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| 02332007年全国统一考试福建理科数学试卷含答案[1]. |
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2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（福建卷）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．对于向量和实数，下列命题中真命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）
A． B． C． D．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数满足则的取值范围是________．
14．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
15．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望 ．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意，都有；
（2）对称性：对于，若，则有；
（3）传递性：对于，若，，则有．
则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
20．（本小题满分12分）如图，已知点，
直线，为平面上的动点，过作直线
的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
福建数学试题
（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B
11．B 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13． 14． 15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ），
边最大，即．
又，
角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．
在两侧的值由正变负．
所以（1）当即时，
．
（2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：，即．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
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