2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（文科）全解全析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为，，选C
4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
解析：因为，所以向量与垂直，选D
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B
6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
解析：由有关性质排除A、C、D，选B
7．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选C
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A
9．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：定义域为∪，排除A、C，根据复合函数的单调性知的单调增区间为，选D
10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
解析：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D
11．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p：，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A
12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．48
解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数为奇函数，若，则 ．
解析：由函数为奇函数得，填1
14．展开式中含的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．
解析：，当r=0，4，8时为含的整数次幂的项，所以展开式中含的整数次幂的项的系数之和为，填72
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．
解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为
16．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则 ．
解析：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 （I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．
（I）解：
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 4分
（II）解：由（I）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． 8分
（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得
．
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． 12分
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．
本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．
（I）证明：连结，
三棱柱是直三棱柱，
平面，
为在平面内的射影．
中，，为中点，
，
．
，
．
（II）解法一：过点作的平行线，
交的延长线于，连结．
分别为的中点，
．
又，．
．
平面，
为在平面内的射影．
．
为二面角的平面角，．
在中，，，
．
作，垂足为，
，，
平面，
平面平面，
平面．
在中，，，
，即到平面的距离为．
，
平面，
到平面的距离与到平面的距离相等，为．
解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接．
分别为的中点，
．
又，
．
平面，
是在平面内的射影，
．
为二面角的平面角，．
在中，，，
． 8分
设到平面的距离为，
．
，，
，
，
，即到平面的距离为． 12分
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．
（I）解：
． 5分
由，得，
可知函数的值域为． 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得． 9分
于是有，再由，解得
．
所以的单调增区间为 12分
20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．
（Ｉ）解：由题设得，即
（）
易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为
． 4分
（II）解：由题设得，令，则
．
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为
． 8分
由解得
， 10分
求和得． 12分
21．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知
．
解得，
所以，或，．
设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为
． 4分
解法二：设两点坐标分别为，，由题设知
．
又因为，，可得．即
．
由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分
（II）解：设，则
． 8分
在中，，由圆的几何性质得
，，
所以，由此可得
．
则的最大值为，最小值为．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
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