高中数学 必修第一册 人教A版2.1 等式性质与不等式性质通过学习本节内容,能从具体问题中理解不等关系,体会不等式与等式的异同点.学 习
时还应掌握以下几点知识:1.理解不等式的概念,能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.梳理等式的性质,掌握不等式的性质,并能
运用这些性质解决有关问题.3.理解两实数大小关系的基本事实,初步学会用作差法比较两实数的大小. 在现实世界和日常生活中,既有相等
关系,又存在着大量的不等关系,不等关系 常用① 不等式????表示.不等关系两实数大小关系的基本事实等式与不等式的性质续表1.若?
>1,则a>b.?(????? )提示:若?>1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a b>0.?(????? )提示:因为x2-x+1=?+?>0,所以x2>x-1.3.?x∈R,都有x2>x-1.?(????? )
提示:在等式中,若a=b,则ac=bc,结论是正确的;但在不等式中,若a>b,则当c>0时,ac> bc;当c=0时,ac=bc;
当c<0时,acb,则ac>bc.
?(????? )5.a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a>b.?( √ )提示:若ac2>bc2,则c2≠0,因此c2>0,
从而?>0,所以ac2×?>bc2×?,即a>b.判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ?” .如何比较实数(代数式)的大小
中国某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景点吃比萨,他点了个直径为9英寸 的比萨.过了一会儿,服务员客气地端来了两份直径5英寸的比萨
,说:“9英寸的比 萨卖完了,给您两个5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”这名中国高中生听后一愣,客气地请服务员叫来了店老板,说:“
圆的面积公式为S= πr2,算下来9英寸的比萨面积约是63.62平方英寸,而5英寸的比萨面积约是19.63平 方英寸,两个5英寸的
面积加起来是39.26平方英寸,你给我三个比萨我还亏着呢!怎 么能说多送我一英寸呢?”老板听后无语,最后给了他四个5英寸的比萨,并
竖起拇指道:“中国高中生真厉 害!”问题1.你能把服务员犯的错误用不等式表示出来吗?提示: 服务员错误地认为:若a+b>c,则a2
+b2>c2.2.文中的高中生是如何比较出比萨的大小的?提示: 用作差法比较比萨面积的大小.?比较实数(代数式)大小的方法??
比较下列两组数的大小,并说明理由.(1)?+?与?+?;(2)当x>1时,x3与x2-x+1.思路点拨作差?变形?判断符号?确定大
小.解析????(1)(?+?)2-(?+?)2=17+2?-(17+2?)=2?-2?>0,∴(?+?)2>(?+?)2,∴?+
?>?+?.(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),∵x>1,∴x-
1>0,又x2+1>0,∴x3-(x2-x+1)>0,∴x3>x2-x+1.?? 已知a>b>0,比较?与?的大小.思路点拨作商
→变形→判断商与1的大小关系→确定大小.解析????∵a>b>0,∴?>0,?>0,∴?÷?=?·?=?=?=1+?>1,∴?>?
. 已知-4≤x-y≤-1,-2≤x+y≤3,求2x-y的取值范围.问题1.能否用x-y和x+y表示出2x-y?提示:能,用待定
系数法.2.由问题1的结论能否求出2x-y的取值范围?提示:能,利用不等式的性质可以求出2x-y的取值范围.如何利用不等式的性质求
代数式的取值范围3.某同学用以下方法求解了情境探究中的问题,请指出他错在了哪里.解:-4≤x-y≤-1①,-2≤x+y≤3②,由①
+②得-6≤2x≤2③,由②得-3≤-x-y≤2④,由①+④并整理得-?≤-y≤?⑤,由③+⑤得-?≤2x-y≤?.故2x-y的取
值范围是-?≤2x-y≤?.提示:他多次使用了同向不等式相加的性质,扩大了2x-y的取值范围.?1.利用几个代数式的取值范围来确定
某个代数式的取值范围是一类常见的综合问 题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等价变 形,在一个解题过
程中多次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围,解题时 务必小心、谨慎,同时要注意正确使用不等式的性质.解决此类问题,可先建立
待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一 次不等关系的运算求得待求式的取值范围,可以避免错误.2.利用不等式性质求范围的
一般思路:(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;(3)结合不等式的传递
性进行求解.??(1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;(2)已知-1 (3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤?≤9,求?的取值范围.思路点拨先将要求范围的解析式用条件中的解析式表示出来,再利用已
知范围进行不等式 运算求未知代数式的取值范围.解析????(1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m
-n)b=4a-2b,则?解得?∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).∵3≤3(a-b)≤6①,2≤a+b≤4②,∴①+②,得5
≤4a-2b≤10.故4a-2b的取值范围为5≤4a-2b≤10.(2)∵-1 a-b<2.又∵a
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