2017 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（ 二 ）试题
一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在 答题纸 ． ． ． 指定位置上．
（ 1） 若函数 1 c o s ,0()
,0
x x
fx ax
bx
? ? ??
= ??
?
在 0x= 处连续 ， 则
（ A） 12ab= ． （ B） 12ab=? ． （ C） 0ab= ． （ D） 2ab= ．
（ 2） 设二阶可导函数 ()fx满足 (1 ) ( 1 ) 1, (0 ) 1f f f= ? = = ?且 ( ) 0fx?? ? ， 则
（ A） 1
1 ( )d 0f x x? ??
． （ B） 1
1 ( )d 0f x x? ??
．
（ C） 01
10( )d ( )df x x f x x? ???
． （ D） 01
10( )d ( )df x x f x x? ???
．
（ 3） 设数列 {}nx 收敛，则
（ A） 当 limsin 0
nn x→? =
时， lim 0
nn x→? =
． （ B） 当 lim ( ) 0
nnn xx→? +=
时， lim 0
nn x→? =
．
（ C） 当 2lim ( ) 0
nnn xx→? +=
时， lim 0
nn x→? =
． （ D） 当 lim ( sin ) 0
nnn xx→? +=
时， lim 0
nn x→? =
.
（ 4） 微分方程 24 8 e (1 c o s 2 )xy y y x?? ?? + = + 的特解可设为 y=
（ A） 22e e ( c o s 2 s in 2 )xxA B x C x++． （ B） 22e e ( c o s 2 s in 2 )xxA x B x C x++．
（ C） 22e e ( c o s 2 s in 2 )xxA x B x C x++． （ D） 22e e ( c o s 2 s in 2 )xxA x x B x C x++．
（ 5） 设 ( , )f xy 具有一阶偏导数，且在任意的 (, )xy ，都有 ( , ) ( , )0 , 0f x y f x y
xy??????
则
（ A） (0,0) (1,1)ff? ． （ B） (0,0) (1,1)ff? ．
（ C） (0,1) (1,0)ff? ． （ D） (0,1) (1,0)ff? ．
（ 6） 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位： m ）处 .图中 ， 实线表示甲的速
度曲线 1()v v t= （单位： m/s ），虚线表示乙的速度曲线 2()v v t= ，三块阴影部分面积的数
值依次为 10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0t （单位： s ），则
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（ A） 0 10t = ． （ B） 015 20t?? ． （ C） 0 25t = ． （ D） 0 25t ? .
（ 7）设 A 为 3 阶矩阵 ， 1 2 3( , , )=P ? ? ? 为可逆矩阵 ， 且 1 0 0 00 1 0
0 0 2
?
????
=
??
P AP ， 则
1 2 3()+ + =A ? ? ?
（ A） 12+?? . （ B） 232+?? .
（ C） 23+?? . （ D） 132+?? .
（ 8） 设有矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 00 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0
0 0 1 0 0 1 0 0 2
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
===? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
A B C， 则
（ A） A 与 C 相似 ， B 与 C 相似 ． （ B） A 与 C 相似 ， B 与 C 不 相似 ．
（ C） A 与 C 不 相似 ， B 与 C 相似 ． （ D） A 与 C 不 相似 ， B 与 C 不 相似 ．
二、填空题： 9～ 14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上．
（ 9） 曲线 2(1 arc sin )yx x=+ 的斜渐近线方程为 ．
（ 10） 设函数 ()y yx= 由参数方程 e,
sin,
txt
yt? =+? =?
确定 ， 则 2
2 0dd tyx = =
．
（ 11）
20 ln(1 ) d(1 )x xx+? + =+?
．
（ 12） 设函数 ( , )f xy 具有一阶连续偏导数 ， 且 d ( , ) e d ( 1 ) e d , ( 0 , 0 ) 0yyf x y y x x y y f= + + =，
则 ( , )f x y = ．
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（ 13） 11
0 tanddy xyxx =??
．
（ 14） 设矩阵 4 1 212
3 1 1
a
?????
=
???
A 的一个特征向量为
1
1
2
????
????
??
， 则 a= ．
三、解答题： 15～ 23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上．
（ 15）（本题满分 10 分）
求 0
30
edlim x t
x
x t t
x+→
?? .
（ 16）（本题满分 10 分）
设函数 ( , )f uv 具有 2 阶连续偏导数 ， (e ,cos )xy f x= ， 求 2
20 0dd,x xyyxx= =
.
（ 17）（本题满分 10 分）．
求
21lim ln(1 )
n
n k
kknn
→? = +?
.
（ 18）（本题满分 10 分）．
已知函数 )(xy 由方程 33 3 3 2 0x y x y+ ? + ? =确定 ， 求 )(xy 的极值 .
（ 19）（本题满分 10 分）．
设函数 ()fx在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数 ， 且 (1) 0f ? ，
0
()lim 0
x
fxx
+→ ?
.证明：
（ Ⅰ ）方程 ( ) 0fx= 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根 ；
（ Ⅱ ）方程 2( ) ( ) [ ( )] 0f x f x f x?? ?+=在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根 .
（ 20） （ 本题满分 11 分 ）
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已知平面区域 22{( , ) | 2 }D x y x y y=+，计算二重积分 2( 1) d d
D x x y+??
.
（ 21）（本题满分 11 分）
设 ()yx 是区间 3(0, )2 内的可导函数 ， 且 (1) 0y = ， 点 P 是曲线 : ( )L y y x= 上的任意一
点 ， L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 (0, )PY ， 法线与 x 轴相交于点 ( ,0)PX ， 若 pPXY= ，
求 L 上点的坐标 (, )xy 满足的方程 .
（ 22） （ 本题满分 11 分 ）
设 3 矩阵 1 2 3( , , )=A ? ? ? 有 3 个不同的特征值 ， 且 3 1 22=+? ? ?
（ Ⅰ ）证明 ( ) 2r =A ；
（ Ⅱ ）若 1 2 3= + +? ? ? ?， 求方程组 =Ax? 的解 .
（ 23）（本题满分 11 分）
设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 8 2f x x x x x a x x x x x x x= ? + + ? +在正交变换 =x Qy 下
的标准形为 221 1 2 2yy??+ ， 求 a 的值及一个正交矩阵 Q .
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