2011 年 考研 数学 (二 )试题 答案 速查
一、选择题
（ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） C （ 5） A （ 6） B
（ 7） D （ 8） D
二、填空题
（ 9） 2 （ 10） e sinx x? （ 11） ln(1 2)+ （ 12） 1?
（ 13） 712 （ 14） 2
三、解答题
（ 15） 13???.
（ 16）极小值 13y=? ， 极大值 1y= ，
凸 区间为 1( , )3?? ，凹 区间为 1( , )3+? ， 拐点为 11( , )33 .
（ 17） 1 1 1 1 2(1,1) (1,1) (1,1)f f f? ?? ??++.
（ 18） e π( ) arcsin
42xyx =?
.
（ 19）略 .
（ 20） （Ⅰ） 9π4V= .（Ⅱ） 27π8Wg?= .
（ 21） a .
（ 22） （Ⅰ） 5=a .
（Ⅱ） 1 1 2 324= + ?? ? ? ?， 2 1 22=+? ? ? ， 3 1 2 35 1 0 2= + ?? ? ? ?.
（ 23） （Ⅰ）
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3
1 1 0
1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0
1 1 0
p k p k p k k k k? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
= ? = = = = = ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
.
（Ⅱ） 0 0 1000
1 0 0
????
=
??
A .
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 （ 二 ） 参考答案
一、选择题： 1～ 8 小 题 ,每小题 4 分 ,共 32 分 ． 下列每 题给出的四个选项中 ,只有一个 选项
是 符合题目要求的 ． 请将所选项前的字母填在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 1） 【答案】 C．
【 解答 】 由泰勒展开 定理 3 3sin ( )3!xx x o x= ? +， 3 3( 3 )s in 3 3 ( )3!xx x o x= ? +.
所以， 33 3 3 39( ) 3 s i n s i n 3 3 ( 3 ) ( ) 4 ( )22xxf x x x x x o x x o x= ? = ? ? ? + = +.
当 0x→ 时， 3( ) 4f x x ，所以 选择 C.
（ 2） 【答案】 B．
【 解答 】 23
30 ( ) 2 ( )limx x f x f xx→ ?
2 2 3
30 ( ) (0 ) 2 ( ) 2 (0 )l i mx x f x x f f x fx→ ? ? +=
3
30 ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )l im 2x f x f f x fxx→
????=?????(0 ) 2 (0 ) (0 )f f f? ? ?= ? = ?.
故应选 B.
（ 3） 【答案】 C．
【 解答 】 ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 )()
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x x x xfx x x x? ? + ? ? + ? ?? = ? ? ?
23 1 2 1 1( 1)( 2 )( 3)xxx x x?+= ? ?
令 2( ) 3 1 2 1 1g x x x= ? +，由于 21 2 4 3 1 1 1 2 0? = ? ? ? = ?,故 ()gx有两个不同的 实 根， 且
不是 1,2,3 ， 所以 ()fx有两个不同的驻点 .
（ 4） 【答案】 C.
【解答】 由题可知 特征方程为 220r ??=， 特征根 12rr??= =?, ， 则 齐次方程通解为
12eexxy C C???=+. 方程 2 e xyy?????=的 特解 可设为 1 e xy x a ?= ? ? ，
方程 2 e xyy?? ????=的 特解 可设为 2 e xy x b ??= ? ? ， 则由微分方程解的结构可知，
方程 2 eexxyy ??? ??? ? = +可设特解 ( e e )xxy x a b???=+.
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（ 5） 【答案】 A．
【解答】 由题设条件，
( 0 , 0 )( 0 , 0 ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) 0z f x g y f gx? ??= = =?
，
( 0 , 0 )( 0 , 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) 0
z f x g y f gy? ??= = =? .故， (0,0) 点为 函数 ( ) ( )z f x f y= 的驻点 .
又 2
2 ( 0 , 0 ) ( 0 ) ( 0 )
zA f gx? ??==? ， 2
( 0 , 0 )
( 0 ) ( 0 ) 0zB f gxy? ??= = =?? ， 2 2
( 0 , 0 )
( 0 ) ( 0 )zC f gy? ??==? .
所以 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )A C B f g g f?? ???= .如果 (0,0) 点为 函数 ( ) ( )z f x f y= 的极小值点，
则要求 20, 0A AC B? ? ?，已知有 ( ) 0, (0 ) 0f x g??，所以 ， (0 ) 0, g (0 ) 0f ?? ????，
故正确答案选 A．
（ 6） 【答 案】 B．
【 解答 】 当 π0 4x?? 时 ,有 0 s in c o s 1 c o tx x x? ? ? ?,所以 ln s in ln c o s ln c o tx x x??，
由定积分的性质，答案 选 B．
（ 7） 【答案】 D．
【 解答 】 易知 1 0 01 1 0 ,
0 0 1
????
