2021年全国硕士研究生招生考试
数 学（二）
（科目代码∶302）
一、选择题（1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.）
（1）当x→0时， （e-1）dt 是x''的（ ).
（B）等价无穷小（A）低阶无穷小
C）高阶无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
工≠0.（2）磁数/（4）. ''在x =0处（ ）.
_
x=0
（B）连续且取最小值（A）连续且取最大值
（D）可导且导数不为零（C）可导且导数等于零
（3）有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2 cm/s，—3 cm/s，当底面半径为
10 cm，高为5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）.
（B）125x cm3/s，一40π cm''2/s（A）125π cm2/s，40π cm2/s
（C）-100π cm2/s，40π cm2/s （D）-100π cm3/s，-40π cm2/s
的取值范围是（ ）.（4）设函数 f（x）=ax —bln x（a >0）有两个零点，则-
红
(B)(0,)(A)(e, +0o)
efo.) (D(4.+)
（5）设函数f（x）=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1＋ax+bz2，则（ ）.
- ’
(B)a=1,b=（A）a=1，b=一+ 一少/av
1 一(Da =0b=-（C）a=0，b=一
2 2
（6）设函数f（x;y）可微，且f（x+1，e）=x（x+1）2，f（x，x2）=2r''In工，则df（1，1）=
( ).
(D)-dy(C)dy(B)dx-dy(A)dr +dy
2021年数学（二）试题 第1页（共4页）
f(x)dx =( ).（7）设函数 f（x）在【0，1】上连续，则
(=1) 26二）(B)lim-少’(A)li
（（云2）， (Dlm>/()?(C>lim 下、
（8）设二次型f（x;，2，x;）=（x;＋xz）2＋（x。＋工3）2-（z;-x;）2的正惯性指数与负惯性
指数依次为（ ）.
(C)2,1(B)1,1 (D)1,2(A)2,0
（9）设3阶矩阵A=（a，α。，αy），B=（β，B。，β、），若向量组α;，α，α。可以由向量组β，Bz，
β、线性表出，则（ ）.
（A）AX=0的解均为BX=0的解
（B）A''X=0的解均为BTX=0的解
（C）BX=0的解均为AX=0的解
（D）B''X=0的解均为A''X=0的解
言言量一心 ，若存在下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使得
).PAQ 为对角矩阵，则P，Q分别可以取（
长景 m:
l'',9),)t5，引（）(C)
二、填空题（11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.）
(11) x |3-dr=_
&y(r =2e+1+1, 所确定，则（12）设函数y=y（x）由参数方程 _____
y=4(1-1)e''+t
（13）设函数z=z（x，y）由方程（x+1）z十ylnz一aretan2xy=1确定，则 下” =___
（14）已知函数 f（）=J d-J _sin 等dy，则"（ （工） = _
（15）微分方程 y"一y=0的通解为___.
部学 中x3项的系数为____.（16）多项式f（x）=
2021年数学（二）试题 第 2 页（共4页）
三、解答题（17～21小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17）（本题满分10分）
1+ 飞任
求极限Ilim
e-1 sin 工
（18）（本题满分12分）
忙一“一已知 f（x）=干 求f（x）的凹凸区间及渐近线.
1+x
（19）（本题满分12分）
（（二ax=号r''-++C，L为曲线y=f（r）（4≤x≤9）L的弧长设函数f（x）满足
为s，L绕x轴旋转一周所形成的曲面面积为A，求s与A.
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（20）（本题满分12分）
设y=y（x）（x>0）满足微分方程xy''-6y=-6，且满足y（③）=10，
（I）求 y（x）;
（Ⅱ）设P为曲线y=y（x）上的一点，曲线y=y（x）在点P的法线在y轴上的截距为1I，，
为使Ip最小，求P的坐标.
（21）（本题满分 12分）
曲线（z2+y）=x2一y（r≥0;y≥0）与x 轴围成的区域为D.求zydrds.
（22）（本题满分 12分）
昌 仅有两个不同的特征值.若A相似对角于对角矩阵，求常数a，b的
值，并求可逆矩阵P，使得P-''AP为对角矩阵.
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