微 积 分 测 试 题 解 答 题 2 答 案
（ 4 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
将 长 为 2 m 的 铁 丝 分 成 三 段 ， 依 次 围 成 圆 、 正 方 形 与 正 三 角 形 ， 问 ： 三 个 图 形 的 面 积 和 是 否 存 在 最 小 值 ？
若 存 在 ， 求 出 最 小 值 .
1
S ?
【 答 案 】
m i n
? ? 4 ? 3 3
x
x , y , z
【 解 析 】 设 圆 、 正 方 形 、 正 三 角 形 的 周 长 分 别 为 ， 则 有 x ? y ? z ? 2 ， 且 此 时 圆 的 半 径 为 ，
2 ?
y z
正 方 形 边 长 为 ， 正 三 角 形 边 长 为 .
4 3
2 2 2
x y 3 z x y 3 z
2 2 2
此 时 三 个 图 形 的 总 面 积 为
S ? ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ?
2 ? 4 4 3 4 ? 1 6 3 6
2 2 2
x y 3 z
x ? y ? z ? 2
下 求 在 条 件 下 的 最 小 值 ，
S ? ? ?
4 ? 1 6 3 6
2 2 2
x y 3 z
构 造 拉 格 朗 日 函 数
F ? ? ? ? ? ( x ? y ? z ? 2 )
4 ? 1 6 3 6
x
?
?
4 ?
F ? ? ? ? ? 0
x
?
x ?
?
2 ?
?
2 ? ? 8 ? 6 3
?
y
?
? ?
F ? ? ? ? 0
? ? 1 6
y
8 y ?
， 解 得 ，
? ?
2 ? ? 8 ? 6 3
?
?
z
?
F ? ? ? ? 0
? ?
z
1 2 3
6 3
?
? z ?
? ? 2 ? ? 8 ? 6 3
?
F ? x ? y ? z ? 2 ? 0 ?
? ?
1
S ?
则 由 实 际 问 题 的 背 景 可 知 ： .
m i n
? ? 4 ? 3 3
（ 4 1 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
2 2
?
x ? 2 y ? z ? 6
已 知 曲 线 C : ， 求 上 的 点 到 x o y 坐 标 面 距 离 的 最 大 值 .
C
?
4 x ? 2 y ? z ? 30
?
【 答 案 】 6 6
2
【 解 析 】 设 曲 线 C 上 的 点 为 ( x , y , z ) ， 则 其 到 x o y 坐 标 面 的 距 离 为 z ， 目 标 函 数 为 f ( x , y , z ) ? z
2 2 2
构 造 拉 格 朗 日 函 数 F ( x , y , z , ? , ? ) ? z ? ? ( x ? 2 y ? z ? 6 ) ? ? ( 4 x ? 2 y ? z ? 3 0 )
1 / 1 9?
?
F ? 2 ? x ? 4 ? ? 0 ①
x
?
? ?
F ? 4 ? y ? 2 ? ? 0 ②
y
?
?
?
F ? 2 z ? ? ? ? ? 0 ③
求 偏 导 与 驻 点 可 得 ：
?
z
?
2 2
?
F ? x ? 2 y ? z ? 6 ? 0 ④
?
?
?
?
F ? 4 x ? 2 y ? z ? 3 0 ? 0 ⑤
? ?
?
由 ① ② 可 得 ? ? 0 或 x ? 4 y ， 若 ? ? 0 ， 则 ? ? 0 ， z ? 0 ， 此 时 无 解 ；
x ? 4 x ? ? 8
? ?
? ?
2 2
y ? 1 y ? ? 2
所 以 x ? 4 y 代 入 ④ ⑤ 可 解 得 ： 或 ， f ( 4 , 1 , 1 2 ) ? 1 2 ， f ( ? 8 , ? 2 , 6 6 ) ? 6 6
? ?
? ?
z ? 1 2 z ? 6 6
? ?
故 曲 线 上 的 点 到 x o y 坐 标 面 距 离 的 最 大 值 为 6 6 .
（ 4 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
已 知 函 数 z ? z ( x , y ) 由 方 程 确 定 ， 求 z ? z ( x , y )
( x ? y ) z ? l n z ? 2( x ? y ? 1 ) ? 0
的 极 值 .
【 答 案 】 极 大 值 为 z ( ? 1 , ? 1 ) ? 1
2 2
x , y
【 解 析 】 由 ， 两 边 分 别 同 时 对 求 偏 导 数 得 ：
( x ? y ) z ? l n z ? 2( x ? y ? 1 ) ? 0
? z 1 ? z
?
2 2
2 x z ? ( x ? y ) ? ? 2 ? 0 ? ( 1 )
?
? ? x z ? x
?
? z 1 ? z
2 2
?
2 y z ? ( x ? y ) ? ? 2 ? 0 ? ( 2)
? ? y z ? y
?
x ? ? 1
?
? z ? z
?
? 0 , ? 0
y ? ? 1
令 （ 3 ） 得 ： （ 4 ）
?
? x ? y
?
z ? 1
?
又 对 （ 1 ） 关 于 x 求 偏 导 数 ， （ 1 ） 对 y 求 偏 导 数 ， （ 2 ） 对 y 求 偏 导 数 ， 再 把 （ 3 ） ， （ 4 ） 代 入 即 得 ：
2 2
? z 1 ? z
2 2
2 z ? ( x ? y ) ? ? 0
2 2
? x z ? x
2 2
? z 1 ? z
2 2
2 z ? ( x ? y ) ? ? 0
2 2
? y z ? y
2 2
? z 1 ? z
2 2
( x ? y ) ? ? 0
? x ? y z ? x ? y
2 2 2
? z 2 ? z ? z 2
得 ： A ? ? ? , B ? ? 0 , C ? ? ?
2 2
? x 3 ? x ? y ? y 3
2
z ? z ( x , y ) ( ? 1 , ? 1 ) z ( ? 1 , ? 1 ) ? 1
又 A C ? B ? 0 , A ? 0 , 故 在 取 得 极 大 值 ， 极 大 值 为
（ 4 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 / 1 92 2
? u ? u ? u ? u
a x ? b y
已 知 函 数 u ( x , y ) 满 足 2 ? 2 ? ? 3 ? 3 ? 0 ， 求 a , b 的 值 ， 使 得 在 变 换 u ( x , y ) ? v ( x , y ) e
2 2
? x ? y ? x ? y
下 ， 上 述 等 式 可 化 为 v ( x , y ) 不 含 一 阶 偏 导 数 的 等 式 .
? u ? v
a x ? b y a x ? b y
【 解 析 】 ? e ? v ( x , y ) a e ，
? x ? x
? u ? v
a x ? b y a x ? b y
? e ? v ( x , y ) b e
，
? y ? y
2 2
? u ? v ? v
a x ? b y a x ? b y 2 a x ? b y
，
? e ? 2 a e ? v ( x , y ) a e
2 2
? x ? x ? x
2 2
? u ? v ? v
a x ? b y a x ? b y 2 a x ? b y
? e ? 2 b e ? v ( x , y ) b e ，
2 2
? y ? y ? y
2 2
? u ? u ? u ? u
带 入 已 知 条 件 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 0 ，
2 2
? x ? y ? x ? y
2 2
? ? ? ?
