高中数学 必修第一册 人教A版3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念1.建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念
中的作用.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.3.会正确使用函数、区间符号. 1.函数的有关概念2.同一个函数如果两个
函数的⑧ 定义域????相同,并且⑨ 对应关系????完全一致,我们就称这两 个函数是同一个函数.函数的有关概念1.一般区间的表示
设a,b是两个实数,而且a 离s(m)与所用时间t(s)的平 方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s=?gt2,其中g取9.8 m/s2.判断第1~3题是否
正确.1.函数的定义域为[0,2].?( √ )2.函数的值域为[0,+∞).?(????? )3.当t=1时,物体下落的距离是4
.9 m.?( √ )4.函数的定义域和值域一定是无限集合.?(????? )提示:函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=
1.5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.?(????? )提示:根据函数的定义,对于定义域中的任何一
个x,在值域中都有唯一确定的y与之 对应.6.在函数的定义中,集合B是函数的值域.?(????? )提示:在函数的定义中,函数的值
域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.已知函数解析式求定义域(1)如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函
数的定义域是 实数集R.(2)如果函数解析式仅含分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果函数解析式仅含偶次根
式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等 于零的实数的集合.(4)如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是
使各部分 式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集).(5)由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.如何求函数的
定义域?? 求下列函数的定义域:(1)f(x)=?+?;(2)f(x)=?;(3)y=?.思路点拨求函数的定义域就是求使函数解析
式有意义的自变量的取值范围,可考虑列不等 式或不等式组.解析????(1)要使函数有意义,只需?解得?≤x≤?.则函数的定义域为?
x??≤x≤??.(2)要使函数有意义,只需?解得-2≤x≤2,且x≠1.则函数的定义域为{x|-2≤x≤2,且x≠1}.(3)要
使函数有意义,只需?解得x>-2,且x≠-1.则函数的定义域为{x|x>-2,且x≠-1}.?求抽象函数的定义域求抽象函数的定义域
,要明确以下几点:(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取
值范围.(3)f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.(4)已
知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的 取值范围.(5)已知f(φ(x))的定
义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的 取值范围,此范围就是f(x)的定义域.(6)已知f(φ(x
))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为 C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值
范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g (x))的定义域.??1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)
的定义域;(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3
],求函数f(3x)的定义域;(4)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定
义域.思路点拨根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数要注意分 类讨论.解析????(1)由题意知,函数
f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,∵x∈[1,3],∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],∴函数f(
2x+1)的定义域为[0,1].(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],∴函数f(x)的定义域为[3,7].(3)∵x∈[
1,3],∴2x+1∈[3,7],∴3x∈[3,7],即x∈?,∴函数f(3x)的定义域为?.(4)依题意有???∵m>0,∴-m
<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,∴对m与1-m的大小分类讨论.①若m=1-m,即m=?,则x=m=?;②若m<1-
m,即m1-m,即m>?,则x∈?,与题意不符.综上,0 x≤1-m}.1.求函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时,只需用常数a替换解析式中的x并进行计算,即得f(a)的 值.(2
)已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值,应遵循由内到外的原则.注意:用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值,
否则求值无意义.2.已知函数值求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时,列方程f(x)=a,解出其中的x,即可得到函
数值为a时x的 值.(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(x))=a中的x的值,可以由内到外,也可由外到内进行求 解.??如
何解决函数求值问题 已知函数f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的
值;(2)求f(g(3))的值;(3)若f(g(x))=14,求x的值.思路点拨本题是函数求值的问题,(1)(2)分别将自变量的值
代入解析式中求解即可,(3)可以由 外到内,也可以由内到外求解.解析????(1)f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6
.(2)g(3)=32+2=11,∴f(g(3))=f(11)=11+11=22.(3)解法一:∵f(g(x))=14,∴11+g
(x)=14,解得g(x)=3,∴x2+2=3,解得x=±1.解法二:∵f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2
,∴13+x2=14,∴x2=1,解得x=±1. 张先生的家离单位15 km,张先生从家出发开车以50 km/h的速度到单位去上
班,设张先生开车行驶的路程为y(km),行驶的时间为x(h).问题1.张先生开车行驶的路程y(km)与行驶的时间x(h)之间的函
数关系式是什么?提示:行驶的路程y(km)与行驶的时间x(h)的函数关系式是y=50x.2.问题1中函数的定义域是什么?提示:函数
的定义域是{x|0≤x≤0.3}.3.这个函数与我们熟悉的一次函数y=50x是不是同一个函数?提示:不是同一个函数,两函数的定义域
不同.如何判断两个函数是不是同一个函数?判断两个函数是不是同一个函数时应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不
是同一个函数,即使定义域与 值域都相同,也不一定是同一个函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量
是没有 限制的.(3)要化简解析式,必须先求定义域,否则可能导致定义域发生变化.?? 下列各组函数:①f(x)=?,g(x)=x
-1;②f(x)=?,g(x)=?;③f(x)=x+1,g(x)=x+x0;④f(x)=x0,g(x)=?;⑤f(x)=(x-1)
2,g(t)=t2-2t+1.其中表示同一个函数的是 ????(填上所有正确的序号).思路点拨先求各组中两个函数的定义域,若定
义域不同,则它们不是同一个函数;若定义域相 同,再化简函数解析式,判断对应关系是否相同.解析????①f(x)的定义域为{x|x∈
R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>
0},f(x)=?,g(x)=?,它们的对应关系不同,不是同一个函数;③f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x∈R,且x
≠0},f (x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同, 故是同一个函数;⑤虽然表
示自变量的字母不同,但f(x)与g(t)的定义域相同,对应关 系相同,故是同一个函数.答案 ④⑤?定义域、对应关系都相同,两函数是
同一个函数,与表示自变量的字母是否相同无 关. ? 判断下列函数是不是同一个函数:(1)f(x)=?,g(x)=?(2)f(x)
=??,g(x)=?;(3)f(x)=2,g(x)=?.思路点拨判断函数的定义域和对应关系是否相同.解析????(1)f(x)的定义域中不含有元素0,而g(x)的定义域为R,定义域不相同,所以二 者不是同一个函数.(2)f(x)的定义域为[0,+∞),而g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞),定义域不相同,所以二 者不是同一个函数.(3)f(x)与g(x)的定义域都是实数集R,将g(x)的解析式化简后知两函数的对应关系相 同,因此二者是同一个函数. |
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