) ? 0 x ?( ?1,1) S( x)
（2 ） 证 明 ， 并 求 的 表 达 式
（ 5 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 n ?2
?
x
求 幂 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 。
?
( n ?1)(2 n ?1)
n ?0
（ 5 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
y 1 ?
设 n 为 正 整 数 ， y ? y x 是 微 分 方 程 x y ? ? n ?1 y ? 0 满 足 条 件 ? ? 的 解
? ? ? ?
n
n
n( n ?1)
（1 ） 求 y x
? ?
n
?
y x
（2 ） 求 级 数 ? ? 的 收 敛 域 和 函 数
? n
n ?1
（ 6 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
n ?1
?
x
? n x
u x ? e ? n ? 1, 2, ? u x
设 ? ? ? ? ， 求 级 数 ? ? 的 收 敛 域 及 和 函 数.
n ? n
n n ?1
? ?
n ?1
（ 6 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
? ? ? ?
设 函 数 y ? f ( x) 满 足 y ? 2 y ? 5 y ? 0 ， 且 f (0) ? 1 ， f (0) ? ?1 ，
f ( x)
（1 ） 求 是 表 达 式 ；
?
? ?
a ? f ( x) d x a
（2 ） 若 ， 求 .
n ?
n
?
n ?
n ?1
（ 6 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 4 / 2 01
f ( x) f (0) ?1 0 ? f ?( x) ? x x ? f ( x )( n ? 1, 2, ?)
已 知 函 数 可 导 且 ， ， 设 数 列 ? ? 满 足 ， 证 明 ：
n n ?1 n
2
?
（1 ） 级 数 ( x ? x ) 绝 对 收 敛
?
n ?1 n
n ?1
lim x 0 ? lim x ? 2
（2 ） n 存 在 ， 且 n
n ? ? n ? ?
（ 6 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
? f ( x, y)
2 x ? y
f ( x, y) f (0, y) ? y ?1 (0,0) (1, t)
设 函 数 满 足 ? (2 x ?1) e ， 且 ， L 是 从 点 到 点 的 光 滑 曲
t
? x
? f ( x, y) ? f ( x, y)
I( t)
线 。 计 算 曲 线 积 分 I( t) ? d x ? d y ， 并 求 的 最 小 值 。
?
L
t
? x ? y
（ 6 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
4 x ? y x ? y
2 2
I ? d x ? d y L x ? y ? 2
计 算 曲 线 积 分 ， 其 中 是 ， 方 向 为 逆 时 针 方 向.
? 2 2 2 2
L
4 x ? y 4 x ? y
（ 6 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
2
I D ? (4 ? x ? y ) d x d y
设 D ? R 是 有 界 单 连 通 闭 区 域 ， ? ? 取 得 最 大 值 的 积 分 区 域 记 为 D .
1
? ?
D
（1 ） 求 的 值 ；
I ? D ?
1
2 2 2 2
x ?4 y x ?4 y
( x e ? y) dx ? (4 y e ? x) dy
（2 ） 计 算 ， 其 中 ? D 是 D 的 正 向 边 界.
1 1
? 2 2
x ? 4 y
? D
1
（ 6 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2 2
设 ? 为 曲 面 的 下 侧 ， 是 连 续 函 数 ，
z ? x ? y (1 ? x ? y ? 4) f ( x)
计 算 I ? [ x f ( x y) ? 2 x ? y] d y d z ?[ y f ( x y) ? 2 y ? x] d z d x ?[ z f ( x y) ? z] d x d y .
? ?
?
（ 6 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
设 有 界 区 域 ? 由 平 面 2 x ? y ? 2 z ? 2 与 三 个 坐 标 平 面 围 成 ， ? 为 ? 整 个 表 面 的 外 侧 ， 计 算 曲 面 积 分
2
I ? ( x ?1)d yd z ? 2 yd zd x ? 3 zd xd y 。
? ?
?
