2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 （ 一 ） 试题
一、选择题： 1～ 8 小 题，每小题 4 分，共 32 分 ． 下列每 题给出的四个选项中，只有一个 选
项是 符合题目要求的 ． 请将所选项前的字母填在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 1） 曲线 2
2 1xxy x += ?
的渐近线的条数为
（ A） 0 . （ B） 1. （ C） 2 . （ D） 3 .
（ 2） 设函数 2( ) ( e 1 ) ( e 2 ) ( e )x x n xf x n= ? ? ?， 其中 n 为正整数 ,则 (0)f? =
（ A） 1( 1) ( 1)!n n???. （ B） ( 1) ( 1)!n n??. （ C） 1( 1) !n n?? . （ D） ( 1) !nn? .
（ 3） 如果函数 ( , )f xy 在 点 (0,0) 处连续 ,那么下列命题正确的是
（ A） 若极限
00
( , )lim| | | |
xy
f x yxy
→→ +
存在 ， 则 ( , )f xy 在 点 (0,0) 处可微 .
（ B） 若极限
2200 ( , )limxy f x yxy→→ +
存在 ， 则 ( , )f xy 在 点 (0,0) 处可微 .
（ C） 若 ( , )f xy 在 点 (0,0) 处可微 ， 则极限
00
( , )lim| | | |
xy
f x yxy
→→ +
存在 .
（ D） 若 ( , )f xy 在 点 (0,0) 处可微 ， 则极限
2200 ( , )limxy f x yxy→→ +
存在 .
（ 4） 设 2π
0 e sin d ( 1 , 2 , 3 )k xkI x x k==?
， 则有
（ A） 1 2 3I I I??. （ B） 3 2 1I I I??. （ C） 2 3 1I I I??. （ D） 213I I I?? .
（ 5） 设
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 1 1
0 , 1 , 1 , 1
c c c c
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
= = = ? =? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
α α α α，其中 1 2 3 4, , ,c c c c 为任意常数，则下列
向量组线性相关的为
（ A） 1 2 3,,α α α . （ B） 1 2 4,,α α α . （ C） 1 3 4,,α α α . （ D） 234,,α α α .
（ 6） 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵， 且 1 1000 1 0
0 0 2
?
????
=
??
P AP ，若 1 2 3( , , )=P α α α
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1 2 2 3( , , )=+Q α α α α， 则 1? =Q AQ
（ A） 1 0 00 2 0
0 0 1
????
??
. （ B） 1000 1 0
0 0 2
????
??
. （ C） 2 0 00 1 0
0 0 2
????
??
. （ D） 2000 2 0
0 0 1
????
??
.
（ 7） 设随机变量 X 与 Y 相互独立 ， 且分别服从参数为 1与参数为 4 的指数分布 ， 则
{}P X Y?=
（ A） 15 . （ B） 13 . （ C） 23 . （ D） 45 .
（ 8） 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 ， 则两段长度的相关系数为
（ A） 1. （ B） 12 . （ C） 12? . （ D） 1? .
二、填空题： 9～ 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 ． 请将答案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 9） 若函数 ()fx满足方程 ( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f x?? ?+ ? =及 ( ) ( ) 2e xf x f x?? +=， 则
()fx= .
（ 10） 2 2
0 2dx x x x?=?
.
（ 11）
( 2 ,1,1)
()+=grad zxy y .
（ 12） 设 { ( , , ) | 1 , 0 , 0 , 0 }x y z x y z x y z? = + + =， 则
2dyS
? =??
.
（ 13） 设 ? 为 3 维单位列向量 ， E 为 3 阶单位矩阵 ， 则矩阵 TE??? 的秩为 .
（ 14） 设 ,,ABC 是随机事件 ， A 与 C 互不相容 ， 1()2P AB = ， 1()3PC= ，
则 ( | )P AB C = .
三、解答题： 15～ 23 小题，共 94 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 请将答
案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 15） （ 本题满分 10 分 ）
证明 : 21l n c o s 1 ( 1 1 )12xxx x xx+ + + ? ? ?? .
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（ 16） （ 本题满分 10 分 ）
求函数 222( , ) e xyf x y x +?= 的极值 .
（ 17） （ 本题满分 10 分 ）
求幂级数 2 2
0
4 4 321 n
n
nn xn?
=
+++? 的收 敛域及和函数 .
（ 18） （ 本题满分 10 分 ）
已知曲线 ():
cosx f tL yt=?? =? (0 )2t ??
， 其中函数 ()ft 具有连续导数 ， 且
(0) 0f = , () 0ft? ? (0 )2t ??? .若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，
求函数 ()ft 的表达式 ， 并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积 .
（ 19） （ 本题满分 10 分 ）
已知 L 是第一象限中从点 (00)， 沿圆周 222x y x+=到点 (20)， ， 再沿圆周
224xy+=到点 (02)， 的曲线段 .计算曲线积分
233 d ( 2 ) dLI x y x x x y y= + + ?? .
（ 20） （ 本题满分 11 分 ）
设
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 1 0
a
a
a
a
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?==
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
A ， ?.
（Ⅰ） 计算行列式 A ；
（Ⅱ ） 当实数 a 为何值时 ， 方程组 ?=Ax 有无穷多解 ， 并求其通解 .
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（ 21） （ 本题满分 11 分 ）
已知
1 0 1
0 1 1
10
01
A
??
??
= ???
???
a
a
， 二次型 TT1 2 3( , , ) ( )x A A x=f x x x 的秩为 2 .
（Ⅰ） 求实数 a 的值 ；
（Ⅱ） 求正交变换 =x Qy 将 f 化为标准形 .
（ 22） （ 本题满分 11 分 ）
设二维离散型随机变量 ( , )XY 的概率分布为
Y
X 0 1 2
0 14 0 14
1 0 13 0
2 112 0 112
（Ⅰ） 求 { 2 }P X Y= ；
（Ⅱ） 求 ( , )Cov X Y Y? .
（ 23） （ 本题满分 11 分 ）
设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 2( , )N?? 与 2( ,2 )N ?? ,其中 ? 是
未知参数且 0?? .记 Z X Y=?.
（Ⅰ） 求 Z 的概率密度 2( ; )fz? ；
（Ⅱ） 设 12,,nZ Z Z 为来自总体 Z 的简单随机样本 ,求 2? 的最大似然估计量 2? ；
（Ⅲ） 证明 2? 为 2? 的无偏估计量 .
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