高中数学 必修第一册 人教A版4.3 对数4.3.1 对数的概念4.3.2 对数的运算1.理解对数的概念,会进行对数式与指数式的互化.2
.理解对数的运算性质和换底公式,能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.3.体会数学抽象的过程,加强对逻辑推理、数学运算素养的培养.
1.对数的概念?一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①????x=logaN????, 其
中a叫做② 对数的底数????,N叫做真数.2.常用对数与自然对数通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为③
????lg N????;以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为④????ln N????.3
.对数与指数的关系?(1)当a>0,a≠1时,ax=N?x=logaN;(2)对数恒等式:?=⑤????N????(a>0,且a≠
1,N>0).对数的概念4.对数的性质?(1)⑥ 负数和0????没有对数;(2)loga1=⑦ 0????,logaa=⑧ 1?
???.(a>0,且a≠1) 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=⑨????logaM+logaN
????;(2)loga?=logaM-logaN;(3)logaMn=⑩????nlogaM(n∈R)????.对数的运算性质1
.logab=??????(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)????.2.推论:logab=?,?bm=?logab.
(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0)换底公式1.因为(-2)2=4,所以2=log(-2)4.?(????? )提示:因
为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以结论错误.2.当a>0,且a≠1时,?=N.?( √ )提示:当a>0,且a≠1时,ax=
N?x=logaN,将x=logaN代入ax=N,得?=N.3.若ln N=?,则N=?.?(????? )提示:ln N=?,则
N=?.4.loga(xy)=logax·logay.?(????? )提示:根据对数的运算性质可知loga(xy)=loga|x
|+loga|y|,结论错误.5.loga(-2)3=3loga(-2).?(????? )提示:公式logaMn=nlogaM(
n∈R)中的M应为大于0的数,结论错误.6.使对数log2(-2a+1)有意义的a的取值范围是?.?( √ )提示:要使对数log
2(-2a+1)有意义,需使-2a+1>0,解得a 邮票中,第4枚是纳皮尔指数与对数 关系公式eln N=N,其中e=2.718 28….伽利略曾发出豪言壮语:“给我时间、空间和对
数,我可以创造出一个宇宙来.”问题1.如何利用上述公式求eln 4+1?提示:eln 4+1=eln 4·e=4e.2.怎样由对数
式logaN=x和指数式ax=N推出?=N(a>0,且a≠1,N>0)?提示:把x=logaN代入ax=N,得?=N.?3.在指数
与对数的互化中,要注意什么?提示:要注意底数的范围,如(-2)2=4,不能写成log(-2)4=2,只有a>0,a≠1,N>0时,
才有ax= N?x=logaN.1.对数恒等式?=N(a>0,且a≠1,N>0)的应用(1)对数恒等式的直接应用.(2)不能直接应
用对数恒等式的情况按以下步骤求解:2.对数式中求值的方法(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.(2)利用指数幂的运算性
质计算.?? 求下列各式中x的值:(1)-ln e2=x;(2)log3(lg x)=1;(3)x=?;(4)log2x=-?.
思路点拨利用对数与指数的互化、对数性质求解.解析????(1)∵-ln e2=x,∴-x=ln e2,即e-x=e2,解得x=-2
.(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000.(3)原式=7×?=?=?.(4)∵log2x
=-?,∴?=x,∴x=?. 电影《死亡密码》中,刑侦总队密码组是顶级情报人员的培训、任命和派遣 机构,他们的任务是通过犯罪现场
留下的诡异痕迹探索凶案背后的动机,进而追捕 凶手.古怪的案发地点,满地的血浆和奇怪的碎片,消失的被害人,超出常人血量的血 泊,……
刑侦队长在办案过程中离奇失忆,并发出一段意义不明的蓝色数字,线索越发扑朔 迷离,而那串数字就藏在lg 14-2lg?+lg 7-l
g 18+?的计算结果中.利用对数的运算性质化简、求值问题1.你能找出该密码吗?提示:原式=lg 14-lg?+lg 7-lg 1
8+π=lg? +π=lg 1+π=π.因此该密码是π.2.在对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,应如何处理?提示:常利用l
g 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5及lg 5=1-lg 2等化简求解.3.在化简含有对数的式子时,换底公式的作用是什么?
提示:将不同底的对数化成同底的对数,进而进行运算.?1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联 系
.2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数 拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和
(差)收成积(商)的对数.3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点 选择恰当的底数进行换底,如果
所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以 选择以10为底数进行换底.利用换底公式化简与求值的思路:??? 化简下列各式:(1
)4lg 2+3lg 5-lg ?;(2)?;(3)2log32-log3?+log38-?;(4)lo?(?-?).思路点拨当对
数的底数相同时,利用对数的运算性质,将式子转化为只含一种或尽量少的真 数的形式,再进行计算.解析????(1)原式=lg ?=lg
(24×54)=lg(2×5)4=4.(2)原式=?=?=?.(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-?=2
log32-5log32+2+3log32-3=-1.(4)∵?=?=2+?,?=?=2-?,∴原式=lo?(2+?-2+?)=l
o?(?)3=3.???(1)化简:(log43+log83)(log32+log92)= ????;(2)已知log189=a
,18b=5,用a,b表示log3645为 ????.思路点拨式子中各个对数的底数都不相同,需先统一底数再化简求值.解析???
?(1)原式=??=?log23·?=?.(2)解法一:∵18b=5,∴log185=b,于是log3645=?=?=?=?=?.
解法二:∵18b=5,∴log185=b,于是log3645=?=?=?.解法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=al
g 18,lg 5=blg 18,∴log3645=?=?=?=?=?.答案 (1)? (2)? 解题模板用已知对数式表示未知对数
式,此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”,然 后用指定字母换元. 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一
种表明地震能量大小的尺度,这种 尺度就是使用测震仪衡量地震能量的等级.地震能量越大,测震仪记录的地震曲线 的振幅就越大.这就是我们
常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是
为 了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).对数运算性质的综合应用问题1.假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的
地震最大振幅是20,此 时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1).提示:M=lg 20-lg 0.001=
lg?=lg 20 000=lg 2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里氏4.3级的地震.2.若新闻报道某次地震的震级为M,
如何用M和A0表示最大振幅A?提示:由M=lg A-lg A0可得M=lg???=10M?A=A0·10M.3.5级地震给人的震感
已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振 幅的多少倍(精确到1).提示:当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0
·107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·1 05.所以两次地震的最大振幅之比是?=?=107.6-5≈398.?1.
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤 其要注意条件和结论之间的关系.(2)对于连等指数式可令
其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式 将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.2.解决对数应用问题,首先
理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设未知数, 建立数学模型,最后转化为常用对数问题求解,注意归纳结论.?? 已知3a=5
b=c,且?+?=2,求c的值.思路点拨指数与对数互化,得a=log3c,b=log5c??+?=logc15?求出c的值.解析?
???∵3a=5b=c,∴a=log3c,b=log5c,∴?=logc3,?=logc5,∴?+?=logc15.由logc15
=2得c2=15,即c=?(负值舍去).?? 已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,?+?+?=0,求abc的值.
思路点拨设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入?+?+?=0并用对数的运算性质可求得abc
的值,也可以用换底公式进行计算.解析????解法一:设ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,则x
=logat,y=logbt,z=logct,∴?+?+?=?+?+?=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.解法二:设ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,∴x=?,y=?,z=?,∴?+?+?=?+?+?=?.∵?+?+?=0,且lg t≠0,∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,∴abc=1.解题模板指数式与对数式互化时,可将不同底的对数化为同底的对数,这是解决指数、对数 问题的常用方法. |
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