（ 6 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
a, b z ? 2 ? a x ? b y (3,4) l ? ?3 i ? 4 j
设 为 实 数 ， 函 数 在 点 处 的 方 向 导 数 中 ， 沿 方 向 的 方 向 导 数 最 大 ，
最 大 值 为 10.
a, b
（1 ） 求 ；
2 2
z ? 2 ? a x ? b y z ? 0
（2 ） 求 曲 面 （ ） 的 面 积.
（ 6 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1 5 / 2 02 2 2
设 是 由 锥 面 x ? ( y ? z) ? (1 ? z) (0 ? z ? 1) 与 平 面 z ? 0 围 成 的 椎 体 ， 求 的 形 心 坐 标
? ?
（ 7 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
A(1,0,0), B(0,1,1) z ? 0, z ? 2
设 直 线 L 过 两 点 ， 将 L 绕 Z 轴 旋 转 一 周 得 到 曲 面 ?, ? 与 平 面 所 围 成 的
立 体 为 ，
?
（1 ） 求 曲 面 的 方 程
?
（2 ） 求 的 形 心 坐 标.
?
2 2 2
（ 练 习 ） 设 薄 片 型 物 体 S 是 圆 锥 面 被 柱 面 Z ? 2 x 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 的 密 度
Z ? x ? y
2 2 2
为 u( x, y, z) ? 9 x ? y ? z ， 记 圆 锥 面 与 柱 面 的 交 线 为 C
（1 ） 求 C 在 x O y 平 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程
（2 ） 求 S 的 质 量 M
1 6 / 2 0四 、 最 后 突 破 4 5 题
2
1
x ? x
1 、 求 极 限 lim (1 ? ) ? e .
x ? ? ?
x
1 1
lim( ? )
2 、 求 .
x
x ?0
x
e ?1
3 1
lim x[sin ln(1 ? ) ? sin ln(1 ? )]
3 、 求 极 限 .
x ? ?
x x
2
1
n
(1 ? )
4 、 极 限 __________.
n
lim ?
n
n ? ?
e
1 ? 2 ? n ?
5 、 计 算 lim ( 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ) ? ___________.
n ? ?
n n n n
tan x
a 5 4
6 、 设 f ( x)= b sin t d t, g( x) ? x ? x ， 当 x ? 0 时 ， f ( x) ? g( x) ， 则 a ? _____ b ? ________
?
0
? 2
n
7 、 lim tan ( ? ) ? ________
n ? ?
4 n
x x cos x
e ? e
8 、 lim ? ________
2
x ?0
x ln(1 ? x )
1 ? tan x ? 1 ? sin x
9 、 lim ；
2
x ?0
x ln ?1 ? x ? ? x
2
4 x ? x ?1 ? x ?1
10 、 lim .
2
x ? ? ?
x ? cos x
x
x
(1 ? x) ? cos
2
11 、 求 极 限 lim .
x ?0 x
(sin x ?sin )ln(1 ? x)
2
2
2
x
t x t
e f (1 ? e ? e ) d t
?
0
y ? f ( x) x ?1 y ? x ?1 lim
12 、 已 知 曲 线 在 处 的 切 线 方 程 为 ， 求 .
2
x ?0
x ln cos x
2 ? x
13 、 设 函 数 y ? f ( x) 在 点 x ? 0 处 的 增 量 ? y 满 足 ? y ?1 ? e ? ? xsin ? x ， 则 当 ? x ? 0 时 ， ? y 是
d y 的 （ ）
x ?0
（A ） 等 价 无 穷 小 （B ） 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小 （C ） 高 阶 无 穷 小 （D ） 低 阶 无 穷 小
2 ( n ?1) x
x ? e
14 、 设 ， 则 为 的 （ ）
f ( x) ? lim x ? 0 f ( x)
nx
n ? ?
