1961年试题
试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.
一、(1)求(2-x)10展开式里x7的系数.
(2)解方程:2lgx=lg(x+12).(注:lg是以10为底的对数的符号.)
(5)一个水平放着的圆柱形排水管,内半径是12厘米.排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含有150°(如图).求这个截面上有水部分的面积.(取π=3.14.)
(6)已知△ABC的一边BC在平面N内,△ABC所在的平面与平面N组成二面角a(a＜90°).从A点作平面N的垂线AA＇,A＇是垂足.设△ABC的面积是S,求证△A＇BC的面积是Scosa.
[Key] 一、(1)解:在这个展开式里含有x7的项是第八项.它的系数是
=-960.
(2)解:2lgx=lg(x+12),
lgx2=lg(x+12),
∴x2=x+12,x2-x-12=0,
(x-4)(x+3)=0,
∴x1=4,x2=-3.
当x=-3时,lgx没有意义,舍去;x=4为原方程的解.
(3)解:根据根式的定义,x-1≥0,∴x≥1;
又根据分母不能为零,x-5≠0,∴x≠5.
所以自变量x的允许值的范围是x≥1,但x≠5.
(5)解法一:
∴截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
解法二:
∴ 截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
(6)证明:
二、一个机器制造厂的三年生产计划,每年比上一年增产机器的台数相同.如果第三年比原计划多生产1千台,那末每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半,原计划每年各生产机器多少台?
[Key] 二、
解法一:
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数分别为x,x+y,x+2y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x=4,x+y=6,x+2y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
解法二:
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数为别为x-y,x,x+y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x-y=4,x=6,x+y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
三、有一块圆环形的铁皮,它的内半径是45厘米,外半径是75厘米.用它的五分之一(如图中的阴影部分),作圆台形水桶的侧面,这个水桶的容积是多少立方厘米?
[Key] 三、
解:
四、在平地上有A、B两点.A在山的正东.B在山的东南,且在A的西65°南300米的地方.在A测得山顶的仰角是30°,求山高.(sin70°=0.940.精确到10米.)
[Key] 四、
解:如图,CD为山的高.
在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=65°,
∴∠ABC=180°-(45°+65°)=70°;
又AB=300(米)
在直角三角形ACD中,∠CAD=30°,
=100×2.45×0.940
=230(米)
答:山高是230米
五、下面甲、乙两题,选作一题.
甲、k是什么实数的时候,方程x2-2(k+3)x+3k2+1=0有实数根?
乙、设方程8x2-(8sina)x+2+cos2a=0的两个根相等,求a.
[Key] 五、
甲、解法一:当这个方程的判别式Δ=0或者Δ>0的时候,原方程有实数根.
(k+3)2-(3k2+1)
=-2k2+6k+8.
解 -2k2+6k+8=0,
即 k2-3k-4=0,
得 k=-1或者k=4.
解 -2k2+6k+8>0,
即 -k2+3k+4>0,
得 -1
所以在-1≤k≤4的时候,原方程有实数根.
解法二:
这个方程有实数根的条件是:
(k+3)2-(3k2+1)≥0
化简得:
-k2+3k+4≥0,
k2-3k-4≤0,
(k+1)(k-4)≤0,
∴-1≤k≤4的时候,方程有实数根.
乙、解:因为方程的两个根相等,所以
(8sina)2-4·8(2+cos2a)=0.
化简:
2sin2a-(2+cos2a)=0,
2sin2a-(3-2sin2a)=0,
4sin2a-3=0.
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