十字交叉法的用途及局限
十字交叉法是许多老师和学生熟悉和喜爱使用的一种方法。为什么这么好一种方法，在高考的阅卷中却不予给分？为什么在一九九一年高考第27题中，不少学生用十字交叉法解出的答案却是错的。因此，本文不着重讨论十字交叉法的具体应用，而主要谈谈十字交叉法的来历，应用的范围和局限，让我们认识十字交叉法到底是什么？
我在研究三角正弦法时，使我对十字交叉法有了很深该的认识。如果你看了我的《三角正弦法解化学题》这篇文章后，你也许也会明白这个道理。因为三角正弦法和十字交叉法是十分相似的，但又存在不同。因此，本文将从比较的角度来讨论相关的问题。
一、十字交叉法的来历
十字交叉法与三角正弦法有着共同的祖先。它们都是由下面的二元一次方程组(求和公式(推导的变式公式得出来的。
求和公式：A＝A1×(1＋A2×(2 ((1＋(2＝1(。
在高低求中类计算中，将A2理解为两个纯量中的高量，(2为高量所占的丰度(即物质的量百分含量或气体的体积百分含量)；把A1理解为低量， (1为低量所占的丰度；且A2＞A1； A为高量及低量组成的混合物的中量。
求和公式有以下五个变式：
① A＝A1＋(A2－A1)×(2 ② A＝A2－(A2－A1)×(1
③ (1＝ ④ (2＝ ⑤ ＝
以上变式是化学技巧计算的公式，尤以③、④、⑤用途最大。但由于记忆较难，故改用下列三角正弦图示法，使之变得更为明白、易记和易算。其推导过程如下：
若两个纯量(高量和低量)为一直角三角形的锐角顶点，由它们组成的中量为该直角三角形的直角顶点，三角形的边长为边上两顶点数据之差，那么，可得如下关系：
Sin A1＝＝＝(1
Sin A2＝＝＝(2
＝＝＝
由此可得出三角正弦法则：
高量的丰度就是高量的正弦，低量的丰度就是低量的正弦；高量与低量的比值就是它们所对应的边之比。
若把中量放在十字的中心，高量和低量放在左边的线头上，而把它们的丰度放在右边的线头上，则得到十字交叉法的图示方法。这种图示与求和公式变式⑤吻合，可理解为求和公式变式⑤的图示法。
由上推导可知，三角正弦法是求和公式变式④和⑤的图示法。因而它将有两个用途：求比值和丰度。而十字交叉法的用途是求比值，若要求丰度则需另外进行计算。
由此分析还可看出，凡是采用上述求和公式计算的数学和化学计算问题，皆可用十字交叉法和三角正弦法加以快速计算。十字交叉图示法和三角正弦图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)。
二、十字交叉法的应用范围和局限
既然十字交叉图示法和三角正弦图示法的实质一样，只不过一个是伸出去，另一个是缩回来。那末，它们的应用范围和局限都应该一样。它们都可以用来解决以下的有关高低求中的问题。
(1( 同位素(一般求原子数比或原子含量，也可求质量比或质量含量)；
(2( 混合气体(一般求体积比和体积百分含量，或物质的量之比和物质的量百分含量；也可求质量比或质量含量)；
(3( N2及氮氧化物的混合物；
(4( 气体混合物燃烧；
(5( 平衡混合物；
(6) 反应热；
(7) 固体混合物反应(既可求物质的量比或物质的量百分含量，也可以求质量比或质量百分含量)；
(8( 化肥混合物(只能求质量比或质量百分含量)；
(9( 溶液混合(只能求质量比或质量百分含量)。
例1：铜有两种天然同位素和，铜的相对原子质量为63.5，估算的百分含量约是(MCE86.二.5.) E
A( 20% B. 25% C. 50% D. 66.7% E. 75%
解析：这种题的常规解法有二：
解法一：设两个未知数，解二元一次方程组。
设和的百分含量分别为x%和y%，可得：
x%＋y%＝1
63x%＋65y%＝63.5
解得：x%＝75%， y%＝25%。故应选E。
解法二：设一个未知数，解一元一次方程式。
设的百分含量为x%，则的百分含量为1－x%，可得：
63x%＋65(1－x%) ＝63.5，
x%＝75%。故应选E。
若用三解正弦图示如图一所示，的正弦即为其百分含量，即%＝×100%＝75%。若用十字交叉图示如图二所示，与原子个数比为0(5∶1(5，%＝×100%＝75%。
由上所述，好象十字交叉法和三角正弦法是一种解题方法，但其实它们只是解法一中的二元一次方程组或解法二的一元一次方程式(两者等效(的一种图示简捷算法而已。这可由下面例题的解法中看出。
例2：CH4在一定条件下催化氧化可以生成C2H4、C2H6(水和其它产物忽略不计)。取一定量CH4经催化氧化后得到一种混合气体，它在标准状况下的密度为0.780 g / L。.0%，计算混合气体中C2H4的体积百分含量。(本题计算过程中保持3位有效数字) (MCE95.)