=
??
AB
1 0 0
0 0 1
0 1 0
????
??
B = E
即 12,=AP B P B = E,所以 1 1 12 1 2 1? ? ?A = P P = P P,选答案 D．
（ 8） 【答案】 D．
【解答】易知 , ( ) 3 , ( ) 1rr==A A = O A A, =Ax0 的基础解系有 3 个线性无关的向量 ,
1 2 3 4, , ,? ? ? ? 是 =Ax0 的解 ； 又因为 T(1,0,1,0) 是方程组 0Ax= 的一个基础解系 ， 即
13+=0?? ，所以 13,?? 线性相关，则方程组 =Ax0 的基础解系为 234,,? ? ? ， 选答案 D．
二、填空题： 9～ 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 ． 请将答案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 9） 【答案】 2 .
【解答】 00
12121 l n 1 ( 1 )l n ( )
22l im l im
0
12l im e e
2
xx
xx
x x
xx
x
→→
??++ +???
??
→
??+ ==??
??
0 021 2 l n 2 1l im l im l n 22 22e e e 2 .x xx xx→ →? ?= = = =
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（ 10） 【答案】 e sinx x? .
【解答】 dde ( e c o s e d )xxxy x x C? ???= ? +? e ( cos d )x x x C?=+? e (sin )x xC?=+
由于 (0) 0,y = 故 0C= ,所以 e sinxyx?= .
（ 11）【答案】 ln(1 2)+ .
【 解答 】 π π π244 4
0001 ( )d s e c d l n | s e c t a n | l n ( 1 2 )s y x x x x x?= + = = + = +??
.
（ 12） 【答案】 1?
【 解答 】 ( ) ( )
0 0 01 1 1( ) d e d e d e dx x ttxx f x x x x x x t t?? ?? ? ?? ? ?
+ ? + ? + ? + ?? ? ?
?? == ? = =? ? ? ?
.
（ 13） 【答案】 712 .
【 解答 】 由题设条件令 cos
sinxryr??=?? =?
， 其中 π π , 0 2 sin42 r??， 所以，
π π2 s i n 2 s i n 322
π π0044d d c o s s i n d s i n c o s d dD x y r r r r r r??? ? ? ? ? ? ?= ? ? =?? ? ? ? ?
π π4 62 2
π π44( 2 s i n ) 2 7s i n c o s d s i n4 3 1 2? ? ? ? ?= = =?
.
（ 14） 【 答案】 2 .
【 解答 】 由于二次型 f 对应矩阵 1111 3 1
111
????
=??
??
A ，
( ) ( )
1 1 1
1 3 1 1 4 0
1 1 1
?
? ? ? ? ?
?
? ? ?
? = ? ? ? = ? ? =
? ? ?
EA ，
得 1 2 30, 1, 4? ? ?= = =， 因此 f 的正惯性指数为 2.
三、解答题： 15～ 23 小题 ,共 94 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 请将答
案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 15）（本题 满分 10 分）
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解 ： 当 0? 时， 2 20
0
l n ( 1 ) dl im l im l n ( 1 ) dx x
xx
tt x t t
x ?? ?→ + ? → + ?
+ = ? + = + ?? ?与已知矛盾， 不和题意 .
因为 2 22 30
110 0 0 0
l n ( 1 ) d l n ( 1 ) 1l im l im l im l im 0x
x x x x
tt xx x
x x x ?? ? ?? ? ?+ + + + ???→ → → →
+ += = = ? =? ，
所以 30???，即 3?? .
又因为 2 23 20
1 2 2
2l n ( 1 ) d l n ( 1 ) 21
0 l im l im l im l im( 1 ) ( 1 ) 1
x
x x x x
xtt xx x
x x x x
?
? ? ?? ? ? ? ?
?
??→ + ? → + ? → + ? → + ?
+ + += = = =
? ? +?
，
所以 32???， 即 1?? . 综上可得， 13???.
（ 16）（本题满分 11 分）
解： 对参数方程求导，得 2
2
d
1d()
d 1
d
y
ttyx
x t
t
?? ==
+
，
2
222
2 2 2 2 3
1d ( )
1 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 41()
dd ( 1 ) 1 ( 1 )
d
t
t t t t ttyx
xt t t t
t
?
+ ? ? ?+?? = ? = ? =
+ + +
.
令 ( ) 0yx? = ， 得 1t=? .