? v ? v ? v ? v
a x ? b y a x ? b y 2 a x ? b y a x ? b y a x ? b y 2 a x ? b y
2 e ? 2 a e ? v ( x , y ) a e ? 2 e ? 2 b e ? v ( x , y ) b e
得 ：
? 2 ? ? 2 ?
? x ? x ? y ? y
? ? ? ?
? ?
? v ? v
? ?
ax ? by ax ? by ax ? by ax ? by
+ 3 e ? v ( x , y ) ae + 3 e ? v ( x , y ) be = 0
，
? ?
? ?
? x ? y
? ?
? ?
2 2
? v ? v ? v ? v
2 2
整 理 得 ： 2 ( ? ) ? ( 4 a ? 3 ) ? ( 3 ? 4 b ) ? ( 2 a ? 2 b ? 3 a ? 3 b ) v ( x , y ) ? 0 .
2 2
? x ? y ? x ? y
3 3
由 题 意 可 得 上 式 不 含 v ( x , y ) 的 一 阶 偏 导 数 ， 所 以 4 a ? 3 ? 0 , 3 ? 4 b ? 0 ， 即 ： a ? ? , b ?
.
4 4
（ 4 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2
? g ? g ? g
? ?
g ( x , y ) ? x y ? f ( x ? y , x ? y )
已 知 f ( u , v ) 具 有 2 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 ， 求 .
2 2
? x ? x ? y ? y
1 ? 3 f ? ? ? f ? ?
【 答 案 】
1 1 2 2
? g
g ( x , y ) ? x y ? f ( x ? y , x ? y ) ? ?
【 解 析 】 ， ? y ? f ? f ，
1 2
? x
2
? g
，
? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? 2 f ? ? ? f ? ?
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2
2 2
? x
2
? g
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 ? f ? f ? ( ? 1 ) ? f ? f ? ( ? 1 ) ? 1 ? f ? f ，
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2
? x ? y
? g
? ?
? x ? f ? f ，
1 2
? y
3 / 1 92
? g
? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ( ? 1 ) ? ? f ? ? ? 2 f ? ? ? f ? ?
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2
2
? y
2 2 2
? g ? g ? g
? ? ? ? ? f ? ? ? 2 f ? ? ? f ? ? ? 1 ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 2 f ? ? ? f ? ? ? 1 ? 3 f ? ? ? f ? ? .
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2 2
? x ? x ? y ? y
（ 4 5 （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
2 2
设 有 界 区 域 D 是 圆 x ? y = 1 和 直 线 y ? x 以 及 x 轴 在 第 一 象 限 围 成 的 部 分 ， 计 算 二 重 积 分
2
( x ? y ) 2 2
e ( x ? y ) d x d y
? ?
D
1
2
【 答 案 】
( e ? 1 )
8
?
1
2 2
( x ? y ) 2 2 3 r ( 1 ? s i n 2 ? ) 2 2
4
e ( x ? y ) d x d y ? d r r e ( c o s ? ? s i n ? ) d ?
? ? ? ?
【 解 析 】 本 题 选 用 极 坐 标 ：
0 0
D
? ?
1 2 1 2
1
3 r ( 1 ? s i n 2 ? ) r ( 1 ? s i n 2 ? ) 2
4 4
? d r r e c o s 2 ? d ? ? r d r e d r ( 1 ? s i n 2 ? )
? ? ? ?
0 0 0 0
2
?
1 2 1 2 2 1 2 2
1 1 1
r ( 1 ? s i n 2 ? ) 2 r r 2 r r 2
4
? r [ e ] dr ? r [ e ? e ] dr ? ( e ? e ) dr
0
? ? ?
0 0 0
2 2 4
2 2
1 1 1 1 1 1
2 r r 1 2 2
? [ e ? e ] ? ( e ? e ? ) ? ( e ? 1 )
0
4 2 4 2 2 8
（ 4 6 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
2 2 2 2 2
设 平 面 区 域 D 由 曲 线 ( x ? y ) ? x ? y ( x ? 0 ， y ? 0) 与 x 轴 围 成 ， 计 算 二 重 积 分 x y d x d y .
? ?
D
1
【 答 案 】
4 8
?
c os 2 ?
3
4
【 解 析 】 本 题 区 域 为 伯 努 利 双 纽 线 ， 由 极 坐 标 可 得 ： x y dx dy ? d ? r s i n ? c os ? dr
? ? ? ?
0 0
D
? ?
1 1
2 2
4 4
? s i n ? c os ? c os 2 ? d ? ? s i n 2 ? c os 2 ? d ?
? ?
0 0
4 8
? ? ?
1 1 1
2 2 3
2 2 2
t ? 2 ? s i n t c os t dt ? s i n t ( 1 ? s i n t ) dt ? ( s i n t ? s i n t ) dt
? ? ?
0 0 0
16 16 16
1 2 1
? ( 1 ? ) ?
1 6 3 4 8
（ 4 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2
设 D ? { ( x , y ) x ? y ? 1 , y ? 0 } ， 连 续 函 数 f ( x , y ) 满 足 f ( x , y ) ? y 1 ? x ? x f ( x , y ) d x d y ，
? ?
D
4 / 1 9求 x f ( x , y ) d x d y .
? ?
D
2
【 解 析 】 设 f ( x , y ) dx dy ? A ， 则 f ( x , y ) ? y 1 ? x ? A x
? ?
D
2 2
A ? f ( x , y ) d x d y ? [ y 1 ? x ? A x ] d x d y ? y 1 ? x d x d y ? A x d x d y
? ? ? ? ? ? ? ?
D D D D
2
1 1 ? x 1
1
2 2 2 2
? y 1 ? x d x d y ? 1 ? x d x y d y ? ( 1 ? x ) 1 ? x d x
? ? ? ? ?
? 1 0 ? 1
2
D
?
1
3 1 ? 3 ?
2 2 4
2
? ( 1 ? x ) 1 ? x d x ? c o s t d t ? ? ? ?
? ?
0 0
4 2 2 1 6
2 2 2 2
所 以 x f ( x , y ) d ? ? x [ y 1 ? x ? A x ] d ? ? x y 1 ? x d ? ? A x d ? ? A x d ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
D D D D D
?
2
1
3 ? 3 ? 3 ?
2 2 2
2
? x d ? ? d ? r c o s ? r d r ?
? ? ? ?
0 0
1 6 8 128
D
（ 4 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
x ? y
d x d y
设 平 面 区 域 D 由 直 线 x ? 1 ， x ? 2 ， y ? x 与 x 轴 围 成 ， 计 算 .
? ?
x
D
?
【 解 析 】 令 x ? r s i n ? , y ? r c o s ? ； 0 ? ? ? ； s e c ? ? r ? 2 s e c ? ，
4
2 2 ? ? 2
2 s e c ?
x ? y
r 3 s e c ?
4 4
因 此 ： d x d y ? d ? r d r ? d ?
? ? ? ? ?
0 s e c ? 0
x r c o s ? 2 c o s ?
D
? ? ?
?
3 3 3 3
3 2
4 4 4
4
? s e c ? d ? ? s e c ? d t a n ? ? t a n ? s e c ? ? t a n ? s e c ? d ?
? ? 0 ?
0 0 0
2 2 2 2
? ?
3 3 3 3
3
4 4
? 2 ? ( s e c ? ? s e c ? ) d ? ? 2 ? s e c ? d ?