解法一：设反应前CH4为1 mol，其中有x mol转化成C2H4，即生成 mol C2H4和mol C2H6。
反应后混合气体的总物质的量 ＝ 0.800 mol＋0.200 mol× ＝ 0.900 mol
＝ 0.780 g / L
解得 x ＝ 0.0800 mol
C2H4的体积百分含量 ＝×100% ＝ 4.44%
解法二：设反应后所得混合气体的相对平均摩尔质量为，反应生成的C2H4和C2H6两者(C2Hx (的相对平均摩尔质量为，
＝ 0.780 g / L×22.4 mol / L ＝ 17.472 g / mol
C2Hx
0.2 0.1
16×0.8＋0.1×＝17.472 ①
＝29.248
(注：①式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算，如图三和图四。
， x ＝ 11.776， ＝ 29.248(
设C2H4和C2H6在C2Hx中的物质的量分数分别为y1和y2，
则可得：28×y1＋30×y2＝29.248 ②
＝＝
(注：②式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算，如图五和图六。
＝＝(
CH4∶C2H4∶C2H6 ＝ 0.8∶×5∶×3 ＝ 64∶5∶3
C2H4% ＝×100% ＝ 4.17%(涉及高、中、低三种量)的计算问题都可用十字交叉图示法和三角正弦图示法解出，因此，十字交叉法和三角正弦法只是代替上述两种算法的一种图示简捷算法，是一种数学模式；它们只不过比具体解二元一次方程组来得简捷方便而已。
因此，在正式考试解答这类题时，只须在试卷上写出对应的二元一次方程组或一元一次方程式，而在草稿上用十字交叉法或三角正弦法很快解出，将其结果写在答卷上。
正如在应用三角正弦法一样，在应用十字交叉法时要注意的是，有些题既可以求物质的量(或气体体积)比或物质的量(或气体体积)百分含量，又可以求质量比或质量百分含量。对于这种情况，必须弄清怎样使用这两种图示法。通过下面例题的分析和求解能帮助我们很好地认识这两种图示法的使用方法和局限。
(MCE91.27)实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气的14.5倍，可知其中乙烯的质量百分比为 ( C )
A. 25.0% B. 26.6% C. 72.4% D. 75.0%
解析：由混合气体对氢气的相对密度可求得其平均相对分子质量为29，不少学生就用十字交叉法来解此题：
由此可得乙烯的质量百分比为：×100%＝75%。显然，这是错的，因为本题的正确答案是C而不是D。
为什么会出现这种结果，这是因为你实际上是假设了乙烯和氧气的分子数是1个分子(或物质的量是1 mol(，故乙烯和氧气采用的是相对分子质量(或摩尔质量(，画的是质量(即相对分子质量)十字交叉，即本题的前提条件是两种纯量为等分子数(或等物质的量(，只不过表现出来是摩尔质量的数字而已。由于假设的是等分子数(或等物质的量(，因而求得的当然是分子数(或物质的量(的百分含量。当然，由分子个数百分含量也可找到正确答案，这是由于乙烯的相对分子质量比氧气稍小，故乙烯的质量分数稍小于75%，故应选C。只不过不少的学生不知道这样算出来的结果不是质量百分含量，更不会意识到用此结果来寻求正确答案。
对于这种问题，能不能直接用十字交叉法来求质量比或质量分数呢？通过以上分析的思考，使我想到了假设等质量可能会得出正确的结果。这都可以从许多题中得到证实。如果本题要用十字交叉法直接算乙烯的质量分数，则须假设三种量为等质量。若假设等质量为224 g，则氧气的物质的量为7 mol，乙烯为8 mol，混合气体为7.724 mol，画出三者物质的量的十字交叉如下：
即可得出混合气中乙烯的质量分数是，故应选C。
由此得出的结论是：若要用十字交叉法来求物质的量的关系，须假设两纯量和中量为等物质的量(对于气体也可以设等体积)，找出对应的质量(若设1 mol，则为各物质的摩尔质量，数值就是相对分子质量)，画质量关系的十字交叉图示求解；若要用十字交叉法来求质量的关系，则须假设两纯量和中量为等质量，找出对应的物质的量(对于气体也可以是体积)，然后画物质的量(或体积)十字交叉图示求解。
矢量三角形解化学题
摘要 中学化学的基本计算是根据分子式和化学方程式的计算，本文独创了矢量三角形来表示其相关物质间量的关系式，并使之图示化，模型化；介绍了矢量三角形法则解一类化学计算基础题的原理和计算方法，以及具体应用。矢量三角形是一种技巧解法。