当 1t= 时， 得 53x= ， 13y=? ， 0y??? . 故 13y=? 为极小值 .
当 1t=? 时， 得 1x=? ， 1y= ， 0y??? . 故 1y= 为极大值 .
令 ( ) 0yx?? = ， 得 0t= ， 13xy== .
当 0t? 时， 得 13x? ， 0y??? ；当 0t? 时， 13x? ， 0y??? .
所以 曲线 ()=y yx 的 凸区间为 1,
3????????
，凹 区间为 1,
3??+?????
， 11( , )33 为拐点 .
（ 17）（本题满分 9 分）
解： ? ? ? ?
12, ( ) , ( ) ( )z f x y y g x y f x y y g x y g xx? ? ? ?= ? + ??
? ?2 1 1 1 1 2, ( ) ( , ( ) ) ( , ( ) ) ( )z f x y y g x y f x y y g x x f x y y g x g xxy? ? ?? ????= + +????
? ? ? ?
2 2 1 2 2( ) , ( ) ( ) [ , ( ) ] [ , ( ) ] ( )g x f x y y g x y g x f x y y g x x f x y y g x g x? ? ? ?? ??+ ? + ? +
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又 ()gx在 1x= 可导，且为极值 ,所以 (1) 0g? = ，
所以， 2
1 1 1 1 1 21d | (1 , 1 ) (1 , 1 ) (1 , 1 ) .dd xyz f f fxy == ? ?? ??= + +
（ 18）（本题满分 10 分）
解 : 由题 当 0x= 时， 有 d0 , ( 0) 1 , ta n d yyy x??= = =.
方程 dtan dyx?= 两边对 x 求导，可得 22
2ddsec yxx?? ?=
①
由 ddyxx?= ,则 ① 式可化为 2 2
2
d d d1 d d dy y yx x x????+ ? =??????
??
，即 方程 ( )21y y y?? ? ?=+ ②
令 yp?= ，有 d
dpypy??=
，则 ② 式可化为 3d
dpp p py =+
③
由于 0yp?=?，所以 ③ 变为 2d 1
dp py=+
④
解方程 ④ 得 1arctan p y C=+. 再有 (0 ) 0, (0 ) 1,yy?==可得
1 π4C=
.
所以， πtan
4yy???=+????
，分离变量，两边积分得
2πsin e4 xyC??+=????
.
由 (0) 0y = ，得
2 22C=
，因此 e π( ) arcsin
42xyx =?
.
（ 19）（本题满分 10 分）
证 ：（ Ⅰ ） 设 ( ) ( ) 1ln 1 , 0 ,f x x x
n??= + ? ????
.
显然 ()fx在 10,
n??????
上满足拉格朗日中值定理 :
( )1 1 1 1 1 10 l n 1 l n 1 l n 1 , 0 ,1ffn n n n n??? ? ? ? ? ? ? ?? = + ? = + = ? ?? ? ? ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? ? ?
当 10,
n? ???????
时， 1 1 1 1 1 1
1 1 1 01 n n nn ?? ? ? ? ?+++
,即 1 1 1 1
11n n n?? ? ?++
，
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121?Oyx222y y+=1xy
1 1 1ln 11n n n??? + ???+ ??.
结论得证 .
（ Ⅱ ） 利用（ Ⅰ ）的结论 ,可以得到 11ln(1 )1nn?++ ，所以 11ln 1 0
1nn??? + ???+ ??
得到
1nnaa+ ? ，即数列 ??na 单调递减 .
因为，
11l n l n 1 l n
nn
n kka n nkk== ??= ? ? + ???????
，
而， ( )
1 1
1 1 2 3 4 1l n 1 l n l n l n 11 2 3nn
k k
kn nk k n
= =
++? ? ? ? ? ?+ = = ? ? = +? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?，
所以， ( )
11l n l n 1 l n l n 1 l n 0
nn
n kka n n n nkk== ??= ? ? + ? ? + ? ???????
.
（ 20）（ 本题满分 11 分 ）
解 :（ Ⅰ ） 12V V V=+ ( ) ( )12 222
1 12π 2d π 1dy y y y y?= ? + ???
23
2
1
2
π 3yy??=?????+
13 2
1
π 3yy
?
?????
??
=π 153
4??+?????
=9π4
（ Ⅱ ） 22d π ( 2 ) ( 1 )d π ( 2 ) 1 ( 1 ) dW g y y y g y y y?? ??= ? ? + ? ? ???
1 2222
11 2π ( 2 ) ( 1 ) d π ( 2 ) 1 ( 1 ) dW g y y y g y y y? ??= ? ? + ? ? ?????
