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2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知命题 R，，则
（A）R, （B）R,
（C）R, （D）R,
（2）已知平面向量则向量=
（A） （B）
（C） （D）
（3）函数在区间的简图是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知是等差数列，，其前10项和，则其公差
（A） （B） （C） （D）
（5）如果执行右面的程序框图，
那么输出的
（A）2 450
（B）2 500
（C）2 550
（D）2 652
（6）已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
（A） （B）
（C） （D）
（12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则 h1﹕﹕﹕﹕﹕﹕﹕﹕﹕﹕为奇函数，则 .
（15）是虚数单位， .(用的形式表示，)
（16）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.(用数字作答)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形, 为中点.
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分12分）
如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入M中，则M的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2，M的面积为1，并向正方形中随机投掷10 000个点，以表示落入M中的点的数目.
（Ⅰ）求的均值；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率.
附表：
2424 2425 2574 2575 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590
（21）（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）若当时取得极值，求a的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为.
（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数（）解不等式>；
（）求函数的最小值.
一．选择题
（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）C
（7）D （8）B （9）C （10）D （11）B （12）B
二．填空题
（13）3 （14） （15） （16）240
三．解答题
（17）解：
在△BCD中，
. ……2分
由正弦定理得
……5分
所以
……8分
在Rt△ABC中，
……12分
（18）证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且
SO=SA，
从而OA2+SO2 =SA2， ……3分
所以△SOA为直角三角形，.
又AO∩BC=O，
所以SO⊥平面ABC. ……6分
（Ⅱ）解法一：
取SC中点M, 连结AM, OM, 由（Ⅰ）知, 得OM⊥SC，AM⊥SC.
为二面角的平面角. ……9分
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC得
AO⊥平面SBC，
所以AO⊥OM. 又，故
所以二面角的余弦值为 ……12分
解法二：
以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
设B(1,0,0)，则
SC的中点
，.
故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角. ……9分
所以二面角的余弦值为 ……12分
（19）解：
（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为
，
代入椭圆方程得
，
整理得 . ① ……3分
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，
解得或. 即k的取值范围为. ……6分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
. ②
又 . ③ ……8分
而.
所以与共线等价于
，
将②③代入上式，解得. ……11分
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k. ……12分
（20）解：
每个点落入M中的概率均为. ……2分
依题意知.
（Ⅰ）. ……6分
（Ⅱ）依题意所求概率为， ……9分
. ……12分
（21）解：
（Ⅰ），
依题意有，故， ……2分
从而.
的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少. ……5分
（Ⅱ）的定义域为，.
方程的判别式.
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值.
（ⅱ）若，则或.
若，，.当时，，当时，，所以无极值.
若，，也无极值. ……7分
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
.
当时，. 从而在的定义域内没有零点，故无极值.
当时，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值.
综上，存在极值时，a的取值范围为. ……10分
的极值之和为
. ……12分
（22）
（Ⅰ）证明：连结OP，OM.
因为AP与⊙O相切于点P，所以
OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以
OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆. ……6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以
∠OAM=∠OPM.
由（Ⅰ）得OP⊥AP.
由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.
所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分
（23）解：
以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
（Ⅰ），由得
，
所以.
即为⊙O1的直角坐标方程.
同理为⊙O2的直角坐标方程. ……6分
（Ⅱ）由
解得
即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.
……10分
（24）解：
（），则
……3分
作出函数的图像，它与直线的交点为和.
所以的解集为. ……6分
（）的图像可知，当时，取得最小值. ……10分
07数学课标理（海南）A 2007-07-11 08:24:11
理科数学试题第12页（共12页）
A
开始
k≤50?
k=1
S=S+2k
输出S
否
是
S=0
k=k+1
结束
20
20
正视图
20
10
10
俯视图
20
侧视图
B
D
C
B
A
M
P
O
C
M
B
A
M
C
O
P
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