关键词 矢量三角形 矢量法则 矢量法
矢量三角形是中学化学中关于百分含量计算的一种图示方法。
矢量三角形可如下推出：一个分数的分子和分母同乘以一个数，其值不变，即：＝，然后将每一分数都带上百分符号即成为百分含量计算的矢量三角形法则的公式：＝。矢量三角形如右图所示，箭号上的分数的分子为箭头所指的量，分母为箭尾所指的量。两个箭头方向一致，一个箭头方向相反。矢量三角形法则可描述为：箭头方向一致的两个百分率相乘一定等于箭头方向相反的一个百分率。(若所画三个箭号方向一致，则三个百分率的乘积为1)这与物理学上的矢量关系相同，故叫它为矢量三角形。
在化学上，也存在这种三角形关系，如：不纯物中某元素的百分含量 ＝ 纯化合物中某元素的百分含量×纯化合物在不纯物中的百分含量(即纯度)。即可用上述矢量三角形加以计算。因此，用矢量三角形可解中学化学中一类计算题。另外，还可以将其衍变为多边形来解有关计算题。化学中许多基础计算可以采用矢量三角形求解，其原因在于这类计算反映的物质间的关系是一种包含关系或相当关系，化学反应中物质间的相互关系也是一种相当关系，而矢量三角形的箭号正体现了这种关系，因而它相当于化学反应计算中的关系式，只不过我把这种关系搞得更普遍、更广泛，且成链和环式了。因此，只要是完全转化的化学反应，相当于根据分子式的计算；而部分转化的化学反应，则不能根据分子式计算，而要弄清化学方程式中的系数关系，才能正确地加以计算。这就是矢量三角形计算的依据和应注意的问题。
下面讨论矢量三角形的的具体应用。
例1：有一硫铵样品，经分析测得含硫酸铵85%，试计算该样品中含有效成分的百分含量。
解析：氮肥中有效成分的百分含量是指含氮量。此题存在三个百分率，85%是硫铵样品的纯度，硫酸铵有一个含氮量(＝，这其实是已知量)，样品有一个含氮量，设为x%，可画成右图的三角形，按照上述三角形的箭头关系，得出：85%×＝x%，x%＝18%。即有效成分为18%。
例2：某产地磷灰石平均含有30% P2O5，求该磷灰石含磷酸钙的百分率。
解析：磷灰石中含Ca3(PO4)2，由于有效成分是折算成P2O5计的，故可看作Ca3(PO4)2中含P2O5，则磷灰石中也含P2O5。而Ca3(PO4)2折算成P2O5是已知量(＝)。如图，由矢量三角形法则知：30%＝x%×，x%＝65.5%。即磷灰石含磷酸钙为65.5%。
其实这种箭号方向是可以任意画的，只不过箭号反了，分数中的分子和分母也要打个颠倒；三种物质也可以任意摆放，只不过物质的摆法不同，对应的百分率也要改变。但这些都不影响其计算结果。如右图所示，按照矢量法则可得：x%×＝，其结果一样。
例3：把1 g钢铁样品中所含的碳全部氧化，得到CO2 0.0185 g，这种样品属于( C )
A. 生铁 B. 高碳钢 C. 中碳钢 D. 低碳钢
解析：把钢样、CO2和碳摆在三角形的三个顶点上，构成三角形，再确定三个百分率，如图所示，钢样在箭尾，CO2在箭头，故该箭号上的分数应为，按矢量法则计算：×＝x%，x%＝0.50484%，应选C。
例4：分析磁铁矿时，将铁沉淀为Fe(OH)3，再灼烧为Fe2O3，当灼烧的Fe2O3的质量(g)在数值上等于试样中Fe3O4的百分含量，应称取试样为 ( C )
A. 0.69 g B. 0.73 g C. 0.97 g D. 1.45 g
解析：设磁铁矿为x，所含Fe3O4为 G%，灼烧的Fe2O3的质量为G% g，由矢量三角形知：＝G%，x＝＝0(97 g，应选C。
注意：3Fe2O3 — 2Fe3O4。
例5：取一种不纯的碳酸钠(含有少量杂质硫酸盐)27 g跟足量的盐酸作用，放出11 g二氧化碳，计算这种碳酸钠中Na2CO3的纯度。
解析：不纯碳酸钠、纯碳酸钠和CO2可构成矢量三角形，按照矢量三角形法则可得：x%×＝，x%＝98.1%。即碳酸钠的纯度为98.1%。
例6：有一种不纯的Na2SO4样品重1.56 g，把这样品溶解并让它与BaCl2溶液起反应，生成的沉淀的质量是2.50 g，计算Na2SO4在原样品中的百分含量。
解析：设Na2SO4在原样品中的百分含量为x%，按照矢量三角形法则可得：x%×＝，x%＝ 97.67%。即样品中含Na2SO4为97.67%。
三角形法则也可衍变为正四边形或菱形矢量法则。
例7：w t赤铁矿(含氧化铁a%)，若利用率为b%，最多可炼出含铁c%的生铁( A )