1 ? e
（A ） 连 续 点 （B ） 跳 跃 间 断 点 （C ） 可 去 间 断 点 （D ） 无 穷 间 断 点
1 7 / 2 0n n
ln( e ? x )
f ( x) ? lim ( x ? 0)
15 、 讨 论 函 数 在 定 义 域 内 的 连 续 性.
n ? ?
n ?1
n
3
n ?1 n
n ?1
a ? x 1 ? x d x lim n a
16 、 设 ， 则 极 限 等 于 （ ）
n ? n
0
n ? ?
2
3 3 3 3
?1 ?1
2 2 2 2
（A ） (1 ? e) ?1 （B ） (1 ? e ) ?1 （C ） (1 ? e ) ?1 （D ） (1 ? e) ?1
17 、 设 g( x) 在 的 某 邻 域 内 有 定 义 ， ， 则 f ( x) 在 处 可 导 的 充 要 条 件
x ? x f ( x) ? x ? x g ( x) x ? x
0 0 0
是 （ ）
lim g( x) g( x)
（A ） 存 在 （B ） 在 x ? x 处 连 续
0
x ? x
0
（C ） g( x) 在 处 可 导 （D ） 与 均 存 在 且 反 号
x ? x lim g( x) lim g( x)
0
? ?
x ? x x ? x
0 0
2 3
18 、 函 数 f ( x) ? ( x ? x ? 2) ? x ? x 不 可 导 的 点 的 个 数 为 （ ）
（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0
2 n 2 n
n
19 、 设 f ( x) ? lim (1 ? x ) ? x , x ? 0,1 ， 则 下 列 结 论 不 正 确 的 是 （ ）
? ?
n ? ?
（A ） f ( x) 连 续 （B ） f ( x) 可 导 （C ） f ( x) 有 极 值 点 （D ） 曲 线 y ? f ( x) 有 拐 点
1
x
20 、 曲 线 y ? ? ln(1 ? e ) 的 渐 近 线 的 条 数 为 （ ）
x( x ?1)
（A ）1 （B ） 2 （C ）3 （D ） 4
1
? ?
21 、 设 函 数 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 f 0 ? f 1 ? 0, f ? 1 ，
f ( x) [0,1] (0,1) ? ? ? ?
? ?
2
? ?
1
（1 ） 存 在 ， 使 ；
? ?( ,1) f ( ? ) ? ?
2
（2 ） 存 在 ， 使 ? ( 这 里 ? 为 任 意 实 数) ．
? ?(0, ?) f ( ? ) ? ?[ f ( ? ) ? ? ] ? 1
n ?
1
x
n
4
22 、 求 极 限 （1 ） lim d x （2 ） lim tan x d x
? 2 ?
n ? ? 0 n ? ? 0
1 ? x
n x n
1 1
ln(1 ? x )
e sin x
（3 ） lim d x （4 ） lim dx
? x
?
n ? ? 0 2 n ? ? 0
1 ? e
1 ? x
?
sin x
2
23 、 计 算 定 积 分 ： （1 ） ( ? x )d x ? ________
?
?
?
1 ? cos x
2
2
2
2 x ? sin x 1
1
x
d x ?
（2 ） ________ （3 ） d x
?
?1
? x
2
?1
1 ? e
1 ? 1 ? x
1 2
2 2
2 x ? x d x = x 2 x ? x d x
24 、 计 算 定 积 分 ： （1 ） ________ （ 推 广 ）
?
?
0 0
1 8 / 2 0?
?
3 2 2
2 4
（2 ） x ? sin x cos xd x （3 ） ln(1 ? tan x) d x .
? ?
? ?
?
0
?
2
25 、 下 列 反 常 积 分 收 敛 的 是 （ ）
? ?
? ? ? ? ? ?
1
ln x 1 x
d x
（A ） （B ） d x （C ） d x （D ） d x
?
? ? ? x
2
2 2 2
x x xln x e
1
?
,1 ? x ? e
? ?1
?
? ?
( x ?1)
?