? ?
0 0
2 2 4 4
3 3
? 2 ? l n ( 2 ? 1 ) .
4 4
（ 4 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x ? y
2 2 3 4
d x d y
已 知 平 面 区 域 D ? { ( x , y ) x ? y , ( x ? y ) ? y } ， 计 算 二 重 积 分 .
? ?
2 2
x ? y
D
x
2 2 3 4
2
d x d y ? 0
【 解 析 】 ( x ? y ) ? y 的 极 坐 标 方 程 ， 由 对 称 性 可 得 ：
r ? s i n ? ? ?
2 2
x ? y
D
?
2
s i n ?
x ? y y r s i n ?
2
d x d y ? d x d y ? 2 r d r d ? ? 2 d ? r s i n ? d r
所 以 ?
? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 0
r
x ? y x ? y
D D D 4
1
5 / 1 9? ? ?
5 2 2 2 4
2 2 2
? s i n ? d ? ? ? ( 1 ? c os ? ) d c os ? ? ? ( 1 ? 2 c os ? ? c os ? ) d c os ?
? ? ?
? ? ?
4 4 4
?
2 1 4 3
3 5
2
= ? ( c o s ? ? c o s ? ? c o s ? ) ? 2 .
?
3 5 1 2 0
4
（ 5 0 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
x ? t ? s i n t
?
设 平 面 区 域 D 由 曲 线 （ 0 ? t ? 2 ? ） 与 x 轴 围 成 ， 计 算 二 重 积 分 .
( x ? 2 y ) d x d y
?
? ?
y ? 1 ? c o s t
?
D
2
【 答 案 】 3 ? ? 5 ? .
【 解 析 】 由 题 目 积 分 区 域 ， 原 积 分 可 化 为
2 ? ? ( x ) 2 ?
2
d x ( x ? 2 y ) d y ? [ x ? ( x ) ? ? ( x ) ] d x ，
? ? ?
0 0 0
令 x ? t ? s i n t , y ? 1 ? c o s t 换 元 可 得 ，
2 ?
2
原 式 ? [ ( t ? s i n t ) ( 1 ? c o s t ) ? ( 1 ? c o s t ) ] d ( t ? s i n t )
?
0
2 ? 2 ?
2 3 2
.
? ( t ? s i n t ) ( 1 ? c o s t ) d t ? ( 1 ? c o s t ) d t ? 3 ? ? 5 ?
? ?
0 0
（ 5 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2
x d x d y 2
y
求 ? ? ， 是 由 与 ， 轴 围 成
D y ? 3 ( 1 ? x ) y ? 3 x
D
3 ? 3
【 答 案 】
?
3 2 1 6
【 解 析 】 使 用 平 面 坐 标 （ X 型 区 域 计 算 ）
2 2
2
3 ( 1 ? x )
2 2 2 2
2 2
x d x d y ? x d x d y ? x ( 3 ( 1 ? x ) ? 3 x ) d x
? ? ? ? ?
0 3 x 0
D
2 2 2
3
2 2 3 2 2
2 2 2
? 3 x 1 ? x d x ? 3 x d x ? 3 x 1 ? x d x ?
? ? ?
0 0 0
1 6
2 ? ? ?
?
1 1
2 2 2 2 2
2 4 4 4
?
而
x 1 ? x d x ? s i n t c o s t d t ? s i n 2 t d t ? ( 1 ? c o s 4 t ) d t
? ? ? ?
0 0 0 0
3 2
4 8
3 ? 3
2
所 以 x d x d y ? ? .
? ?
3 2 1 6
D
（ 5 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
3
y
dx dy
计 算 积 分 2 ， 其 中 是 第 一 象 限 中 曲 线
? ? D
2 4
1 ? x ? y
D
? ?
6 / 1 9x
y ? x 与 轴 为 边 界 的 无 界 区 域
2 ? 2
【 答 案 】
?
1 6
3
? ? x
y
【 解 析 】 记 I ? d x d y ；
2 4 2
? ?
0 0
( 1 ? x ? y )
3 2 4
x x
y 1 d ( 1 ? x ? y )
其 中 d y ?
? 2 4 2 ? 2 4 2
0 0
( 1 ? x ? y ) 4 ( 1 ? x ? y )
1 1 1 1 1
? ?
x
? ? ? ? ?
，
0 ? ?
2 4 2 2
4 1 ? x ? y 4 1 ? 2 x 1 ? x
? ?
? ?
1 1 1 1 1 2 ? 2
? ? ? ?
? ?
则 I ? ? ? d x ? ? a r c t a n 2 x ? a r c t a n x ? ? .
? ? 0
? 2 2 ? ?
0
4 1 ? 2 x 1 ? x 4 1 6
2
? ? ? ?
（ 5 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
x ? x y ? y
y ? x y ? ? x
y ? 1 dx dy .
设 D 是 由 直 线 ， ， 围 成 的 有 界 区 域 ， 计 算 二 重 积 分
2 2
? ?
x ? y
D
?
【 答 案 】 1 ?
2
x y
d x d y ? 0
【 解 析 】 积 分 区 域 关 于 轴 对 称 ， 故
D
y ? ? 2 2
x ? y
D
2 2 2 2 2 2
x ? x y ? y x ? y x ? y
dx dy ? dx dy ? 2 dx dy
则
? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2
x ? y x ? y x ? y
D D D
1
? 1
2 2 2 2
r c os ? ? r s i n ?
2 s i n ?
? 2 d ? r dr
?
? ? 2
0
r
4
?
1
2 2
2
? ( c os ? ? s i n ? ) d ?
?
? 2
s i n ?
4
? ?
2 2
2 2
? ( c o t ? ? 1 ) d ? ? ( c s c ? ? 2) d ?
? ?
? ?
4 4
?
? ?
2
? ? c ot ? ? ? 1 ?
?
2 2
4
（ 5 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
? ?
?
已 知 平 面 区 域 D = ( r , ? ) | 2 ? r ? 2 ( 1 ? c o s ? ) , ? ? ? ? ， 计 算 二 重 积 分 x dx dy .
?
?
? ?
2 2
?
D
3 2
【 答 案 】 5 ? ?
3
?
2 ( 1 ? c o s ? )
2
2
【 解 析 】 二 重 积 分 为 I ? x d x d y ? 2 d ? r c o s ? d r
? ? ? ?
0 2
D
7 / 1 9? ?
1 16
3 2 ( 1 ? c os ? ) 3
2 2
? ?
? 2 c os ? ? r | d ? ? ( 1 ? c os ? ) ? 1 c os ? d ?
2
? ? ? ?
0 0
3 3
? ? ?
16
2 3 4
2 2 2
? 1 6 c os ? d ? ? 16 c os ? d ? ? c os ? d ?
? ? ?
0 0 0
3
1 ? 2 1 6 3 1 ? 3 2
? 1 6 ? ? ? 1 6 ? ? ? ? ? ? 5 ? ?
2 2 3 3 4 2 2 3
（ 5 5 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
已 知 c o s 2 x ? ? a x ， 求 a .
? n n
2
( 1 ? x )
n ? 0
a ? 2 n ? 2
?
2 n ? 1
?
n n
( n ? 0 , 1 , 2 , ? )
【 答 案 】
? ( ? 1 ) 4
a ? ? 2 n ? 1
2 n
?