A. B. C. D.
解析：铁矿石、氧化铁和生铁组成一个三角形，铁、氧化铁和生铁组成一个三角形，即铁矿石、氧化铁、生铁和铁可组成一个正四边形。若设生铁为x t，有效铁矿石为w t×b%，要注意1 mol氧化铁中含2 mol铁(＝)。按照矢量法则可得：＝，x＝。应选A。
例8：用含杂质为10%的黄铁矿为原料，用接触法制造硫酸。现有37.34 t此种黄铁矿，能制得98%的浓硫酸多少吨？
解析：由题意知，黄铁矿的纯度(即FeS2百分含量)为1－10%＝90%，设能制得98%的浓硫酸为x t，按照矢量法则可得：＝，x＝56.01 t。即能制得56.01 t浓硫酸。
例9：100 t含Fe2O3 90%的赤铁矿，在冶炼过程中损失Fe 1%，求能炼得含杂质4%的生铁多少？(提示：此处损失生铁1%，也可按损失Fe2O3 1%计算)
解析：有效铁矿石为100 t×(1－1%)，生铁中含铁为1－4%＝96%，设生铁为x，按照矢量法则可得出：×96%＝ ×90%，x＝64.97 t。即可炼得64.97 t生铁。
例10：原用含90% K2CO3钾肥10 t，现改用纯度为98%的K2SO4，需这种硫酸钾肥料多少吨才能与10 t上述碳酸钾的肥效相等？(均以K2O计算)
解析：设硫酸钾样品质量为x，按照矢量法则可得：98%×＝90%×，x＝11.58 t。即需11.58 t硫酸钾肥料。
也可以将两个三角形组合成菱形。
例11：已知某氯化钠样品中NaCl的最高质量分数为97.5%。问：(1) 从1.00 g样品中沉淀Cl－需要多少亳升的0.100 mol / L AgNO3溶液？(2) 最多能生成AgCl多少克？
解析：设AgNO3和AgCl的质量分别为y，x。根据矢量法则可得：＝，y＝2.83 g。V＝＝0.0167 L＝16.7 mL；＝＝2.39 g。
答：(1) 需要16.7 mLAgNO3溶液；(2) 最多能生成AgCl2.39 g。
例12：用含有20%淀粉的马玲薯制取麦芽糖。若取这种马铃薯60 t，经过反应后，共制得10.26 t麦芽糖。求淀粉生成麦芽糖的转化率。
解析：马铃薯、淀粉与理论和实际的麦芽糖可构成一菱形，设理论麦芽糖的质量为x，淀粉生成麦芽糖的转化率应为×100%，按照矢量法则可得：
＝，(＝ ＝＝ 81%。即麦芽糖的转化率为81%。
三角形也可衍变为共有一个顶点的双三角形。
例13：某铁矿石含有80%的Fe2O3、10%的SiO2和10%的其它杂质。求铁、硅在此铁矿石的质量分数各是多少？
解析：本题可建立以铁矿石为共同顶点的双三角形。设铁矿石中含Fe为x%，含Si为y%，按照矢量法则可得：x%＝80%×＝56%；y%＝10%×＝4.67%；即铁矿石中含铁56%，含硅4.67%。
例14：某有机物0.4086 g完全燃烧后，生成1.0308 g CO2和0.1808 g水。求这种化合物里各元素的质量分数。
解析：该有机物燃烧后只生成CO2和水，说明该有机物为烃或烃的含氧衍生物。设该有机物含H为x%，含C为y%。按照矢量法则可得：x%＝＝4.9%；y%＝＝68.8%；其中还含有氧，为1－68.8%－4.9%＝26.3%。即该有机物含碳 68.8%，含氢4.9%，含氧26.3%。
例15：今有仅由C、H、O组成的有机化合物。如取此化合物7.00 mg完全燃烧，则得到17.60 mg CO2和5.41 mg H2O。已知该化合物的相对分子质量为70。试求该化合物的分子式。