1 23 2 3 22
11 2π ( 2 2 ) d ( 4 4 ) dg y y y y y y y y? ???= ? ? + + ? +??????
1 1 1 224 3 2 2 3
12 2 2 22
2 11
11 21 1 1
22
24π 22
4 3 2 4 3
y y y y yg y y?
?
? ? ?
= ? ? + + ? +
27π8 g?= .
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（ 21）（本题满分 11 分）
解： 11
00d ( , ) dxyI x x yf x y y??= ?? 1100d ( , )dxx x ydf x y y?= ??
( ) ( )10d , , dxxx x y f x y f x y y????=?????
( )1100d ( , 1 ) ( , ) dxxx x f x f x y y??=???.
因为 ( ,1) 0fx= ,所以 ( ,1) 0xf x? = .
1100d ( , ) dxI x x f x y y?=? ?? 1100d ( , )dxy xf x y x?=???
1110
00d ( , ) ( , )dy x f x y f x y x??= ? ???????
11
00d (1 , ) ( , ) dy f y f x y x??= ? ???????
d( , ) dD f x y x y=?? a= .
（ 22） （ 本题满分 11 分 ）
解 :（ Ⅰ ） 由于 1 2 3,,? ? ? 不能由 1 2 3,,? ? ? 线性表示， 则 对 于 1 2 3 1 2 3( , , , , , )? ? ? ? ? ?进行初
等行变换：
1 2 3 1 2 3( , , , , , )? ? ? ? ? ?=
1 1 3 1 0 1
1 2 4 0 1 3
1 3 1 1 5a
????
??
1 1 3 1 0 1
0 1 1 1 1 2
0 2 3 0 1 4a
????
→?
???
1 1 3 1 0 1
0 1 1 1 1 2
0 0 5 2 1 0a
????
→?
????
.
当 5a= 时， 1 2 3 1 2 3 1( , , ) 2 ( , , , ) 3rr= ? =? ? ? ? ? ? ?,此时， 1? 不能由 1 2 3,,? ? ? 线性表示，
故 5a= .
（ Ⅱ ） 对 1 2 3 1 2 3( , , , , , )? ? ? ? ? ?进行初等行变换 :
1 2 3 1 2 3( , , , , , ) =? ? ? ? ? ?
1 0 1 1 1 3
0 1 3 1 2 4
1 1 5 1 3 5
????
??
1 0 1 1 1 3
0 1 3 1 2 4
0 1 4 0 2 2
????
→
??
1 0 1 1 1 3
0 1 3 1 2 4
0 0 1 1 0 2
????
→
????
1 0 0 2 1 5
0 1 0 4 2 1 0
0 0 1 1 0 2
????
→
????
.
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故 1 1 2 324= + ?? ? ? ?， 2 1 22=+? ? ? ， 3 1 2 35 1 0 2= + ?? ? ? ?.
（ 23）（本题满分 11 分）
解 :（ Ⅰ ） 设 ( ) ( )TT121 , 0 , 1 , 1 , 0 ,1= ? =??，则
( ) ( )1 2 1 2,,=?? ? ? ?A ，即 1 1 2 2,= ? =? ? ? ?AA， 从而 A 有 特征值 121, 1??=? = ，对应
的特征向量分别为 ( )1 1 1 0kk?? ， ( )2 2 2 0kk?? .
由于 ( ) 2A=R ,所以 3 0?= .
由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 3 0?= 对应的特征
向量为 ( )T3 1 2 3,,x x x=? ，则
T13
T23
0,0.? =? =
?
???? 即 13
13
0,0.xxxx?=?? +=
?
解此方程组，得 ( )T3 0,1,0=? ,故 3 0?= 对应的特征向量为 ( )3 3 3 0kk?? .
故 A 的所有特征值为 1 2 31, 1, 0? ? ?= ? = =，对应的特征向量分别为 ( )1 1 1 0kk?? ，
( )2 2 2 0kk?? 和 ( )3 3 3 0kk?? .
（ Ⅱ ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：
( ) ( ) ( )T T T3121 2 31 2 3111 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 022= = ? = = = =?? ? ?? ?.
令 ( )1 2 3,,= ? ? ?Q ，则 T 1 1
0
?????
==
??
?Q AQ ，
T=A Q Q?
22
022
220
122
22
0 0 1 1 0
22
022 0 1 0
0
22
??
??? ??
?? ???
????
= ?? ??
??
?????
????
??
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心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
22
022
220
22
22
0 0 0 0
22
22 0 1 0
0
22
??
??? ??
???
??
= ??
??
??
????
??
0 0 1
000
1 0 0
????
=
??
.
心彼心插班生
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