2020年全国硕士研究生招生考试
数 学 （二）
（科目代码∶302）
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.）
（1）当x→0 时，下列无穷小量中最高阶的是（ ).
(B)in(1+√F)da气乓(A)
之台飞(coj (D" √sin zdt
ln 1+x(2)f(x)=
的第二类间断点的个数为（）.
(e''-1)(x-2)
(A)1 (C)3(B)2 (D)4
六泳节！：(3)
子叫 认(B)? 乙？己” 当(D): o硝
（4）设f（x）=x2ln（1-x），当n≥3时，f"（0）=（ ）.
弓心号心
(n-2)! (n2)!(D.(C)-
n亡
“？“宁
：。（5）关于函数 f（x，y）=< y =0，给出如下结论，
z=0,y·
。g =l;o.o2
2② =1;
引记一 合己
③ lim f(x,y)=0;
④limlimf(x,y)=0.
其中正确的个数是（ ）.
(D)1(C)2(B)3(A)4
2020年数学（二）试题 第1 页（共4页）
（6）设函数f（x）在【-2，2】上可导，且f''（x）>f（x）>0，则（）.
f(O)f(-2) (B)(A)
>e”？一 f（一1）∶F（一1）
r(1) r(2)(D):(C)
“门”
.
（7）设4阶矩阵A=（a。）w不可逆，，an的代数余子式An≠0，α，α。，a，α;为矩阵A的列
向量组，A·为A 的伴随矩阵，则方程组A''X=0的通解为（ ）.
（A）X=k|α∶＋kzα。十k，α。，其中k，k。，k。为任意常数
（B）X=k;α1十kzα。十kα，其中太1，k。，k、为任意常数
（C）X=k|a;十k。α、十k。α，其中k，k。，k。为任意常数
（D）X=k，α∶+k;α3十k、a。，其中k，k2，k。为任意常数
（8）设A为3阶矩阵，α，α。为A的属于特征值l的线性无关的特征向量，α。为A的属于特征
值一1的特证向题.财使得p（ 的可逆矩阵P为（ ）.
（A）（α1 十αy，，α2，-a。） (B)(α;+α:,a。,-αs)
(C)(α;+αz,-α,,α:) (D)(a+α。,-α,,a。)
二、填空题（9～14 小题，每小题4分，共24 分.请将答案写在题中的横线上.）
x=√+1, 名心
（9）设 ，则
y=In(t+√F+1)
8y)(10) ”十产”“s
（11）设z= arctan【xy ＋ sin（x＋y）】，则dz|o.，=____·
（12）斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉入水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度
为g，水密度为 p，则该平板一侧所受的水压力为___.
（13）设y=y（x）满足y"+2y''+y=0，且y（0））=0.，y''（0）=1，则 y(x)dr =__
式平
●
（14）行列式
三、解答题（15～23小题，共94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分10分）
，代占求曲线y=— -（x >0）的斜渐近线方程.
(1+x)+
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（16）（本题满分10 分）
f(z) 2=1g（z）=（xt）由，求g（z），并证明g''（z）在工=0已知函数 f（x）连续且lim
科
处连续
（17）（本题满分10分）
求函数f（x·y）=x3＋8y3—xy的极值.
（18）（本题满分10分）
，求 f（x），并求设函数f）的定义域为0.+~）且满足2/）+''（）-芳
临曲线y=/（x）.=''.=? 及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.
lo
（19）（本题满分 10分）
十y -dz dy.平面区域D由直线x=1，x=2，y=工 与x 轴围成，计算
a
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（20）（本题满分11分）
设/4）-】da.
（Ⅰ）证明∶存在专∈（1，2），使得f（专）=（2-6）e3;
（Ⅱ）证明∶存在η∈（1，2），使得 f（（2）= ln 2·ne2.
（21）（本题满分11分）
设曲线y=f（x）可导，且/''（x）>0，曲线y=f（x）（z≥0）经过坐标原点O，其上任意
一点M处的切线与工轴交于T，又MP垂直x轴于点P，已知由曲线y=f（x），直线MP
以及x 轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3∶2，求满足上述条件的曲线方程.
（22）（本题满分11分）
设二次型f（x;，7，xa）=xi十x呈＋x号＋2ax;x。＋2ax|x;＋2axax。经可逆线性变换
y(x:
空运 化为二次型g（y1，y，ys）=yi＋yi＋4y3＋2y1yz∶
，
（I）求a的值;
（Ⅱ）求可逆矩阵P.
（23）（本题满分11分）
设A为2阶矩阵，P=（α，Aa），其中α是非零向量且不是A的特征向量.
（I）证明∶P为可逆矩阵;
（Ⅱ）若Aα＋Aα—6α=0，求PAP，并判断A是否相似于对角矩阵.
2020年数学（二）试题 第4 页（共4页）
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