解析：设该有机物含H为x%，含C为y%。按照矢量法则可得：x%＝ ＝8.6%；y%＝＝68.6%；其中含氧为1－68.6%－8.6%＝2.8%。n(C)＝＝4 mol，n(H)＝＝6 mol，n(O)＝＝1 mol，该有机物的分子式为C4H6O。
例16：有一纯AgCl和AgBr的混合物，含银60.4%。求该混合物中溴的质量分数。
解析：设该混合物为100 g，含Br为x%，则含Cl为39.6%－x%，AgCl和AgBr的质量分别为z、y，根据矢量法则可得出：x%＝；39.6%－x%＝；z＋y＝100 g。解这三个方程组，得：x%＝ 35.5%。即混合物中溴为35.5%。
例17：加热KClO3和KCl的混合物的样品12.00 g直到所有氧都已从样品中除去。反应生成物和未反应的KCl的总质量是9.00 g。求原混合物中KClO3的质量分数是多少？
解析： 设原KClO3的质量为x，则原KCl的质量为12.00 g－x，又设KClO3分解生成的KCl的质量为y，可得出如下图示。并可得出以下两个联立方程式：
12.00 g－x＋y ＝9.00 g
＝
y ＝
x ＝＝7(66 g，
＝63.8%。
即KClO3的质量分数是63.8% 。
例18：把1g含有脉石(SiO2)的黄铁矿试样在氧气中灼烧后，得到残渣0.76 g。此黄铁矿的纯度为 ( C )
A. 52% B. 65% C. 72% D. 78%
解析：设FeS2的质量为x，Fe2O3的质量为y，要注意2FeS2—Fe2O3，故有120×2。
1 g－x＋y ＝0.76 g
1g－x＋，
x＝0.72 g，＝72%
故纯度为：＝72%。
同分异构体的书写方法
1．截长变支法
对于链烃，可采用此法。先直链，后支链。每次把主链碳原子数减一个来作支链，支链的位置：若有对称面的，从边二到中；若无对称面的，从左二到右二。(注意：支链接在端头无意义！)支链的数目：由少到多。支链的大小：由小到大。两个支链的关系：邻—间—对。按此顺序书写就不会漏写同分异构体。
例1：写出C7H16的同分异构体。
解析：庚烷的同分异构体共有9种，最大的支链是乙基。其书写顺序如下：
规律：链烃(碳原子数为n(中最大的取代基的碳原子数≤。由此可知，当n≤3(甲烷、乙烷、丙烷(无同分异构体，丁烷开始出现甲基作为支链的碳链异构体，庚烷开始出现乙基作为支链的碳链异构体，癸烷开始出现丙基作为支链的碳链异构体。
2．亚甲基移位法
对于烃的衍生物，可用此法，将左边的亚甲基依次移向右边，即形成不同的同分异构体。
例2：写出C4H8O2的同分异构体。
解析：此分子式符合通式CnH2nO2，应是饱和一元羧酸和对应的酯。先写丁酸，然后用截长变支法写出酸的同分异构体(共2种)，最后用亚甲基移位法写出酯的同分异构体(共4种)。因此，该分子式所应有的同分异构体是6种。
3、残基分析法
对于复杂的有机物，且要求按条件书写同分异构体，可采用此法。首先考虑主体组成，然后从总的组成中减去主体后的剩余部分(即残基)，再按条件确定残基可能的结构，从而写出符合题意要求的同分异构体。
例3：有些环状化合物的结构简式，可进一步简化，例如A式可简化为B式，C式是1990年公开报导的第1000万种新化合物。
则化合物C中碳原子数是_______，分子式是_______________。若D是C的同分异构体，但D属于酚类化合物，而且结构式中没有—CH3基团。请写出D可能的结构简式(任意一种，填入上列D方框中)。(MCE91.38.)
