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2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A＋B）＝PA）＋PB） S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B＝P（A）P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)＝CP (1一P)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简的结果是
A．2＋i B．－2＋i C．2－i D．－2－i
2．
A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在
3．若，则cot α等于
A．－2 B． C． D．2
4．已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是
A．sin x＜ B．sin x＞ C．sin x＜ D．sin x＞
6．若集合}，则N中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2
7．如图，正方体AC的棱长为1，过点A作平面ABD的垂线，垂 足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直平面CBD1
C．AH的延长线经过点C D．直线AH和BB所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，则它们的大小关系正确的是
A．h2h1＞h4 B．1＞h2＞h3 C．h3h2＞h4 D．h2h4＞h1
9．设椭圆,右焦点为F(c0)，方程0的两个实根分别为和，则点(x1,x2)
A．必在圆x22内 B．必在圆x22上
．必在圆x22外 D．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
A． B． C． D．
11．设函数(x)是上以5为周期的可导偶函数，则曲线(x)在5处的切线的斜率为
A． B．0 C． D．5
12．设在(，∞)内单调递增，，则p是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13设函数y4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为．14.已知数列{}对于任意p，q ，有+aq=ap+q，若=，则36＝ ．15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N若为．
16.设有一组圆．下列四个命题： A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是．写出所有真命题的代号）三．解答题：本大题共小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题满分12分 已知函数． （1）求实数和c的值；
2）解不等式18．本小题满分12分如图函数图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜率为一2． （1）求和的值；
2）已知点(，)，点是该函数图象上一点，点Q(，)是PA的中点，当，x0∈[，]时，求的值．
19．本小题满分12分 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为05， 6， 04．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为6，05，075．
1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
20．本小题满分12分右图是一个直三棱柱以A1BC1为底面被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知AB1＝B1C1＝l，AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl2，CCl3．
1）设点是AB的中点，证明：OC∥平面B1C1；
（2）求二面角B—AC—A1的大小；
3）求此几何体的体积．
21．本小题满分12分设动点P到点A(l，)和B(1，)的距离分别为d和，APB＝2θ,且存在常数(0＜λ＜1＝,使得dsin2θ＝λ．
1）证明：动点P的轨迹为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点试确定的范围使＝0,其中点为坐标原点．
22．本小题满分14分设正整数数列{}满足：4，且对于任何n∈N，有． （1）求，3；
2）求数列{ }的通项． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）因为，所以，
由，即，．
又因为在处连续，
所以，即．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，
故．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，
，
，
．
于是，．
20．解法一：
（1）证明：作交于，连．
则．
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则得：
取，．
显然，为平面的一个法向量．
则,
结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．
21．解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．
22．解：（1） ①
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
因为时，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
即 ②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则．于是 ③
又由②右式，．
则．
因为两端为正整数，则，
所以．
又因时，为正整数，则 ④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
G 理科数学试题 第1页（共4页）
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