2006高考数学试题卷 (x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
3. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
6. “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )
A. 6 B.9 C.12 D.15
8.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
9. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1
A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
10. 已知双曲线 － )的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )
A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14.(2x－, , .现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
18. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin(2x－－, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－－
20. (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
21. (本小题满分12分)
如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
22.（本小题满分１4分）
已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.
以下答案由渭南市吝店中学 郝进提供 (hao－jin@163.com)
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A
10．D 11．D 12．C
二、填空题
13．－ 14．60 15．1320 16．3R
三、解答题
17.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A1 , "乙投进"为事件A2 , "丙投进"为事件A3,
则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= ,
∴ P(A1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = × ×=
∴3人都投进的概率为
(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B
P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)
=P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P()
=(1－ × + ×(1－ + × ×(1－
∴3人中恰有2人投进的概率为
18.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－－－sin2(x－－－－－－=π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－－
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.
19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－－.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－－－ , ∴点F的坐标为(,－ ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－).
又·=(,－)·(,1,－ － － ⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t ,
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 .
∴kDE = = = 1－2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t,
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t,
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22.解: （I）当k=0时, f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞).
当k>0时 , f ''(x)=3kx2－6x=3kx(x－)
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [ , +∞), 单调减区间为[0, ].
（II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.
当k>0时, 依题意 f()= － +1>0 ,
即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞)
7
B
A
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题解法一图
E
F
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题解法二图
y
x
y
E
F
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
第21题解法图
A1
B1
α
β
l
第19题图
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
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