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2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差数列{a}中,已知a=2,a+a=13,则a+a+a等于
A.40 B.42 C.43 D.45
(3)已知∈(,),sin=,则tan()等于
A. B.7 C.- D.-7
(4)已知全集U=R,且A={x︱︱x-1︱>2},B={x︱x-6x+8<0},则(A)∩等于
A.[-1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(-1,4)
(5)已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于
A.2 B. C. D.
(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率等于
A. B. C. D.
(7)对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是
A.若m⊥,m⊥n,则n∥ B.若m∥,n∥,则m∥n
C.若m,n∥,则m∥n D.若m、n与所成的角相等,则n∥m
(8)函数y=㏒(x﹥1)的反函数是
A.y= (x>0) B.y= (x<0)
C.y= (x>0) D. .y= (x<0)
(9)已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是-2,则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
(10)已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱︱=1,︱︱=,=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于
A. B.3 C. D.
(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x,y),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=︱x-x︱+︱y-y︱.
给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)(x-)展开式中x的系数是 (用数字作答)
(14)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax相切,则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是
(16)如图,连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连结的△A1B1C1各边中点得到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列三角形趋向于一个点M,已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是 .
解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.
(I)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
(18)(本小题满分12分)
如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
(Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)求点E到平面的距离.
(19)(本小题满分12分)
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=(0 (Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。
(Ⅰ)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;
(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;,若不存在,说明理由。
(22)(本小题满分14分)
已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)
(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N),证明:{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:(n∈N). 数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算,每小题5分,满分60分. (1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分16分. (13)10 (14) (15) (16)()
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查三角函数的基本公式,三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识,以及推理和运算能力,满分12分. 解:(1)f(x)=
=
=sin(2x+. ∴f(x)的最小正周期T==π. 由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z, ∴f(x)的单调增区间为[kπ-],k∈Z. (2)方法一: 先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin(2x+)的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度,就得到y=sin(2x+)+的图象. 方法二: 把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移,就得到y=sin(2x+)+的图象. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 方法一: (1)证明:连结OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=. 而AC=2, ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB平面BCD.
(Ⅱ)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,
是直角△AOC斜边AC上的中线,∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:设点E到平面ACD的距离为h.
,
∴·S△ACD =·AO·S△CDE.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=,
∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=
∴h=
∴点E到平面ACD的距离为.
方法二:
(Ⅰ)同方法一:
(Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),
C(0,,0),A(0,0,1),E(,,0),
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令y=1,得n=(-)是平面ACD的一个法向量. 又
∴点E到平面ACD的距离 h=
(19)本小题主要考查函数,导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分. 解: (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(. 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升,衣题意得 h(x)=()·,
h’(x)=(0<x≤120= 令h’(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,h’(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时,h’(x)>0,h(x)是增函数. ∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升. (20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,
考查运算能力和综合能力.满分12分.
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点O、F. ∴圆心M在直线x=-
设M(-),则圆半径
r=|(-)-(-2)|=. 由|OM|=r,得 解得t=±, ∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=. (2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0), 代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. ∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1+x1=-
x0=
AB垂直平分线NG的方程为
令y=0,得
∵
∴点G横坐标的取值范围为()。
(21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
解:(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;
当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
h(t)=f(x)=-t2+8t .
综上,h(t)=
(II)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数
??x??g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴??x??x?-8x+16ln x+m,
∵?′?x???x-8+
当?′?x???,???是增函数;
当?′?x???,???是减函数;
当?′?x???,???是增函数;
当??′?x???;
??x?极大值?????m-7,???x?极小值?????m+6ln 3-15.
∵当x充分接近?时,?????,当??x?>0.
∴要使??x?的图象与 既7 所以存在实数4k1+k2+…+kn =2nk, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb, 即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. ③ nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③,得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,
即 bn+2-2bn+1+b=0,
∴bn-2-bn+1=bn(n∈N), ∴{bn}是等差数列. 证法二:同证法一,得 (n-1)bn+1=nbn+2=0 令n=1,得b1=2. 设b2=2+d(d∈R),,下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d. (1)当n=1,得b1=2. (2)假设当n=k(k≥2)时,b1=2+(k-1)d,那么 bk+1=
这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知bn=2(n-1)d对任何n∈N都成立. ∵bn+1-bn=d, ∴{bn}是等差数列. (3)证明:∵
∴
∵≥(),k=1,2,…,n, 数 学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于
A.2 B.1 C.0 D.-1 (2)在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于 A.40 B.42 C.43 D.45 (3)“tan a=1”是“a=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
t<3,
3≤t≤4,
t>4
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