26 、 设 函 数 f ( x) ? ， 若 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 ， 则 （ ）
?
?
1
1
?
, x ? e
? ?1
?
? x ln x
? ? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ? 0 0 ? ? ? 2
（A ） （B ） （C ） （D ）
1
2 2
f ( x) ? 3 x ? 1 ? x f ( x) d x
27 、 设 f ( x) 连 续 且 ， 求 f ( x).
?
0
?
x
28 、 设 f ( x) 在[ ? ?, ? ] 上 连 续 ， 且 f ( x) ? ? f ( x)sin x d x ， 求 f ( x)
2
?
? ?
1 ? cos x
1
2
29 、 设 f ?( x) ? arcsin( x ?1) 及 ， 求 f ( x) d x .
f (0) ? 0
?
0
x
1
f ( x) ln( t ?1)
f ( x) ? d t
30 、 计 算 d x ， 其 中 .
?
?
0 1
t
x
x
?
sin t
f ( x) ? dt
31 、 设 函 数 ， 计 算 f ( x) d x
? ?
0
0
? ? t
32 、 设 函 数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ?) 内 满 足 f ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin x ， 且 f ( x) ? x ， x ?[0, ? ] ， 计 算
3 ?
f ( x) d x .
?
?
n ?
n
33 、 计 算 定 积 分 I ? x sin x dx （ 为 正 整 数 ）.
n ?
0
x
2 2
f ( x) f (0) ? 0, f ?(0) ? 0 x ? 0 F ?( x)
34 、 设 有 连 续 的 导 数 ， ， F( x) ? ( x ? t ) f ( t) dt ， 且 当 时 ，
?
0
k
x k
与 是 同 阶 无 穷 小 量 ， 则 等 于 （ ）
1 2 3 4
（A ） （B ） （C ） （D ）
35 、 过 (0,1) 点 作 曲 线 L : y ? ln x 的 切 线 ， 切 点 为 A ， 又 L 与 x 轴 交 于 B 点 ， 区 域 D 由 L 与 直 线 A B 围
成 ， 求 区 域 的 面 积 及 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积.
D D x
2 x 2
f ( x, y) ? e x ? y ? 2 y
36 、 求 函 数 的 极 值
? ?
2
y
2 2 2
f ( x, y) ? x ? y ? 2 D ? {( x, y) x ? ? 1}
37 、 求 在 椭 圆 域 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ．
4
1 9 / 2 02
38 、 计 算 二 重 积 分 y ? x d ? ， 其 中 D ? {( x, y) x ? 1, 0 ? y ? 2} .
? ?
D
2 2 2 2 2
39 、 求 I ? x ? y d ? ， 其 中 D ： a x ? x ? y ? a ,( a ? 0, x ? 0, y ? 0)
? ?
D
2
y d x d y D x ? ?2, ? y ? 0, ? y ? 2 x ? ? 2 y ? y
40 、 计 算 二 重 积 分 ， 其 中 是 由 直 线 以 及 曲 线 所 围 成 的
? ?
D
平 面 区 域 ．
sin x
2
d ? D
41 、 计 算 ， 其 中 为 y ? x, y ? x 所 围 区 域 ．
? ?
x
D
2 2
( x y ? sin y) d ? D x ? ?1, y ? ?4 x
42 、 计 算 ， 其 中 由 所 围 区 域 ．
? ?
D
2
I ? y ? x d ? D ?1 ? x ? 1,0 ? y ? 1
43 、 计 算 ， 其 中 为 所 围 区 域 ．
? ?
D
1 y
2 2
44 、 将 I ? d y f ( x ? y ) d x 化 为 极 坐 标 下 二 次 积 分 ．
? ?
0 0
2 2
2 x 6 6- x
45 、 交 换 累 次 积 分 次 序 dx f ( x, y) dy ? dx f ( x, y) dy ? ___________ ．
? ? ? ?
0 0 2 0
2 0 / 2 0 |
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