高中数学 必修第一册 人教A版3.1.2 函数的表示法学习本节内容后能从多角度理解函数的意义,能运用不同的方法应用函数知识.学 习时还应掌
握以下几点:1.在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数,理解函数图象的作用.2.通过具
体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.3.掌握求函数解析式的常见方法.函数的表示法 已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量
x在不同的取值范围内,函数有着不同的④???? 对应关系????,那么我们称这样的函数为分段函数.如y=f(x)=?是分段函数.注
意:分段函数表示的是一个函数.分段函数1.好奇心(y)与年龄(x)的关系如图所示,其表示法为图象法.?( √ )?2.大气中氰化物
浓度y与到污染源的距离x的关系如下表,当x=100时,y=0.398.?(????√ )3.京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站,全
长1 318千米,设计的最高速度为380千 米/时,假设京沪高速铁路的运营速度为350千米/时,火车保持匀速行驶x?小时后,路程为
y千米,则y是x的函数,可以用y=350x?来表示,其中y=350x?叫做该函数的解析式.?( √ )4.任何一个函数都可以用图象
法表示.?(????? )提示:有些函数是不能画出图象的,如f(x)=?5.分段函数是一个函数,且其定义域是每一段自变量取值范围的
交集.?(????? )提示:分段函数是一个函数,定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一 段函数值取值范围的并集.如何求
函数的解析式?1.函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤:(1)设出含有待定系数的解析式.如一次函数
解析式设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函 数解析式设为f(x)=?(k≠0);二次函数解析式可根据条件设为①一般式:f(x
)=ax2+bx+c(a≠0),②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(
a≠0).(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的
值代回原式并化简整理.2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(
x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t) 代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t
,便可得到f(x)的解析式.(2)配凑法:此法是把所给函数的解析式通过配方、凑项等方法,使之变形为关于“自变量” 的函数解析式,然
后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式,这里的“自变量” 可以是多项式、分式、根式等.(3)消元法(方程组法):已知f(x)与f
?或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方程组,通过解方程组求出 f(x).(4)赋值法:依题目的特征,可
对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一 般规律求出函数解析式.??(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f
(x)的解析式;(2)已知f?=?+?,求f(x)的解析式;(3)已知y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2
-10x+4,求f(x)的解析式.思路点拨(1)用换元法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)用待定系数法求解.解析????(1
)设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)解法一
(换元法):令t=?=?+1,则x=?(t≠1),把x=?代入f?=?+?,得f(t)=?+?=(t-1)2+1+(t-1)=t2
-t+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解法二(配凑法):∵f?=?+?=?-?=?-?+1,∴f(x)=x2-x+1.又∵
?=?+1≠1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).(3)设f(x)=kx+b(k≠0),则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b
)2-3(kx+b)=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,所以?解得?或?故f(x)=-2x+4或f(x
)=2x-1.?? (1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式;(2)设f(x)
是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f (x)的解析式.思路点
拨(1)用消元法求解;(2)用赋值法求解.解析????(1)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代换x,可得f(-x)-2
f(x)=1-2x,则?消去f(-x),可得f(x)=?x-1.(2)解法一:令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
又f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y
+1),即f(-y)=1-y(-y+1).令-y=x,则f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),∴f(x)=x2+x+
1. 根据分段函数的概念对函数f(x)=?进行探究.问题1.求f(f(f(-3)))的值.提示:注意自变量的取值范围.2.画出函
数f(x)的图象.提示:分段画出其图象.3.求函数f(x)的值域.提示:根据图象得值域或根据解析式直接求解.如何理解与解决分段函数
问题4.当f(a)=4时,如何求a的值?提示:分类讨论求出a的值.5.当 f(x)=a有四个不同的实数根时,如何求实数a的取值范围
?提示:利用函数f(x)的图象求出a的取值范围.?正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数的求
值问题时,一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间,以免 因误用对应关系造成错误结果.(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,
其值域是各段“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.?分段函数的求值策略(1)
已知自变量的值求函数值:先看自变量的值的范围,再代入相应解析式求值.(2)已知函数值求自变量的值:注意分类讨论思想的运用,注意自变
量的取值范围.?? 已知a≠0,且函数f(x)=?若f(1-a)=f(1+a),求a的值.思路点拨分a>0和a<0两种情况建立方
程求解.解析????当a>0时,1-a<1,1+a>1,则f(1-a)=2(1-a)+a, f(1+a)=-(1+a)-2a,∴2
(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-?(不合题意,舍去);当a<0时,1-a>1,1+a<1,则f(1-a)=-(1-a
)-2a, f(1+a)=2(1+a)+a,∴-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-?.综上,a=-?.???? 已知f(x)=?若f(x)≥?,求x的取值范围.思路点拨自变量未知时,对自变量进行分类讨论,选择相应的解析式进而解方程或不等式.解析????当-1≤x≤1时, f(x)=x≥?,即?≤x≤1;当x<-1或x>1时, f(x)=1-x≥?,即x<-1.故x的取值范围是(-∞,-1)∪?. |
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