2.2.1 椭圆及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：行星运
行的轨道我们的太阳系2.1.1 椭圆及其标准方程问题1：圆的几何特征是什么？平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。圆的形成问
题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨
迹曲线呢？数 学 实 验(1)取一条细绳，(2)把它的两端 固定在板上的两 点F1、F2(3)用铅笔尖 （M）把细
绳拉 紧，在板上慢慢 移动看看画出的 图形F1F2（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？（
2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？想一想︳F1F
2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a2a>2c思考若2a<2c，则轨迹为＿＿＿＿。 若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。
线段不存在平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两
焦点的距离叫做焦距．椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__________________________的点的轨迹
叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，_______________叫做椭圆的焦距．想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|
”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？自学导引1．距离之和等于常数(大于|F1F2
|)焦点两焦点间的距离小结（1）：满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆？平面上----这是大前提动点 M 到两个定点 F1、F2
的距离之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.(1
)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M
点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹
是什么?椭圆线段AB不存在 (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F
2|,M点轨迹为线段.标准方程的推导? 探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”方案一xy
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．P( x , y )设 P
( x，y )是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 椭圆上的点满足|PF1|+
|PF2|为定值，设为2a，则2a>2cO标准方程的推导b2x2+a2y2=a2b2它表示：① 椭圆的焦点在x轴② 焦点坐标为F1
（-C，0）、F2（C，0）③ c2= a2 - b2 椭圆的标准方程⑴椭圆的标准方程⑵它表示:① 椭圆的焦点在y轴② 焦点是F
1（0，-c）、 F2（0，c）③ c2= a2 - b2 观察下图，你能从中找出表示c,a, 的线段吗？(课本33
页思考)因为c2=a2－b2所以cab椭圆的标准方程 定 义图 形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的
关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a小 结：椭圆的标准方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)(－c，0)，(c，0)(0，－
c)，(0，c)a2－b22．自学引导椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭
圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2 （不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆）；（3）
由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一
个轴上 .椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，
可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就
在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.2．名师点睛 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦
点坐标答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）判断
椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。巩固概念应用举例a>30 椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标
为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________543(3,0)、
(-3,0)6201、已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c
=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个
焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2跟踪练习：例．椭圆
的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 讲评例题.解： ∵椭圆的焦
点在x轴上∴设它的标准方程为:∵ 2a=10, 2c=8∴ a=5, c=4∴ b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方
程为 两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：∴ 设它的标准方程为又 ∵ c=2∴ 所求的椭圆的标准方程为解题感悟：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值. |
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