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2003年普通高等学校春季招生考试
数 学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．若集合 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则方程的根是 （ ）
A． B．－ C．2 D．－2
3．设复数 （ ）
A． B． C． D．－
4．函数的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）
6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆为参数）的焦点坐标为 （ ）
A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0）
C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0）
8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC
沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两
个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）
A．42 B．30 C．20 D．12
10．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|
的三角形 （ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于 （ ）
A．8 B．2 C．－4 D．－8
12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，
则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 （ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
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2003年普通高等学校春季招生考试
数 学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中
横线上.
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有
适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水
面高度恰好升高r，则 .
14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与
相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.
年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 15．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦
点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角
形，则b2的值是 .
16．若存在常数，使得函数
的一个正周期为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解不等式：
18．（本小题满分12分）
已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
19．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.
（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.
20．（本小题满分12分）
某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
21．（本小题满分13分）
如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.
22．（本小题满分13分）
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
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2003年普通高等学校春季招生考试
数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B
二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
13． 14．（140）（85） 15． 16．注：填的正整数倍中的任何一个都正确.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12
分.
解：原不等式变形为.所以，原不等式
.
故原不等式的解集为.
18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.
解：由.
所以的定义域为
因为的定义域关于原点对称，且
是偶函数.
当
，
所以的值域为
19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.
（Ⅰ）证法一：
连结AC.
∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.
∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证法二：
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D1D
∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，
∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.
解法一：
在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.
∵，
∴
解法二：
∵△D1HB1～△B1BG， ∴， ∴
解法三：
连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，
即，
（Ⅲ）
20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了
88辆车.
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
，
整理得.
所以，当x=4050时，最大，最大值为，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.
21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则
所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能
力. 满分13分.
解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得
所以A点坐标为，B点坐标为（3，），
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
由①－②得
但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：
设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由，
即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.
又，
， .
当，即，
即为钝角.
当，即，
即为钝角.
又，即，
即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.
解法二：
以AB为直径的圆的方程为.
圆心到直线的距离为，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G
点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为.
过点B且与AB垂直的直线方程为. 令.
又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共
线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
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正棱台、圆台的侧面积公式
其中、c分别表示上、下底面周长
l表示斜高或母线长
球体的体积公式
其中R表示球的半径
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
（1） （2）
得分 评卷人
得分 评卷人
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(3，)
①
②
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