( 2 n ) !
?
n n n
? ?
( ? 1 ) ( ? 1 ) 4
2 n 2 n
【 解 析 】 当 ? 1 ? x ? 1 时 ， c os 2 x ? ( 2 x ) ? x
? ?
( 2 n ) ! ( 2 n ) !
n ? 0 n ? 0
? ? ? ?
1 1
n n n n ? 1
? ?
? ? ( ) ? [ ( ? 1 ) x ] ? ( ? 1 ) n x
? ?
2
( 1 ? x ) 1 ? x
n ? 0 n ? 1
带 入 原 式 可 得 ：
n n n n
? ? ? ? ?
1 ( ? 1 ) 4 ( ? 1 ) 4
2 n n n ? 1 2 n n ? 1 n
c o s 2 x ? ? x ? ( ? 1 ) nx ? x ? ( ? 1 ) ( n ? 1 ) x
? ? ? ?
2
( 1 ? x ) ( 2 n ) ! ( 2 n ) !
n ? 0 n ? 1 n ? 0 n ? 0
n n
? ? ?
( ? 1 ) 4
2 n 2 n ? 1 2 n
? x ? ( 2 n ? 2) x ? ( 2 n ? 1 ) x
? ? ?
( 2 n ) !
n ? 0 n ? 0 n ? 0
n n
? ?
? ?
( ? 1 ) 4
2 n 2 n ? 1
? ? ( 2 n ? 1 ) x ? ( 2 n ? 2) x
? ?
? ?
( 2 n ) !
n ? 0 ? ? n ? 0
a ? 2 n ? 2
?
2 n ? 1
?
n n
( n ? 0 , 1 , 2, ? )
所 以
? ( ? 1 ) 4
a ? ? 2 n ? 1
2 n
?
( 2 n ) !
?
（ 5 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
{ a } a ? 1
设 数 列 满 足 ， ( n ? 1 ) a ? ( n ? ) a ， 证 明 ： 当 x ? 1 时 ， 幂 级 数 a x 收 敛 ， 并 求 其 和
?
n 1 n ? 1 n n
2
n ? 1
函 数 .
?
a n ? 1
n
n
a x
【 解 析 】 R ? l i m ? l i m ? 1 ， 所 以 当 x ? R ? 1 时 ， 幂 级 数 收 敛 ；
?
n
n ? ? n ? ?
1
a
n ? 1
n ? 1
n ?
2
8 / 1 9? ? ? ?
n n ? 1 n n
?
令 S ( x ) ? a x ， 则 S ( x ) ? n a x ? ( n ? 1 ) a x ? a ? ( n ? 1 ) a x
? n ? n ? n ? 1 1 ? n ? 1
n ? 1 n ? 1 n ? 0 n ? 1
? ? ?
1 1 1
n n n
?
? a ? ( n ? ) a x ? a ? n a x ? a x ? 1 ? x S ( x ) ? S ( x )
? ? ?
1 n 1 n n
2 2 2
n ? 1 n ? 1 n ? 1
1 1
?
则 S ( x ) ? S ( x ) ?
2( x ? 1 ) 1 ? x
C
解 微 分 方 程 可 得 ： S ( x ) ? ? 2 ， 带 入 初 始 条 件 S ( 0 ) ? 0 ， 解 得 C ? 2
1 ? x
2
所 以 S ( x ) ? ? 2
1 ? x
（ 5 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
?
1
n
若 a ? 1 ， a ? 0 ， a ? ( n a ? a ) ( n ? 1 , 2 , 3 . . . . ) ， S ( x ) 为 幂 级 数 a x 的 和 函 数
?
0 1 n ? 1 n n ? 1 n
n ? 1
n ? 1
?
n
（ I ） 证 明 a x 的 收 敛 半 径 不 小 于 1 ；
?
n
n ? 0
?
( 1 ? x ) S ( x ) ? x S ( x ) ? 0 x ? ( ? 1 , 1 ) S ( x )
（ I I ） 证 明 ， 并 求 的 表 达 式
? x
e
【 答 案 】 S ( x ) ?
1 ? x
1
a ? 1 a ? 0 0 ? a ? 1
【 证 】 （ I ） 由 已 知 ， ， a ? ( n a ? a ) ( n ? 1 , 2 , 3 . . . . ) ， 所 以 （ 数 学 归
0 1 n ? 1
n ? 1 n n ? 1
n ? 1
纳 法 ）
? ?
n n n n
a x x ? 1 a x ? x x
设 为 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ， 当 时 ， 因 为 ， 且 级 数 收 敛 ， 所 以 幂 级 数
R
? n ?
n
n ? 0 n ? 0
?
n
a x ( ? 1 , 1 ) ? ( ? R , R )
绝 对 收 敛 ， 于 是 ， 故
R ? 1
?
n
n ? 0
? ? ? ?
n n n n ? 1
? ? ? ?
S ( x ) ? ( a x ) ? ( a x ) ? ( a x ) ? n a x
（ I I ） 由 已 知 得 ， 则
? n ? n ? n ? n
n ? 0 n ? 1 n ? 1 n ? 1
?
n ? 1
?
( 1 ? x ) S ( x ) ? x S ( x ) ? ( 1 ? x ) n a x ? x S ( x )
?
n
n ? 1
? ?
n ? 1 n
? n a x ? n a x ? x S ( x )
? n ? n
n ? 1 n ? 1
? ?
n n
? ( n ? 1 ) a x ? n a x ? x S ( x )
? n ? 1 ? n
n ? 0 n ? 1
? ? ?
n n n ? 1
? a ? ( n ? 1 ) a x ? n a x ? a x
? ? ?
1 n ? 1 n n
n ? 1 n ? 1 n ? 0
9 / 1 9? ? ?
n n n ? 1
? ( n a ? a ) x ? n a x ? a x ? 0
? ? ?
n n ? 1 n n
n ? 1 n ? 1 n ? 0
S ? ( x ) x dS ( x ) x x
? ? ? dx ? l n S ( x ) ? dx ? ? x ? l n( 1 ? x ) ? C
得
?
S ( x ) 1 ? x S ( x ) 1 ? x 1 ? x
1
? x
S ( 0) ? a ? 1 C ? 1 .
则 S ( x ) ? C e ， 由 ， 得
0 1
1
1 ? x
? x
e
所 以 S ( x ) ? .
1 ? x
（ 5 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 n ? 2
?
x
求 幂 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 。
?
( n ? 1 ) ( 2 n ? 1 )
n ? 0
【 答 案 】 收 敛 域 为 [ ? 1 , 1 ]
1 ? x
?
2
x l n ( ) ? l n ( 1 ? x ) , x ? ( ? 1 , 1 )
?
S ( x ) =
和 函 数 为 1 ? x
?
?
2 l n 2 , x ? ? 1
?
2 n ? 2
x
2 n
x u ( x ) ( n ? 1 ) ( 2 n ? 1 ) 2
n
u ( x ) ? , 则 l i m ? l i m ? l i m x
【 解 析 】 设 ，
n ? 1
2 n
x ? ? x ? ? x ? ?
n ( 2 n ? 1 ) u ( x ) x
n ? 1
n ( 2 n ? 1 )
?
2
x ? ( ? 1 , 1 ) u ( x )
当 x < 1 ， 即 时 ， 绝 对 收 敛
? n
n ? 0
? ?
