2005年普等学校招生全国统试一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的体积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
= 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率 V柱体=Sh
是P，那么n次独立重复试验中恰好发 其中S表示柱体的底面积，
生k次的概率 h表示柱体的高。
Pn（k）=CnPk(1-P)n-k, , 则A∩B=
(A) (B)
(C) (D)
(2)若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为
（A） (B)4 (C) -6 (D)6
(3)给出下列三个命题
①若,则
②若正整数m和n满足,则
③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切
其中假命题的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3
(4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是
(A) (B)
(C) (D)
(5)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
(A) (B) (C) (D)
(6)从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为
(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90
(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为
(A) (B) (C) (D)
(8)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
(9)设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
(10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1答卷前将密封线内的项目填写清楚
2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
二．填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。
（11）设,则
（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________
（13）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则=_____
（14）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则=
（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）
（16）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________________
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
（18）（本小题满分12分）
已知。
（Ⅰ）当时，求数列的前n项和
（Ⅱ）求
（19）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积
（20）（本小题满分12）
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
（21）（本小题满分14分）
抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足。
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围
（22）（本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）证明,其中为k为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明
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