2020年全国硕士研究生招生考试
数学(三)
(科目代码：303)
一、选择题(1?8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)
(1) 设 1口 心—° = b ,则 lim sinfQ) —sina =().
x-^a x — — a x-a 3C — —a
(A)6sin a (B)6cos a (C)6sin /(a )
(D)bcos /(a )
i
In I 1 4- rr I
(2) 函数心)=二 的第二类间断点的个数为(
).
(e — 1) (j? — 2)
(A)l (B)2 (03 (D)4
(3) 设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则( ).
(A) f [cos /"(/)+ /^(Olldr 是奇函数
J 0
(E)「[cos /(i)+/(O]d^ 是偶函数
J 0
(C) [ [cos /"''(/) +y(t)]d/ 是奇函数
J 0
(D) 「[cos 是偶函数
J 0
(4) 设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a ”Q + l)2n的收敛区间为( ).
n = \ n = 1
(A)(-2,6) (B)(-3,l)
(0(-5,3) (D)(- 17,15)
(5) 设4阶矩阵A = (a “)不可逆,a的代数余子式A12丰O,aj ,a 2 ,a 3 ,a,为矩阵A的列向量
组,A为A的伴随矩阵，则方程组AX= 0的通解为( ).
(A) X=^1a 1 +^2a 2 +^3a 3,其中 kx,k2,k.为任意常数
(B) X=^1a 1 + k2a2+k3a4,其中 k,,k2,k3 为任意常数
(C) X=bS +展as +匕。4,其中紅,k2,k3为任意常数
(D) X =kia2 k2a3 +怂。4,其中 ki ,k2^k3 为任意常数
(6) 设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as 为A的属于特征
I1 ° °\
值一1的特征向量，则满足P_1AP= 0 -1 0的可逆矩阵卩为( ).
''o 0 1''(A) (a j a 3 ,a 2, — a 3) (B) (a 〕+ ct2，a2 ，— a 3)
(C) (a 1+ a 3, — a3 ,a2) (D)(a T + a 2? —a 3,a 2)
(7) 设A,B,C为三个随机事件，且
PC A) =P(￡) = P(C) =±,P(AB) =O,P(AC) =P(BC) = 2，
4 12
则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为( ).
3 2 1 5
(A) Z (B) T (C) 7 (D) 12
(8) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4； - ，则下列随机变量中服从标准正
态分布且与X相互独立的是( ).
(A)啤(X + Y) (B)尝(X —丫)
5 5
(C) y(X +Y) (D) y(X-Y)
二、填空题(9?14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)
(9) 设 z = arctanRy + sin(z + 了)],贝0 dz | (0,?)= ______ .
(10) 曲线jc y + e2iy = 0在点(0, — 1)处的切线方程为________ .
(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100 + 13Q,该产品的单价为/ ,需求量
—2,则该厂家获得最大利润时的产量为
(12)设平面区域。=卜，夕)| < 1J，则D绕夕轴旋转所成的旋转
体的体积为________ .
a 0 -1 1
0 a 1 -1
(13)行列式
-1 1 a 0
1 -1 0 a
(14) 设随机变量X的概率分布为P{X=R =寺仏=1,2,3,…)，Y表示X被3除的余数，则
2
E(Y) =________ .
三、解答题(15?23小题，共94分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分10分)
已知为常数9若(1 ) — e与-在7? fOO时是等价无穷小9求(16)(本题满分10分)
求函数f(8 ,y) =jc3 + 8y3 — xy的极值.
(17)(本题满分10分)
设函数 y =心)满足 y，'' + 2y，+ 5y =0,且 /(0) = 1 ,/z(0) = - 1.
(I )求/(jc )的表达式；
f-l-oo g
(H)设 a ” = | .f (z )dz ，求 A a ”.
J ” s — 1
(18)(本题满分10分)
设 D = {(jc ,y) ，连续函数 f (工，y)满足 fCsc —y x2 +
?zjJ/Xz ,_y) (lzdy ，求,y)cLzdj/.
D D
(19)(本题满分10分)
设函数fG)在区间[0,2]上具有连续导数,/''(0)=于⑵=0,M = max {| f{jc) | }，证明:
工€[0,2]
(I)存在W C (0,2),使得
(U)若对任意的7 e (0,2), |十(工)I 则M=0.
(20)(本题满分11分)
设二次型/(j ： 1，工2)= — 4工口2 + 4云 经正交变换(1) = Q )化为二次型
g()i，夕2)=ay\ +4夕1夕2 其中 a > b.
(I )求a』的值；
(H)求正交矩阵Q.(21)(本题满分11分)
设A为2阶矩阵,P = (a ,Aa )，其中a是非零向量且不是A的特征向量.
(I )证明：P为可逆矩阵；
(H)若A2a +Aa -6a =0,求P lAP,并判断A是否相似于对角矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)在区域D ={(工，夕)| 0 V夕V』\_芒}上服从均匀分布，令
_ (1, X—Y>0, _ [1, X+Y>0,
1 =(0, X-YW0, 2 _(0, X+Y<0.
(I )求二维随机变量(乙忆2)的概率分布；
(U )求Z1与Z2的相关系数.
(23)(本题满分11分)
设某元件的使用寿命T的分布函数为
F(/)= [l-少)”，心 0,
(0, 其他，
其中0,加为参数且大于零.
(I)求概率 P{T>t}与 P{T>s-\-t | T > 5},其中 s >0,t >0；
(D)任取"个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为"丿2,…，几，若加已知，求0
的最大似然估计值丄 |
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