2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． i是虚数单位，= （ ）
A． B． C． D． 2． 不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D． 3．若平面向量与向量的夹角是，且，则 （ ）
A． B． C． D． 4． 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）
A． B． C． D． 6． 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ ）
A． B． C． D． 7． 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ）
A． B． C． D． 8． 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“
为等差数列”的 （ ）
A． B． C． D． 9． 函数为增函数的区间是 （ ）
A． B． C． D． 10． 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，
。分别过BC、 的两个平行截面将长方
体分成三部分，其体积分别记为，
，.
若，则截面 的面积为（ ）
A． B． C． D． 11． 函数（）的反函数是 （ ）
A． B． C． D． 12．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ ）
A． B． C． D． .把答案填在题中横线上.
13． 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .
14． 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 .
15．若，则
.（用数字作答）
16． 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个.（用数字作答）
三、 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知，（1）求的值；（2）求的值.
18．（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小.
20．（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
21．（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
，其中a为常数，k为非零常数.
（1）令，证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）当时，求.
22．（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．80 14． 15． 2004 16．300
三、解答题：
17． 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分.
（1）解：.
由，有.
解得.
（2）解法一：
.
解法二：由（1），，得
∴ .
∴.
于是，
.
代入得.
18． 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
（1）解：可能取的值为0，1，2。
。
所以，的分布列为
0 1 2 P （2）解：由（1），的数学期望为
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
19． 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.
方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA // 平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴. ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC，∴. ②
由①和②推得平面PBC.
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD.
（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.
由（2）知，.
设正方形ABCD的边长为a，则,
，
.
在中，。
在中，，∴.
所以，二面角C—PB—D的大小为.
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.
依题意得.
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且
.
∴，这表明PA//EG.
而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.
（2）证明；依题意得，。又，故.
∴.
由已知，且，所以平面EFD.
（3）解：设点F的坐标为，，则
.
从而.所以
.
由条件知，，即
，解得
∴点F的坐标为，且
，
∴
即，故是二面角C—PB—D的平面角.
∵，且
，，
∴.
∴.
所以，二面角C—PB—D的大小为.
20． 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.
（1）解：，依题意，，即
解得. ∴.
令，得.
若，则，故
在上是增函数，
在上是增函数.
若，则，故
在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
（1）证明：由，可得
.
由数学归纳法可证.
由题设条件，当时
因此，数列是一个公比为k的等比数列.
（2）解：由（1）知，
当时，
当时， .
而
所以，当时
.
上式对也成立。所以，数列的通项公式为
当时
.
上式对也成立，所以，数列的通项公式为
，
（2）解：当时
22． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率.
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为.由方程组
得
依题意，得.
设，则
， ① . ②
由直线PQ的方程得.于是
. ③
∵，∴. ④
由①②③④得，从而.
所以直线PQ的方程为或
（2）证明：.由已知得方程组
注意，解得
因，故
.
而，所以
.
天津卷数学（理） 第16页（共8页）
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