1
2
当 = 1 ， 即 x ? ? 1 时 ， u ( x ) ? 收 敛 ，
x
? ?
n
( n ? 1 ) ( 2 n ? 1 )
n ? 0 n ? 0
[ ? 1 , 1 ]
故 收 敛 域 为
? 2 n ? 2 ? 2 n ? 2
x x
设 S ( x ) = ? 2 , x ? [ ? 1 , 1 ]
? ?
( n ? 1 ) ( 2 n ? 1 ) ( 2 n ? 2 ) ( 2 n ? 1 )
n ? 0 n ? 0
x ? ( ? 1 , 1 )
当 时 ，
2 n ? 2
? ?
x 2
2 n
? ? ? ?
S ( x ) ? ( 2 ) ? 2 x ?
? ?
2
( 2 n ? 2) ( 2 n ? 1 ) 1 ? x
n ? 0 n ? 0
x
2 1 ? x
? ?
S ( x ) ? d t ? S ( 0 ) ? l n
则 ，
? 2
0
1 ? t 1 ? x
x x x x
1 ? t 1 ? t
S ( x ) = l n d t ? S ( 0 ) ? l n d t ? l n 1 ? t d t ? l n 1 ? t d t
? ? ? ?
0 0 0 0
1 ? t 1 ? t
x x
t t
x x
? t l n 1 ? t ? d t ? t l n 1 ? t ? d t
0 0
? ?
0 0
1 ? t t ? 1
1 ? x
2
? x l n ? l n 1 ? x
1 ? x
1 0 / 1 9当 时 ，
x ? ? 1
? 1 ? x ?
2
S ( 1 ) = l i m x l n ? l n 1 ? x ? l i m ? x l n 1 ? x ? x l n 1 ? x ? l n 1 ? x ? l n 1 ? x ?
? ? ? ?
? ?
x ? 1 x ? 1
1 ? x
? ?
? 2 l n 2 ? l i m ( 1 ? x ) l n 1 ? x ? 2 l n 2
?
x ? 1
? 1 ? x ?
2
S ( ? 1 ) = l i m x l n ? l n 1 ? x ? l i m ? x l n 1 ? x ? x l n 1 ? x ? l n 1 ? x ? l n 1 ? x ?
? ? ? ? ? ?
x ? ? 1 x ? ? 1
1 ? x
? ?
? 2 l n 2 ? l i m ( x ? 1 ) l n x ? 1 ? 2 l n 2
?
x ? ? 1
? 1 ? x
2
x l n ( ) ? l n ( 1 ? x ) , x ? ( ? 1 , 1 )
?
综 上 所 述 S ( x ) =
1 ? x
?
?
2 l n 2 , x ? ? 1
?
（ 5 9 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
1
设 n 为 正 整 数 ， 是 微 分 方 程 ? 满 足 条 件 y 1 ? 的 解
y ? y ? x ? x y ? ? n ? 1 ? y ? 0 ? ?
n
n
n ( n ? 1 )
（ 1 ） 求 y x
? ?
n
?
（ 2 ） 求 级 数 y x 的 收 敛 域 和 函 数
? ?
? n
n ? 1
n ? 1
x
【 答 案 】 （ 1 ）
y ? x ? ?
n
n ( n ? 1 )
( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? [ ? 1 , 1 )
?
（ 2 ） 收 敛 域 [ ? 1 , 1 ] ， 和 函 数 S ( x ) ?
?
1 , x ? 1
?
n ? 1
y ? ? ?
?
x y ? n ? 1 y ? 0 y ? 0
【 解 析 】 （ 1 ） 由 已 知 得 ? ? ， 变 量 分 离 可 得 ： ? （ ） ，
y x
1 1
n ? 1
y 1 ? C ?
y x ? C x ? ?
积 分 可 得 ： ? ? ， 代 入 初 始 条 件 得 ：
n n
n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 )
n ? 1
x
所 以 y x ?
? ?
n
n ( n ? 1 )
n ? 2
x
n ? 1
? ?
x y ( x ) ( n ? 1 ) ( n ? 2 )
n ? 1
l i m ? l i m ? x ? 1
（ 2 ） y x ? ， 因 为 ， 知 收 敛 半 径 为 1
? ?
? n ? n ? 1
n ? ? n ? ?
n ( n ? 1 ) y ( x ) x
n ? 1 n ? 1
n
n ( n ? 1 )
n ? 1
? ?
( ? 1 )
[ ? 1 , 1 ]
当 时 ， y x ? 收 敛 ， 故 收 敛 域 为 ；
x ? ? 1 ? ?
? n ?
n ( n ? 1 )
n ? 1 n ? 1
n ? 1 n ? 1 n ? 1
? ? ? ? ?
x 1 1 x x
n ? 1
y x ? ? ( ? ) x ? ?
? ?
? ? ? ? ?
n
n ( n ? 1 ) n n ? 1 n n ? 1
n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1
1 1 / 1 9? n ? 1 ? n
? n x x
x
考 虑 到 ， 所 以 ? x ? ? x l n( 1 ? x ) x ? [ ? 1 , 1 ) ；
? ?
? ? x l n( 1 ? x ) x ? [ ? 1 , 1 )
?
n n
n ? 1 n ? 1
n
n ? 1
n ? 1 n n
? ? ?
x x x
? ? ? x ? ? l n( 1 ? x ) ? x x ? [ ? 1 , 1 )
? ? ?
n ? 1 n n
n ? 1 n ? 2 n ? 1
n ? 1 n ? 1
? ? ?
x x
代 入 可 得 y x ? ? ? [ ? x l n( 1 ? x ) ] ? [ ? l n( 1 ? x ) ? x ]
? ?
? n ? ?
n n ? 1
n ? 1 n ? 1 n ? 1
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? [ ? 1 , 1 )
? ?
1
S ( 1 ) ? y 1 ? ? 1
因 为 当 x ? 1 时 ， ? ?
? n ?
n ( n ? 1 )
n ? 1 n ? 1
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? [ ? 1 , 1 )
S ( x ) ?
所 以 和 函 数
?
1 , x ? 1
?
（ 6 0 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
n ? 1
?
x
? n x
设 u x ? e ? n ? 1 , 2 , ? ， 求 级 数 u x 的 收 敛 域 及 和 函 数 .
? ? ? ? ? ?
n ? n
n n ? 1
? ?
n ? 1
【 答 案 】 收 敛 域 为 ( 0 , 1 ] ；
? x
? e
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? ( 0 , 1 )
? ? x
?
1 ? e
和 函 数
S ( x ) ?
?
e
?
, x ? 1
?
? e ? 1
n ? 1
? ? ?
x
? n x
【 解 析 】 设 S ( x ) ? u x ? e ? ? S ( x ) ? S ( x ) ；
? ?
? n ? ? 1 2
n n ? 1
? ?
n ? 1 n ? 1 n ? 1
? ? x
e
? x ? nx
① 当 e ? 1 ， 即 x ? 0 时 ， 有 ；
S ( x ) ? e ?
?
1
? x
1 ? e
n ? 1
n ? 2
x
? n ? 1
y ( x )
x ( n ? 1 ) ( n ? 2 )
n ? 1
l i m ? l i m ? x ? 1
② 对 于 S ( x ) ? ， 因 为 ， 知 收 敛 半 径 为 1
?
