§1.2 充分条件与必要条件第一章 常用逻辑用语学习目标XUE XI MU BIAO1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些
简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用充要条件解决判断、推理命题的真假.NEI RONG SUO YIN内容索引
知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一 充分条件与必要条件?充分必要充分必要知识点二 充要条件如果既
有p?q，又有q?p，就记作p q.此时，我们说，p是q的 ，简称
.特别提醒 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件)，即p?
q且q?p；(2)充分不必要条件，即p?q且q?p；(3)必要不充分条件，即p?q且q?p；(4)既不充分也不必要条件，即p?q且
q?p.充分必要条件充要条件?思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若p是q的
充分条件，则p是唯一的.( )2.“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件.( )3.q不是
p的必要条件时，“p?q”成立.( )4.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( )×√√√2题型探究PAR
T TWO一、充分、必要、充要条件的判断例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件
)所以p是q的充要条件.(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；解 因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0
，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0?m>0，所以p是q的充分不必要条件.(3)p：四边形的对角线相等，
q：四边形是平行四边形.解 p是q的既不充分也不必要条件.充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：确定条件与结论，若条
件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：“若
p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必
要条件.跟踪训练1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件.(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；解 ∵两个三角形相似?两
个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件.(2)p：A?B，q：A∩B＝A；解 ∵p?q，且q?p
，∴p是q的充要条件.二、充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p：－2≤x≤10
，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(
m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，解得m≤3
.又m>0，所以实数m的取值范围为(0,3].延伸探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条
件不变，求实数m的取值范围.解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为
A，q代表的集合为B，所以AB.解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).2.若本例中p，q不变
，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m
>0).若p是q的充要条件，由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点
或数形结合列方程或不等式(组)求解.跟踪训练2 (1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2 ”，则实数a的取值范围是____________.解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因为当－2 以不等式的解集是－a－a，即a>2.(2，＋∞)(2)已知P＝{x|
a－4 x∈P”是“x∈Q”的必要条件，[－1,5]所以－1≤a≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x的一元二次不等式ax2＋1>a
x对于一切实数x都成立的充要条件.解 由题意可知，关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立，求一个问题的充要条件
，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密.跟踪训练3 直线x
＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝________.－4或0核心素养之逻辑推理HE XIN SU
YANG ZHI LUO JI TUI LI充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是
ac<0.证明 充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4a
c>0，∴原方程一定有两不等实根，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性(由方程有一正根和
一负根推证ac<0)，∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程
有两个不等实根.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.(1)一般地，证明“p成立的充要条
件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中
要证明的“结论”，即p?q.(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质.3随
堂演练PART THREE1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D
.既不充分也不必要条件√1234512345解析 由x>1且y>1可得到x＋y>2，而x＋y>2?x>1且y>1，比如x＝3，y＝
0虽满足x＋y>2但得不到y>1，故p是q的充分不必要条件.2.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，
则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√3.函数f?(x)＝x2＋mx＋
1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是A.m＝－2 B.m＝2C.m＝－1 D.m＝1√12345解析 当m＝－2时，
f?(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f?(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件
是m＝－2.4.“关于x的不等式x2－2ax＋a>0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是A.0 00，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a<0
，解得00，若q是p的充分
条件，则实数a的取值范围是________.12345[－1,6]解析 p：－4 (3－x)>0，即2 .2.方法归纳：定义法、等价转化.3.常见误区：条件与结论辨别不清.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART
FOUR1.在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝ ，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要
条件 D.既不充分也不必要条件√基础巩固14123456789101112131516172.已知等差数列{an}，则“a2
>a1”是“数列{an}为递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析
等差数列{an}为递增数列等价于anπ的一个必
要不充分条件是A.x>4 B.x<4C.x>3 D.x<3√14123456789101112131516174.若集
合A＝{x|1b，b∈R}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则b的取值范围是A.b≥2 B.1
四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是A.a≥b＋1 B.a>b－1C.a2>b2 D.a3>b3√解析 由a≥
b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5? 4≥3.5＋1，故a>b?a≥b＋1，故A正确.1
412345678910111213151617必要不充分14123456789101112131516177.已知p：x2＋2x
－3<0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是____________.[4，＋∞)解析 由命题p：
－3 个数为________.①“m为实数”是“m为有理数”的充分不必要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充要条件；③“x＝3”是“x
2－2x－3＝0”的必要不充分条件；④“A∩B＝B”是“A＝?”的必要不充分条件.0解析 ①“m为实数”是“m为有理数”的必要不充
分条件，所以原说法不正确；②“a>b”不是“a2>b2”的充要条件.反例：a＝0，b＝－1，a>b推不出a2>b2，所以原说法不正
确；③“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分不必要条件，所以原说法不正确；④“A∩B＝B”是“A＝?”的既不充分也不必要条件，所
以原说法不正确.1412345678910111213151617解 ∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，∴p是q
的必要不充分条件.9.判断下列各题中，p是q的什么条件.(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；141234567891011121
3151617解 ∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不
必要条件.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；1412345678910111213151617(3)p：四
边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；解 ∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，∴p是q
的必要不充分条件.1412345678910111213151617(4)p：圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0
相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解 若圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心(0,0)到直线ax＋b
y＋c＝0的距离等于r，说明圆x2＋y2＝r2(r>0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2
(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件.141234567891011121315161710.已知p：2x2
－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.14123456
78910111213151617解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}N＝{x|x2－2(a
－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}.由已知p?q且q?p，得MN
，141234567891011121315161711.“sin α＝cos α”是“sin 2α＝1”的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√综合运用1412345678910111213151617解
析 若sin α＝cos α，所以“sin α＝cos α”是“sin 2α＝1”的充要条件.141234567891011121
315161712.设x∈R，则“ ”是“x3<1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C
.充要条件 D.既不充分也不必要条件√1412345678910111213151617解得0 1.当0 ，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√解析 x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，可知点(0,2)在此区域内，此时x＝0<2，即x≥2且y≥2
时可以推出x2＋y2≥4，x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正确.141234567891011121315161714
.已知p：x2＋x－2>0，q：x>m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是____________.解析 由x2＋
x－2>0，解得x>1或x<－2.∵q是p的充分不必要条件，∴m≥1.[1，＋∞)141234567891011121315161
715.设实数a为常数，则函数f?(x)＝x2－x＋a(x∈R)存在零点的充要条件是______.解析 ∵函数f?(x)＝x2－x
＋a(x∈R)存在零点，141234567891011121315161716.下列说法中，p是q的充要条件的是________.
(填序号)①p：m<－2或m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p： ＝1，q：y＝f?(x)为
偶函数；③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.拓广探究①④1412345678910111213151617解析 对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点?q：Δ＝m2－4(m＋3)>0?q：m<－2或m>6?p；对于②，当f?(x)＝0时，q?p；对于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA.14123456789101112131516171412345678910111213151617解 设p，q对应的集合分别为A，B，则集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，集合B表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合.问题可转化为利用AB求解.因为AB表示区域A内的点到原点的最短距离大于r，所以结合图象可知，只需直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最短距离大于或等于r.1412345678910111213151617本课结束更多精彩内容请登录：www.91taoke.com |
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