2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案
（四川陕西云南甘肃等地区用）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=CPk(1－P)n－k
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
（1）已知为第三象限角，则所在的象限是
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为
（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10
（3）在的展开式中的系数是
（A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28
(4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
（A） （B） （C） （D）
（5）设，则
（A）-2
(6)若,则
(A)a
(7)设,且,则
(A) (B) (C) (D)
(8)
(A) (B) (C) 1 (D)
（9）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为
（A） （B） （C） （D）
（10）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个
（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=
（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人
（14）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
（15）曲线在点（1，1）处的切线方程为
（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是
三、解答题：
(17)(本小题满分12分)
已知函数求使为正值的的集合
（18）(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率
（19）(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，
平面VAD⊥底面ABCD
1）求证AB⊥面VAD；
2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
（20）(本小题满分12分)
在等差数列中，公差，是与的等差中项，已知数列,,,,
……,,……成等比数列，求数列的通项
(21) (本小题满分12分)
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
(22) (本小题满分14分)
设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，求直线的方程
2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案
（四川陕西云南甘肃等地区用）
参考答案
一、DBBCA，CCBCD，DA
二、13.3，14.，15.x+y-2=0，16.3
三、解答题：
（17）解：∵……………………………………………2分
………………………………………………4分
…………………………………………6分
……………………………8分
………………………………………………10分
又
∴………………………………………………12分
另法：
为正值当且仅当与同号，
在上，
若与均为正值，则；
若与均为负值，则
所以所求的集合为
（18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为……12分
（19）（本小题满分12分）
四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，
平面VAD⊥底面ABCD
1）求证AB⊥面VAD；
2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB
又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=a，tan∠AFB =
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为
证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），
∴……3分
由…………4分
……5分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分
设是面VDB的法向量，则
……9分
∴，……………11分
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分
（II）证法三：由（Ⅰ）得是面VAD的法向量…………………7分
设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得
解之可得令q=则平面VDB的方程为x-y+Z+=0
故平面VDB的法向量是………………………………9分
∴，………………11分
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分
（20）解：由题意得：………………………………1分
即…………………………………………3分
又∴……………………………………………………4分
又,,,,……,,……成等比数列，
∴该数列的公比为，………………………6分
所以…………………………………………8分
又…………………………10分
∴
所以数列的通项为……………………………12分
（21）解：设容器的高为x，容器的体积为V，……………………1分
则V=（90-2x）（48-2x）x,(0
=4x3-276x2+4320x
∵V′=12 x2-552x+4320……………………………………………7分
由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0,
10
x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴，
∴焦点为………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有=0……………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b
由已知得：
………………………………5分
…………………………………7分
即的斜率存在时，不可能经过焦点………………………8分
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………9分
（Ⅱ）当时，
直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b……………………10分
则由（Ⅰ）得：
………………………………11分
……………………………………………13分
所以直线的方程为，即………………14分
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径，
球的体积公式
V=，
其中R表示球的半径
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