2 n ? 1
n ? ? n ? ?
y ( x ) x
n ( n ? 1 )
n ? 1 n
n ( n ? 1 )
n ? 1
? ?
( ? 1 )
[ ? 1 , 1 ]
当 x ? ? 1 时 ， y x ? 收 敛 ， 故 收 敛 域 为 ；
? ?
? ?
n
n ( n ? 1 )
n ? 1 n ? 1
综 上 所 述 原 级 数 的 收 敛 域 为 ( 0 , 1 ] .
? n ? 1 ? ? n ? 1 ? n ? 1
x 1 1 x x
n ? 1
S ( x ) ? ? ( ? ) x ? ?
? ? ? ?
2
n ( n ? 1 ) n n ? 1 n n ? 1
n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1
1 2 / 1 9? n ? 1 ? n
? n x x
x
考 虑 到 ， 所 以 ? x ? ? x l n( 1 ? x ) x ? [ ? 1 , 1 ) ；
? ?
? ? x l n( 1 ? x ) x ? [ ? 1 , 1 )
?
n n
n ? 1 n ? 1
n
n ? 1
n ? 1 n n
? ? ?
x x x
? ? ? x ? ? l n( 1 ? x ) ? x x ? [ ? 1 , 1 )
? ? ?
n ? 1 n n
n ? 1 n ? 2 n ? 1
n ? 1 n ? 1
? ?
x x
代 入 可 得 S ( x ) ? ? ? [ ? x l n( 1 ? x ) ] ? [ ? l n( 1 ? x ) ? x ]
2 ? ?
n n ? 1
n ? 1 n ? 1
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? [ ? 1 , 1 )
?
1
S ( 1 ) ? ? 1
因 为 当 x ? 1 时 ，
2 ?
n ( n ? 1 )
n ? 1
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? [ ? 1 , 1 )
S ( x ) ?
所 以
?
2
1 , x ? 1
?
? x
? e
? ( 1 ? x ) l n ( 1 ? x ) ? x , x ? ( 0 , 1 )
? ? x
?
1 ? e
综 上 ① ② 可 得 ，
S ( x ) ? S ( x ) ? S ( x ) ?
?
1 2
e
?
, x ? 1
?
? e ? 1
（ 6 1 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
设 函 数 y ? f ( x ) 满 足 y ? ? ? 2 y ? ? 5 y ? 0 ， 且 f ( 0 ) ? 1 ， f ? ( 0 ) ? ? 1 ，
（ 1 ） 求 f ( x ) 是 表 达 式 ；
?
? ?
（ 2 ） 若 a ? f ( x ) d x ， 求 .
a
?
n n
?
n ?
n ? 1
2
【 解 析 】 （ 1 ） 特 征 值 方 程 为 ： ? ? 2 ? ? 5 ? 0 ， 解 得 ? ? ? 1 ? 2 i ，
? x
故 齐 次 通 解 为 f ( x ) ? e ( C c o s 2 x ? C s i n 2 x )
1 2
? x
?
带 入 f ( 0 ) ? 1 ， f ( 0 ) ? ? 1 可 得 ： C ? 1 , C ? 0 ， 故 f ( x ) ? e c o s 2 x
1 2
? x
? ? ? ?
e ( 2 s i n 2 x ? c o s 2 x )
? x ? ?
（ 2 ） a ? f ( x ) d x ? e c o s 2 x d x ?
n n ?
? ?
n ? n ?
5
? n ?
e ( 2 s i n 2 n ? ? c os 2 n ? ) 1
? n ?
? ? = e
5 5
? ?
? ?
1 1 e 1 1
? n ?
所 以 a ? e ? ?
? n ?
? ? ?
5 5 1 ? e 5 e ? 1
n ? 1 n ? 1
（ 6 2 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
1
f ( x ) f ( 0 ) ? 1 ? x x ? f ( x ) ( n ? 1 , 2 , ? )
已 知 函 数 可 导 ， 且 ， 0 ? f ( x ) ? ， 设 数 列 ? ? 满 足 ， 证 明 ：
n n ? 1 n
2
1 3 / 1 9?
( x ? x )
( I ) 级 数 绝 对 收 敛
? n ? 1 n
n ? 1
l i m x 0 ? l i m x ? 2
( I I ) n 存 在 ， 且 n
n ? ? n ? ?
【 解 析 】 ( I ) 已 知 函 数 f ( x ） 可 导 ， 数 列 满 足 x ? f ( x ) ( n ? 1 , 2 , ? ) ，
n ? 1 n
x x ( n ? 2 , 3 , ....)
在 和 构 成 的 区 间 上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 得
n n ? 1
x ? x ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( ? ) ( x ? x ) ? x x
， （ 介 于 和 之 间 ）
n ? 1 n n n ? 1 n n n ? 1 n n n ? 1
1
?
由 0 ? f ( x ) ? ， 得
2
1 1
?
x ? x ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? ) ( x ? x ) ? x ? x ? x ? x
n ? 1 n n n ? 1 n n n ? 1 n n ? 1 2 1
n ? 1
2 2
1
即 u ? x ? x ? x ? x ，
n n ? 1 n 2 1
n ? 1
2
? ?
1 1
又 因 为 正 项 级 数 x ? x ? x ? x 收 敛 。
? ?
2 1 2 1
n ? 1 n ? 1
2 2
n ? 1 n ? 1
?
( x ? x )
由 比 较 判 别 法 和 绝 对 收 敛 的 定 义 ， 得 级 数 绝 对 收 敛
?
n ? 1 n
n ? 1
? ?
( x ? x ) ( x ? x )
（ I I ） 由 ( I ) 可 得 ： 级 数 绝 对 收 敛 ， 故 级 数 也 收 敛 ，
? n ? 1 n ? n ? 1 n
n ? 1 n ? 1
n ? 1
l i m S
S ? ( x ? x )
设 ， 故 n ? 1 存 在 ；
n ? 1 ? k ? 1 k
n ? ?
k ? 1
n ? 1
而 S ? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? . . . ? ( x ? x ) ? x ? x
?
n ? 1 k ? 1 k n n ? 1 n ? 1 n ? 2 2 1 n 1
k ? 1
l i m x ? l i m S ? x l i m x ? A
故 n n ? 1 1 存 在 ， 设 n
n ? ? n ? ? n ? ?
x ? f ( x ) A ? f ( A ) g ( x ) ? x ? f ( x )
因 为 ， 两 边 取 极 限 得 ： ， 故 是 函 数 的 零 点 且 是 唯 一 的 零 点 ，
A
n ? 1 n
又 因 为 g ( 0 ) ? ? f ( 0 ) ? ? 1 ? 0 ，
?
g ( 2 ) ? 2 ? f ( 2 ) ? 1 ? [ f ( 2 ) ? f ( 0 ) ] ? 1 ? 2 f ( ? ) ? 0
0 ? l i m x ? 2
由 零 点 定 理 可 得 ： A ? ( 0 , 2 ) ， 即
n
n ? ?
（ 6 3 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
? f ( x , y )
2 x ? y
设 函 数 f ( x , y ) 满 足 ， 且 f ( 0 , y ) ? y ? 1 ， L 是 从 点 ( 0 , 0) 到 点 ( 1 , t ) 的 光 滑 曲
? ( 2 x ? 1 ) e
t
? x
? f ( x , y ) ? f ( x , y )
线 。 计 算 曲 线 积 分 I ( t ) ? d x ? d y ， 并 求 I ( t ) 的 最 小 值 。
?
