绝密 启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=
(A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为
（A）=0相切的直线的方程为
（A）x (B) y=-3x或y=-x
（C）x (B) y=3x或y=x
(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
(A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
（5）若 n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
(A)-540 (B)
(c)162 (D)540
(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30
(C)40 （D）的夹解相等，且模为1的向量是
(A) (B) 或
（C））
（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A））））,则2a+b+c的最小值为
（A）+1
(C) 2+2 (D) 2-2
填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）的值是_________.
(12)_________.
(13)已知，sin()=－ sin则os=________.
(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______.
(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.
解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分）
设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
（１８）（本小题满分13分）
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5
位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）随机变量ξ的期望.
（１９）（本小题满分１３分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数. 图(19)图
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
(18)(本小题13分)
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ=0)==, P(ξ=1)=
P(ξ=2)= =, P(ξ=3)=
P(ξ=4)= =, P(ξ=5)=
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5 P
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为
Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×
==.
解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ－B,即有
P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一.
解法三： （Ⅰ）同解法一或解二.
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即3Eξ=5,从而Eξ=.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图１
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（19）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== ＝
因此tanEHG==
由k＞0知是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３
E.从而=.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即
2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.
由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞.
(20)（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..
＜x2=－
令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；
又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.
故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.
（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此
.
所以，由已知条件得
b+e=4
b2≤4(e-1),
因此b2+4b-12≤0.
解得-6≤b≤2.
(21)（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）.
（22）（本小题12分）
证：（1）由题设及椭圆的几何性质有
设
因此，由题意应满足
即
即,
从而对任意
（Ⅱ）设点
得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.
现在由题设取是增数列.又易知
故由前已证，知
|
|