解析：由题中所给新信息A即是B，进行知识迁移，可确定C的碳原子数为14，分子式为C14H20O。由于D属于酚类，因此酚基是主体，为—C6H4OH，残基应为—C8H15。题中要求结构式中没有—CH3基团，故残基部分应是烯基或环烷基。且酚上的羟基和残基可以是邻、间、对位，故可以写出多种不同的同分异构体。如：
例4：A、B两种有机化合物，分子式都是C9H11O2N。
(1) 化合物A是天然蛋白质的水解产物，光谱测定显示，分子结构中不存在甲基(－CH3)。化合物A的结构是_____________。
(2) 化合物B是某种分子式为C9H12的芳香烃一硝化后的唯一产物(硝基连在芳环上)。化合物B的结构式是_______________。(MCE94.33)
解析：(1( 天然蛋白质的水解产物是(—氨基酸，故A应含有—CH(NH2(COOH，残基为C7H7，由于分子中不含－CH3，理应含有苯环，为C6H5CH2—。
(2( 分子式为C9H12的芳香烃有8种：间三甲苯、邻三甲苯、邻对三甲苯、邻甲乙苯、间甲乙苯、对甲乙苯、正丙苯、异丙苯等。取代反应只生成一取代物的只有一种结构：间三甲苯。
答案：
相同平衡、相似平衡、等效平衡和等变平衡
一、相同平衡
相同平衡是指初始量不同而建立的平衡状态完全相同的平衡。求同平衡是指求建立相同平衡状态的计算问题，它是化学平衡计算的一类新题型。这类计算问题是从教材中的平衡定义引入得出的，其内容是：一定条件下的可逆反应，无论从正反应起，还是从逆反应起，还是从正、逆反应同时开始，只要条件不变，都可建立相同的平衡状态。
对于这种相同平衡状态的规律是：
1．该类问题的标准态是：从正反应开始，反应物的初始量的数值为化学计量数(注意：不是化学计量数比！(。
2．从逆反应开始，生成物的初始量的数值为化学计量数时，可建立与上述标准态相同的平衡状态。
3．当从正、逆反应同时开始时，反应物之间、生成物之间、反应物和生成物的初始量具有如下的关系：反应物之间或生成物之间是化学计量数之比关系，某一反应物的初始量与化学计量数之比加上生成物的初始量与化学计量数之比等于1。如：
mA(g)＋nB(g) pC(g)＋ qD(g)
(1( m n 0 0 (标准态(
(2( 0 0 p q (从逆反应开始(
(3( a b c d (从正、逆反应同时开始(
① a＜m，b＜n
② a∶b = m∶n c∶d = p∶q
③ ＋＝1，＋＝1， ＋＝1 ，＋＝1。
一定条件下的可逆反应，当两组反应物的初始量是化学计量数之比的倍数时，可将反应式中各物质的化学计量数增大相应倍数，并以此作为标准态，这时也是相同平衡状态的计算问题。
二、相似平衡
我们知道，对于一可逆反应达到平衡状态后，反应物及生成物的三种量(初始量、变化量和平衡量(存在着一定的关系。
(1( 反应物和生成物的变化量始终是化学计量数之比的关系。
(2( 若果反应物的初始量是化学计量数之比关系，那么它们的变化量和平衡量都是化学计量数之比关系；若果反应物的初始量不是化学计量数之比关系，那么它们的平衡量也不是化学计量数之比关系。(生成物也相同(
对于一可逆反应达到平衡状态后，反应物及生成物存在着几组不同的的初始量时，若是符合标准态时存在前述相同平衡的规律及关系。
如果反应物的初始量不是化学计量数的倍数关系时，则存在以下关系：
(1( 反应物及生成物的变化量始终是化学计量数关系。
(2( 如果反应物的两组初始量是倍数关系，则对应的变化量及平衡量也是倍数关系。如果反应物的两组初始量不是倍数关系，则对应的平衡量也不会是倍数关系。(生成物也相同(
如果所给反应是一个反应前后气态物质总体积不变的反应，压强增大或减小不能使化学平衡移动；成倍地增加反应物或生成物的量，平衡状态也不会改变。
以上两种情况所涉及的某些平衡量间存在一定的对应关系。我们姑且把它叫做相似平衡。它们可能是相同平衡状态，但某些量存在倍数关系。
如果两个化学平衡状态相似，则应符合相似平衡原理(简称相似原理(。
相似平衡原理：对于两个相似平衡，各对应物质的平衡量的比值应相等。或任一物质平衡时物质的量(或体积(百分含量相同。
若存在下面两个相似平衡：
mA(g)＋nB(g) pC(g) ＋qD(g) mA(g)＋ nB(g) pC(g)＋ qD(g)
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2
x1 y1 z1 w1 x2 y2 z2 w2
则：
一定条件下的可逆反应，当两组反应物的初始量成化学计量数比关系时，即可建立与标准态相似的平衡状态。对于2HI(g) H2(g)＋I2(g) 这类可逆反应，改变压强或同倍改变容器体积时，也可以得到相似平衡。如果反应物的初始量不是化学计量数关系，只要两组反应物的初始量成倍数关系，也可以建立相似平衡的关系。
