2013年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）
1．2．，则，，故应选D.
3．也为奇函数，应选B.
4．是的可去间断点
5．时，，则与是等价无穷小量，应选A.
6．，应选C.
7．曲线8．，则，应选D.
9．设具有任意阶导数，且，则；
答案：A
【解析】：方程两边对求导，其中看作的函数，，所以，应选A.
答案：B
【解析】：因为，则在上单调增加，应选B.
12．答案：A
【解析】：点是曲线的拐点，则，故，应选A.
13.答案：A
【解析】：因为，则
；；
故是曲线的垂直渐近线，应选A.
14.答案：B
【解析】： 因为，则，故应选B.
15.答案：D
【解析】： 根据不定积分的相关性质，易知，正确，应选D.
16．
17．两边对求导，得，则，故，应选A.
18．
19．．方程，，故方程的特解，应选B.
21．直线与平面与垂直相交，应选B.
23．答案：D
【解析】：缺少变量的二次曲面方程为
24．，应选C.
25．，则
26．为X型积分，则交换积分次序后，可化为，应选C.
28. 答案：D
【解析】：参数方程，，应选D.
29.答案：C
【解析】：因为，则收敛半径，收敛区间为，应选C.
30．
二、填空题（每小题2分，共20分）
31．在点有定义与极限存在没有关系，故为既不充分也不必要
条件.
32．，故.
33．34．，则，故．
35．
36．．37．
38．，
39．40．三、计算题（每小题5分，共50分）
41．．
已知由方程所确定，求.
【解析】：方程两边同时对求导，可知，，即
，故.
43.求不定积分．
设，求.
【解析】：.
求微分方程的通解．
设，求全微分．
且平行于向量和，求此平面方程.
【解析】：由题意可知，所求平面平行于向量和，则所求平面的法向量，即，又知平面过点，由平面的点法式方程可知，平面方程为，即.
计算其中所围成的闭区域.
【解析】：由题意可知，如图所示，
该区域为Y型区域，则.
计算积分，其中为曲线上从点到点一段弧.
【解析】：由题意可知，，则，即，说明该曲线积分与积分路径无关，选取直线路径，故
.
求幂级数的收敛域．
的收敛域四、应用题（每小题6分，共12分）
51．，直线以及轴围成一平面图形,试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为X型区域，
则体积=.
五、证明题（8分）在区间上连续，且，证明：方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.
【证明】：存在性：令，因为在区间上连续，则在区间上也连续，而且，由零点定理可知，在区间（0,1）内至少存在一点，使得；
唯一性：因为，则在区间（0,1）内单调递增，故方程在区间（0,1）内至多有一实根；
综上所述，方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.
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