L
t
? x ? y
2 ? t
【 答 案 】 ; I ( t ) ? I ( 2) ? 3
I ( t ) ? e ? t
m i n
? f ( x , y )
2 x ? y 2 x ? y
【 解 析 】 因 ? ( 2 x ? 1 ) e , 则
f ( x , y ) ? x e ? ? ( y )
? x
2 x ? y
又 有 f ( 0 , y ) ? y ? 1 ， 则 ? （ y ) ? y ? 1 , f ( x , y ) ? x e ? y ? 1 ,
1 4 / 1 92 2
? f ( x , y ) ? f ( x , y )
又 ? ， 则 I ( t ) 与 路 径 无 关 ，
? x ? y ? y ? x
? f ( x , y ) ? f ( x , y )
即 dx ? dy 是 f ( x , y ) 的 全 微 分 ，
? x ? y
? f ( x , y ) ? f ( x , y )
则 I ( t ) ? d x ? dy
?
L
t
? x ? y
( 1 , t )
2 ? t
? d f ( x , y ) ? f ( x , y ) ? f ( 1 , t ) ? f ( 0 , 0 ) ? e ? t
? ?
?
L
t
( 0 , 0)
2 ? t
? I ? ( t ) ? 0
所 以 I ( t ) ? 1 ? e ， 令 ， 得 t ? 2
?
当 t ? 2 时 ， I ( t ) ? 0 ， I ( t ) 是 递 增 的 ；
?
当 t ? 2 时 ， I ( t ) ? 0 ， I ( t ) 是 递 减 的 ；
故 I ( t ) 在 t ? 2 时 取 得 最 小 值 ， 故 I ( t ) ? I ( 2) ? 3
m i n
（ 6 4 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
4 x ? y x ? y
2 2
计 算 曲 线 积 分 I ? d x ? d y ， 其 中 是 x ? y ? 2 ， 方 向 为 逆 时 针 方 向 .
L
? 2 2 2 2
L
4 x ? y 4 x ? y
2 2 2
【 解 析 】 取 封 闭 曲 线 L : 4 x ? y ? ? （ 其 中 ? 为 充 分 小 ） ， 方 向 为 顺 时 针
?
2 2
4 x ? y x ? y ? P y ? 4 x ? 8 x y ? Q
P ? , Q ? ? ?
令 ， 且
2 2 2 2 2 2 2
4 x ? y 4 x ? y ? y ( 4 x ? y ) ? x
则 由 格 林 公 式 可 得 ：
4 x ? y x ? y 4 x ? y x ? y 4 x ? y x ? y
I ? d x ? d y ? d x ? d y ? d x ? d y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
? ? ? ? ?
L
4 x ? y 4 x ? y 4 x ? y 4 x ? y 4 x ? y 4 x ? y
L ? L L
? ?
? Q ? P 1
? ( ? ) d ? ? ( 4 x ? y ) d x ? ( x ? y ) d y
2
? ? ? ?
? x ? y ?
D L
?
1
? 0 ? ( 4 x ? y ) d x ? ( x ? y ) d y
2 ? ?
?
?
L
?
1 2 2 ?
? [ 1 ? ( ? 1 ) ] d ? ? S ? ( ? ? ? ? ) ? ?
D
2 ? ? 2 ? 2
? ? ? 2
D
?
（ 6 5 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ）
2 2 2
设 是 有 界 单 连 通 闭 区 域 ， I D ? ( 4 ? x ? y ) d x d y 取 得 最 大 值 的 积 分 区 域 记 为 .
D ? R ? ? D
1
? ?
D
（ 1 ） 求 I D 的 值 ；
? ?
1
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy
（ 2 ） 计 算 ， 其 中 ? D 是 D 的 正 向 边 界 .
1 1
? 2 2
x ? 4 y
? D
1
【 答 案 】 （ 1 ） 8 ? ； （ 2 ） ? ?
1 5 / 1 92 2
【 解 析 】 （ 1 ） 因 为 I D ? ( 4 ? x ? y ) d x d y 取 得 最 大 值 的 积 分 区 域 为 D ， 故 D 应 包 含 被 积 函 数
? ?
1 1
? ?
D
2 2 2 2 2 2
f ( x , y ) ? 4 ? x ? y ? 0 且 不 包 含 f ( x , y ) ? 4 ? x ? y ? 0 ， 所 以 D ? { ( x , y ) x ? y ? 4 }
1
2 ? 2
2 2 2 2 3
所 以 I D ? ( 4 ? x ? y ) d x d y ? 4 S ? ( x ? y ) d x d y ? 1 6 ? ? d ? r d r ? 8 ?
? ?
1 D
? ? ? ? ? ?
1
0 0
D D
1 1
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy
（ 2 ） 对 于 积 分 ，
2 2
?
x ? 4 y
? D
1
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
x e ? y 4 y e ? x ? Q ( x , y ) ? P ( x , y )
可 知 P ( x , y ) ? ， Q ( x , y ) ? ， 且 有 ? ? 0
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y ? x ? x
2 2 2
故 本 题 采 用 挖 洞 法 ： 取 L : x ? 4 y ? ? ， 其 中 ? ? 0 且 充 分 小 ， 方 向 取 顺 时 针
?
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy
则 由 格 林 公 式 可 得 ：
? 2 2
x ? 4 y
? D
1
2 2 2 2 2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y x ? 4 y x ? 4 y
( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy ( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy
? ?
? ? 2 2 ? ? 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
? D ? L L
1 ? ?
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
? Q ? P ( x e ? y ) dx ? ( 4 y e ? x ) dy
? ( ? ) d ? ?
? ? ? 2 2
? x ? x x ? 4 y
L
?
2 2 2 2
x ? 4 y x ? 4 y
2 2
( x e ? y ) d x ? ( 4 y e ? x ) d y 1
? ?
? ? ? ( x e ? y ) d x ? ( 4 y e ? x ) d y
? 2 2 2 ?
x ? 4 y ?
?
L
L
?
?
1 ? 2 ? 2 ?
? ( ? 1 ? 1 ) d ? ? S ? ? ? ? ? ? ?
D
2 ? ? 2 2
?
? ? ? 2
（ 6 6 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2 2
设 ? 为 曲 面 z ? x ? y ( 1 ? x ? y ? 4 ) 的 下 侧 ， f ( x ) 是 连 续 函 数 ，
I ? [ x f ( x y ) ? 2 x ? y ] d y d z ? [ y f ( x y ) ? 2 y ? x ] d z d x ? [ z f ( x y ) ? z ] d x d y
计 算 .
? ?
?
x y
2 2
?
? ?
【 解 析 】 由 题 意 可 得 ， F ( x , y , z ) ? z ? x ? y ， 则 ， ， F ? 1
F ? ? F ? ?
z
x y
2 2 2 2
x ? y x ? y
由 转 换 投 影 法 可 得 ：
I ? [ x f ( x y ) ? 2 x ? y ] d y d z ? [ y f ( x y ) ? 2 y ? x ] d z d x ? [ z f ( x y ) ? z ] d x d y
? ?
?
? ?
x y
? ?