三、等效平衡
等效平衡问题是指利用等效平衡(相同平衡或相似平衡(来进行的有关判断和计算问题，即利用与某一平衡状态等效的过渡平衡状态(相同平衡(进行有关问题的分析、判断，或利用相似平衡的相似原理进行有关量的计算。所以等效平衡也是一种思维分析方式和解题方法。这种方法往往用在相似平衡的计算中。
由上叙述可知，相同平衡、相似平衡和等效平衡是不同的，相同平衡是指有关同一平衡状态的一类计算，相似平衡是指几个不同但有着比值关系的平衡的一类计算，而等效平衡则是利用平衡等效来解题的一种思维方式和解题方法。
建立相同平衡或相似平衡与外界条件有关，一是恒温恒容，一是恒温恒压。
在恒温、恒容下，对于象2X(g(＋Y(g(2Z(g(这种类型(反应前后气体的体积数不等(的平衡反应，只要能使各物质的初始物质的量分别相等，就可以建立相同平衡。两个平衡的所有对应平衡量(包括正逆反应速率、各组分的物质的量分数、物质的量浓度、气体体积分数、质量分数等(完全相等。而对于X(g(＋Y(g(2Z(g(这种类型(反应前后气体的体积数相等(的平衡反应，只要能使各物质初始物质的量之比相等就可以建立相似平衡。即两平衡的关系是相似关系。两平衡中各组分的物质的量分数、气体体积分数、质量分数、各反应物的转化率等对应相等；而两平衡中的正逆反应速率、各组分平衡时的物质的量及物质的量浓度等对应成比例。
在恒温、恒压下，只要使各物质初始浓度相等即可建立相似平衡。即两平衡的关系是相似关系。两平衡中的正、逆反应速率、各组分平衡时的物质的量浓度、物质的量分数、气体体积分数、质量分数、各反应物的转化率等对应相等；而两平衡中各组分平衡时的物质的量等对应成比例。
四、等变平衡
如果两反应物的初始量的数值之和为它们化学计量数之和，在相同条件下达到的平衡状态与标准态达到的平衡状态的某一反应物或某一生成物的百分含量相同，则这两种状态下反应物和生成物的变化量是相同的，这类问题叫等变平衡问题。等变平衡问题需要求的是两反应物的初始量之间的关系。这种问题可采用极限分析法或一般形式的推导。(如成都市00一诊29(3(的解法(
如有下列可逆反应，且两组不同的初始量所建立的两种平衡状态存在等变平衡关系，则则这两种状态下反应物和生成物的变化量是相同的，并且存在以下的关系：
mA(g)＋ nB(g) pC(g)＋qD(g)
Ⅰ a b c d
Ⅱ x y z w
(1( a＋b＝m＋n，
(2( 设x＞y，＞＞
例：已知T℃、P kPa时，往容积可变的密闭容器中充入2 mol X和1 mol Y，此时容积为V L。保持恒温恒压，使反应：2X(g(＋Y(g(2Z(g( 达到平衡时，Z的体积分数为0(4。试回答下列有关问题：
(1( 使温度和压强在上述条件下恒定不变，再往上述密闭容器内充入4 mol Z，则反应达到平衡时，容器的容积为 ，Z的体积分数为 。
(2( 若另选一容积固定不变的密闭容器，仍控制温度为T℃，使4 mol X和2 mol Y反应达到平衡状态时，Z的体积分数仍为0(4，则该密闭容器的容积为 。
(3( 若控制温度仍为T℃，另选一容积为V L的固定不变的密闭容器，往其中充入一定量的X和Y，使反应达到平衡，这时Z的体积分数仍为0(4。则充入的X和Y的物质的量应满足的关系是：a n(Y(＜n(X(＜b n(Y(，其中a为 ，b为 。
答：(1( V L；0(4 (2( V L (3( 0(5；5
解析：2X(g(＋Y(g( 2Z(g( 2X(g( ＋ Y(g( 2Z(g( ①
2 1 0 2 1 0
2x x 2x 1 0(5 1
2 (2x ＋ 1( x ＋ 2x ＝ 3 ( x 1 0(5 1
＝0(4，x＝0(5，2x＝1
(1( 由于平衡与过程无关，
2X(g( ＋Y(g( 2Z(g( 2X(g( ＋Y(g( 2Z(g(
2 1 4 2 1 4
2y y 2y 1 0(5 1
2＋2y 1＋y 4 ( 2y 3 ＋ 1(5 ＋ 3 ＝ 7(5
由相似平衡的原理：两个平衡中各物质的平衡量的比值相等。
＝，4y＝2，2y＝1 V L＝2(5 V L
(2( 2X(g(＋Y(g( 2Z(g( 2X(g( ＋ Y(g(2Z(g(
4 2 0 4 2 0
2z z 2z 2 1 2
2 (2z 1(z 2z 2 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 5
由相似平衡的原理：两个平衡中各物质的平衡量的比值相等。
＝，4z＝4，z＝1 。该容器的体积为： V L。
(3( 本小题采用极限分析法。
