第四章 解析函数的级数展开4.1.1 复数项级数概念4.1 复数项级数的基本概念定义 4.1.1 复数项无穷级数 若部分和复数列
存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即
(4.1.2)记作
(4.1.3)定义4.1.2 级数收敛 定义4.1.3 级数发散 若部分和数列无有限的极限，则称级数发
散 根据上式判断级数是否收敛，实际上比较困难.事实上，由于 根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断
复数项级数收敛的简单方法.定理4.1.2 和虚部都收敛.条件是级数的实部定理 4.1.4.例4.1. 考察级数的敛散性.【解】
由定理4.1.2 知，只需讨论级数的实部级数 和虚部级数的敛散性. 因为级数发散，故原级数发散.定义4.1.
4 绝对收敛级数 若级数 收敛，称原级数为绝对收敛级数.定义4.1.5 条件收
敛级数 若复数项级数收敛，但级数发散，则称原级数为条件收敛级数.说明： 级数的各项
均为非负实数，因此为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则，如比较判别法，比值法判别法或根式判别法等判断其收敛性.但反之不一定
成立.另外，若有 ，则 或因此又可以得到下面的定理定理 4.1.6 定理 4.1.7 绝对
收敛级数的各项可以重排顺序 而不改变其绝对收敛性与和；定理 4.1.8 例4.1.2 判定下列级数的敛散性，若收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？(1)； 【解】(2) (2) 因，都收敛，故原级数收敛，但因为条件收敛，所以原级数为条件收敛.
是定义在区域D上的复变函数 序
列，则称表达式4.2 复变函数项级数定义 4.2.1 复变函数项级数为复变函数项级数（简称复函数项级数）.(4.2.1)该级数
前n项和称为级数的部分和.4.3.2. 收敛圆与收敛半径 4.3.3 收敛半径的求法4.4 解析函数的泰勒级数展开式4.4.1泰
勒级数4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法4.5罗朗级数及展开方法4.5.1罗朗级数4.5.2 罗朗级数展开方法实例4.6 本章典型综合实例 |
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