? ? [ x f ( x y ) ? 2 x ? y ] ( ? ) ? [ y f ( x y ) ? 2 y ? x ] ( ? ) ? [ z f ( x y ) ? z ] d x d y
? ?
? ?
2 2 2 2
x ? y x ? y
? ? ?
? ?
1 6 / 1 92 ? 2
1 4
2 2 2
? x ? y d x d y ? d ? r d r ? ?
? ? ? ?
0 1
3
D
x y
（ 6 7 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
设 有 界 区 域 ? 由 平 面 2 x ? y ? 2 z ? 2 与 三 个 坐 标 平 面 围 成 ， ? 为 ? 整 个 表 面 的 外 侧 ， 计 算 曲 面 积 分
2
I ? ( x ? 1 ) d y d z ? 2 y d z d x ? 3 z d x d y 。
? ?
?
1
【 答 案 】
2
2
【 解 析 】 由 高 斯 公 式 可 得 ： I ? ( x ? 1 ) d y d z ? 2 y d z d x ? 3 z d x d y ? （ 2 x ? 1 ) dv
? ? ? ? ?
? ?
y
1 2 ? 2 z 1 ? z ? 1 2 ? 2 x
y 1
2
所 以 I ? ( 2 x ? 1 ) dx dy dz ? ( 2 x ? 1 ) dx ( 1 ? x ? ) dy ?
? ? ? ? ?
0 0 0 0 0
2 2
（ 6 8 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2
z ? 2 ? a x ? b y l ? ? 3 i ? 4 j
设 a , b 为 实 数 ， 函 数 在 点 ( 3 , 4 ) 处 的 方 向 导 数 中 ， 沿 方 向 的 方 向 导 数 最 大 ，
最 大 值 为 1 0 .
（ 1 ） 求 ；
a , b
2 2
（ 2 ） 求 曲 面 z ? 2 ? a x ? b y （ z ? 0 ） 的 面 积 .
{ ? 3 , ? 4 }
【 解 析 】 （ 1 ） 由 定 义 可 得 ， 沿 梯 度 方 向 的 方 向 导 数 最 大 ， 故 其 梯 度 为 ，
? ?
g r a d z ? { z , z } ? { 2 a x , 2 b y } ? { 6 a , 8 b }
由 已 知 可 得 ， 又 因 为 函 数 沿 方 向 l ? ? 3 i ? 4 j 的
x y ( 3 , 4 )
( 3 , 4 )
( 3 , 4 )
方 向 导 数 最 大 ，
6 a 8 b
?
?
?
? 3 ? 4
所 以 ， 解 得 a ? b ? ? 1 ；
?
? 2 2
( 6 a ) ? ( 8 b ) ? 1 0
?
2 2
（ 2 ） 带 入 可 得 ， z ? 2 ? x ? y ，
a ? b ? ? 1
2 ? 2
1 3 ?
2 2 2 2 2
S ? d s ? 1 ? z ? ? z ? d x d y ? 1 ? 4 x ? 4 y d x d y ? d ? r 1 ? 4 r d r ?
x y
? ? ? ? ? ? ? ?
0 0
3
2 2 2 2
?
x ? y ? 2 x ? y ? 2
（ 6 9 ） （ 本 题 满 分 1 0 分 ）
2 2 2
x ? ( y ? z ) ? ( 1 ? z ) ( 0 ? z ? 1 ) z ? 0
设 是 由 锥 面 与 平 面 围 成 的 椎 体 ， 求 的 形 心 坐 标
? ?
【 解 析 】 设 的 形 心 坐 标 为 ( x , y , z ) ， 根 据 对 称 性 可 得 ，
? x ? 0
1 1
?
2
d v ? d z d x d y ? ? ( 1 ? z ) d z ?
根 据 先 二 后 一 可 得 ：
? ? ? ? ? ? ?
0 0
3
2 2 2
?
x ? ( y ? z ) ? ( 1 ? z )
1 7 / 1 9z d v
? ? ?
1 1
?
2 1
?
z d v ? d z z d x d y ? ? z ( 1 ? z ) d z ?
z ? ?
， 则
? ? ? ? ? ? ?
0 0
1 2
2 2 2 4
d v
? x ? ( y ? z ) ? ( 1 ? z )
? ? ?
?
1
y d v ? d z y d x d y
? ? ? ? ? ?
0
2 2 2
?
x ? ( y ? z ) ? ( 1 ? z )
u ? y ? z
2
y d x d y ? ( u ? z ) d x d u = z d x d u ? ? z ( 1 ? z )
其 中
? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x ? ( y ? z ) ? ( 1 ? z ) x ? u ? ( 1 ? z ) x ? u ? ( 1 ? z )
y d v
? ? ?
1
?
1
2
?
y dv ? ? z ( 1 ? z ) dz ?
y ? ?
则 ， 则
? ? ? ?
0
12
4
d v
?
? ? ?
?
1 1
故 形 心 坐 标 为 ( 0 , , )
4 4
A ( 1 , 0 , 0) , B ( 0 , 1 , 1 ) z ? 0 , z ? 2
（ 7 0 ） 设 直 线 L 过 两 点 ， 将 L 绕 Z 轴 旋 转 一 周 得 到 曲 面 ? , ? 与 平 面 所
围 成 的 立 体 为 ，
?
（ 1 ） 求 曲 面 ? 的 方 程
（ 2 ） 求 的 形 心 坐 标 .
?
1 8 / 1 92 2 2
【 练 习 】 设 薄 片 型 物 体 S 是 圆 锥 面 Z ? x ? y 被 柱 面 Z ? 2 x 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 的 密 度
2 2 2
为 ， 记 圆 锥 面 与 柱 面 的 交 线 为 C
u ( x , y , z ) ? 9 x ? y ? z
（ I ） 求 C 在 x O y 平 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程
（ I I ） 求 S 的 质 量 M
2 2
?
x ? y ? 2 x
【 答 案 】 （ I ）
M ? 6 4
； （ I I ）
?
z ? 0
?
2 2
?
z ? x ? y ,
?
【 解 析 】 （ I ） 联 立 锥 面 方 程 和 柱 面 方 程 ， 得
?
2
z ? 2 x ,
?
?
2 2
z
消 去 ， 得 x ? y ? 2 x ，
2 2
? x ? y ? 2 x ,
x O y
即 交 线 C 在 平 面 投 影 的 方 程 为
?
z ? 0.
?
（ I I ） 由 质 量 的 求 解 公 式 ， 得
2 2 2
M ? ? ( x , y , z ) d S ? 9 x ? y ? z d S
? ? ? ?
? ?
1
2 x 2 y
2 2 2 2
2
? 9 （ 2 x ? y ） [ 1 ? ( ) ? ( ) ] dx dy
? ?
2 2 2 2
2 x ? y 2 x ? y
D
x y
2 2 2 2
? 1 8 x ? y d x d y ? 3 6 x ? y d x d y
? ? ? ?
D D
x y 1
?
2 c o s ?
2
2
? 3 6 r ? r d x d ? ? 3 6 ( r d r ) d ?
? ? ? ?
0 0
D
1
? ?
2
8 8
3 3
2 2
? 12 ? 8 ? ? 64
? 3 6 c os ? d ? ? 12 ? 8 c os ? d ?
? ?
0 0
3
3 3
1 9 / 1 9 |
|