2X(g(＋Y(g( 2Z(g( 2X(g( ＋ Y(g( 2Z(g(
2(5 0(5 0 1 2 0
0 0
1 0(5 1 1 0(5 1
由上图示知，当Y初始物质的量为0(5 mol时，X初始物质的量为2(5 mol，X的物质的量度为Y的物质的量的5倍，但由于变化量不可能为0，故Y初始物质的量要大于0(5，
即b＜5。当X初始物质的量为1 mol时，Y初始物质的量为2 mol，X的物质的量度为Y的物质的量的0(5倍，但由于变化量不可能为0，故X初始物质的量要大于1，即a＞0(5。
这是一种等变平衡，现以X的初始量为2(4 mol，Y为0(6 mol为例加以说明。
2X(g(＋ Y(g( 2Z(g( ② 2X(g(＋ Y(g( 2Z(g( ③
2(4 0(6 0 1(2 0(6 0(8
1(0 0(5 1(0 0(2 0(1 0(2
1(4 0(1 1(0 1 0(5 1
①与②状态中反应物的初始量之和等于两物质的化学计量数之和(2.4＋0.6＝2＋1＝3(，它们的变化量相同，而初始量和平衡量并不相同，而Z物质的百分含量依然是0(4。③状态中反应物的初始量之和不等于两物质的化学计量数之和(1(2＋0.6＝1(8(，仅管Z物质的百分含量依然是0(4，但其变化量却与①不相同。
这种变化量没有改变，但平衡量变了，而Z物质的百分含量依然不变的平衡叫做等变平衡。
解法二：(1(和(2(两小问可用图示法表示：
(1) (2)
第(3(小问可用一般推导得出一般式。
2X(g( ＋ Y(g( 2Z(g(
n(X( n(Y( 0
2x x 2x
n(X( (2x ＋n(Y( ( x ＋ 2x ＝ n(X(＋n(Y( ( x
＝0(4，2x＝
由于平衡量不能为0，故可得出：
① n(X( (2x＞0，n(X(＞，n(X(＞0(5 n(Y(；
② n(Y( ( x＞0，n(Y(＞，n(X(＜5 n(Y(。
解法三：恒温、恒压下进行下列可逆反应：
2X(g( ＋Y(g(2Z(g( 平衡时Z的体积分数
① 初 2 mol 1 mol 0 0(4
② 初 0 0 2 mol 0(4
③ 初 0 0 6 mol 0(4
显然，恒温恒压下，分别在该容器中进行的三个初始量不同的反应，分别达到平衡时，①和②能达到等同平衡，①(或②(和③能达到等效平衡。所以它们分别达到平衡时，Z的体积分数都为0(4。
2X(g(＋Y(g( 2Z(g(
n0(mol( 0 0 6
n变(mol( 2x x 2x
n平(mol( 2x x 6 (2x 共6＋x
＝0(4，x＝1(5 mol，平衡时容器内共7(5 mol气体。
达平衡时，令容器的体积为V1，由阿伏加德罗定律知：
，V1＝2(5 V L
(2( 由题意：2 mol X和1 mol Y在T℃、P kPa条件下初始容积为V L的可变密闭容器中达到平衡时，Z的体积分数为0(4。
2X(g(＋Y(g(2Z(g(
n0(mol( 2 1 0
n变(mol( 2y y 2y
n平(mol( 2(2y 1(y 2y 共3＋y
＝0(4，y＝0(5 mol，平衡时容器内总的物质的量为2(5 mol。
令此时容器的体积为V2，由阿伏加德罗定律知：
，V2＝V L
① X：2 mol，Y：1 mol X，Y，Z
V，T，P V ，T，P
② X：2 mol，Y：1 mol X：4 mol，Y：2 mol
V ，T V3，T
由①可抽象：在温度为T、V L的定容器中充入2 mol X和1 mol Y达平衡时，Z的体积分数为0(4，此平衡态设为Ⅰ。
由②可看出在定容V3容器中充入4 mol X和2 mol Y达平衡时，Z的体积分数为0(4，此平衡态设为Ⅱ。
很明显，Ⅰ和Ⅱ的关系为等效平衡。
＝2，即在V3容器中X、Y的初始量都是在V L容器中X、Y初始量的2倍。
故V3＝V L
(3( 2X(g( ＋ Y(g( 2Z(g(
n0(mol( n(X( n(Y( 0
n变(mol( 2z z 2z
n平(mol( n(X( (2z ＋n(Y( ( z ＋ 2z ＝ n(X(＋n(Y( (z
＝0(4，
n(X(－2z＞0 n(X(＞2z＞0
n(Y(－z＞0 n(Y(＞z＞0
n(X(＋n(Y(＝6z
2z＜n(X(＜5z
z＜n(Y(＜4z
n(X(＋n(Y(＝6z
＜＜ ＜＜5 ＜＜5
n(Y(＜n(X(＜5n(Y(，对照 a n(Y(＜n(X(＜b n(Y(
a＝，b＝5
评析：③小题与①②小题无多大关系，而考生易把③小题当成①②小题的等效平衡分析，结果误入歧途。
化学资料 - 18 -
V
2(5V
5V
7.5V
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